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| Aufgabe | Berechnen Sie die Matrix $ [mm] _{C}M_{B} [/mm] $ (f) der linearen Abbildung F: V --> W bezüglich den Basen B für V und C für W.
Im Fall V = W = [mm] R^{2}; [/mm] f(x, y) = (y, x); B = (1, 1), (2, 1); C = (0, 1), (−1,−3) |
Also hier bilde ich ja wieder B auf C ab.
Meine Abbildung heißt ja f(x,y) = (y,x) . Da nehme ich den ersten und den zweiten Basisvektor aus B, also (1,1) und (2,1) und bilde erstmal die Vektoren durch f ab.
Aber wie sieht denn da mein Abbild B dann aus?
Ich bräuchte da mal wieder einen Ansatz.
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:54 Do 18.12.2008 | | Autor: | MartinP |
Zum prinzipiellen Vorgehen
$ [mm] (f(b_1),...,f(b_n)) [/mm] = [mm] (c_1,...,c_m) \times _{C}M_{B} [/mm] $
Du berechnest zuerst die Bilder von f (das sind die Vektoren der Basis B in diesem Fall) und setzt sie gleich den Vektoren der Basis C multipliziert mit deiner gesuchten Matrix, die aus Unbekannten besteht. Dadurch lassen sich die Unbekannten bestimmen.
In unserem Fall ist das:
$ [mm] ((1,1),(2,1))=((1,1),(1,2))=((0,1),(-1,-3))\times _{C}M_{B} [/mm] $
Als Vergleich - dein erster Spaltenvektor von $ [mm] _{C}M_{B} [/mm] $ muss $ [mm] \vektor{-2 \\ -1} [/mm] $ sein.
PS: Du brauchst den Spaltenvektor an sich nicht, der ist nur zum Vergleichen.
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Hey
Also an sich hab ich das ja kapiert, aber woran sehe ich, wei viele Spalten und Zeilen die Matrix [mm] {C}_M_{B} [/mm] hat ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:09 Do 18.12.2008 | | Autor: | MartinP |
Mich würde ebenfalls noch interessieren, wie man von $ [mm] _{C}M_{B} [/mm] $ auf $ [mm] _{C}M_{B}(f) [/mm] $ kommt> Hey
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> Mich würde ebenfalls noch interessieren, wie man von
> [mm]_{C}M_{B}[/mm] auf [mm]_{C}M_{B}(f)[/mm] kommt> Hey
Hallo,
i.a. gar nicht.
Stell Dir eine lineare Abbildung aus dem [mm] \IR^3 [/mm] in den [mm] \IR^2 [/mm] vor, die Standardbasen seien [mm] E_3 [/mm] und [mm] E_2.
[/mm]
Die darstellende Matrix [mm] _{E_2}M{E_3}(f) [/mm] kann man aufstellen, aber die Suche nach [mm] _{E_3}M{E_2}(f) [/mm] wäre grober Unfug.
Im vorliegenden Fall mit V=W geht das natürlich. Um [mm] _{C}M_{B}(f) [/mm] zu finden, mußt Du die Bilder der Basisvektoren von B in Koordinaten bzgl C ausdrücken, und diese Koordinatenvektoren in die Spalten der aufzustellenden Matrix stecken.
Gruß v. Angela
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> Hey
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> Also an sich hab ich das ja kapiert, aber woran sehe ich,
> wei viele Spalten und Zeilen die Matrix [mm]_{C}M_{B}(f)[/mm] hat ?
Hallo,
sie hat soviele Zeilen, wie die Dimension von C ist,
und soviele Spalten, wie die Dimension von B ist.
Gruß v. Angela
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Okay,
also da V=W= [mm] \IR^{2}
[/mm]
ist die Matrix [mm] _{C}M_{B} [/mm] (f) eine 2 [mm] \times [/mm] 2 - Matrix ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:36 Do 18.12.2008 | | Autor: | MartinP |
genau, aber prinzipiell ist es auch total unnötig im Voraus zu wissen, welche Matrix du herausbekommen wirst, das siehst du dann schon beim Berechnen.
LG Martin
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:39 Do 18.12.2008 | | Autor: | Hav0c |
hat jemand mal nachgerechnet? ich hab diese matrix raus...
[mm] \pmat{ 1 & 0 \\ \bruch{1}{2} & - \bruch{3}{2} }
[/mm]
stimmt das?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:47 Do 18.12.2008 | | Autor: | MartinP |
Also mein $ [mm] _{C}M_{B}= \pmat{ -2 & -1 \\-1 & -1} [/mm] $ und ich bin mir ziemlich sicher, dass das stimmt.
Bist du dir auch sicher, dass du die 1c meinst und nicht, wie fälschlicherweise betitelt, die aufgabe 2?
Ansonsten, schreib doch bitte mal deinen Lösungsweg auf, denn ich hab mich komplett an das gehalten, was und Horn gesagt hat und bei der Probe kommt auch wieder meine ausgangsformel raus
LG Martin
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:50 Do 18.12.2008 | | Autor: | Hav0c |
stimmt das ist meine Lösung für 2tens...
1c hab ich noch nicht. habe unten angefangen
was habt ihr denn nun bei 2tens raus?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:34 Do 18.12.2008 | | Autor: | Hav0c |
stimmt das ist meine Lösung für 2tens...
1c hab ich noch nicht. habe unten angefangen
was habt ihr denn nun bei 2tens raus?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:43 Do 18.12.2008 | | Autor: | MartinP |
ehrlich gesagt, komm ich einfach auf keine lösung bei 2
ich komm zwar bis zu einem bestimmten punkt, aber mir fehlt da irgendein gedanke, wie's danach weitergeht
ich weis nach kurzem umformen, dass $ (f(1,-1),f(1,2))=((1,1),(3,1)) [mm] \times \pmat{ 1 & 2 \\ 0 & 1 }=((1,1),(5,3)) [/mm] $
danach hab ich folgendes Gleichungssystem aufgestellt:
I : a - b = 1
II : a +2b = 5
III: c - d = 1
IV: c +2d = 3
daraus ergibt sich dann a= 7/3 b= 4/3 c=5/3 d=2/3
und ich könnte für f(1,-1)=(1,1) die Funktion f(x)=7/3x + 4/3y
und für f(1,2)=(5,3) die Funktion f(x)=5/3x + 2/3y finden
aber daraus eine Funktion bilden...
vielleicht ist es zu einfach, als dass ich jetzt daraus komme, aber es funktioniert einfach nichts, was ich probiert habe, oder man muss sowieso komplett anders vorgehen und diese schritte bringen überhaupt nix
LG Martin
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:04 Do 18.12.2008 | | Autor: | fragemax12 |
also bei 1c, hab ich auch das gleiche wie martin raus.
bei zweitens komm ich auch nicht weiter?!
hat da eventuell jemand einen lösungsweg?
momentan knobel ich ja an der 4 aufgabe! die ersten 2 zweilen habe ich identisch mit der B-Matrix , aber die 3 zeile sieht bei mir noch so aus : ( 0 1 1 )
gruß
p.s.: schön seth,dass du mal wieder was reingestellt hast ;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:20 Do 18.12.2008 | | Autor: | MartinP |
Zur 3 also:
wir haben f(x,y,z)=(3y-z,x+z) , $ [mm] _{C}M_{B}(f)= \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 } [/mm] $ ; $ B: (2,1,1),(1,1,-1),(-3,1,3) $
daraus ergibt sich
*ausrechnen*
$ (f(2,1,1),f(1,1,-1),f(-3,1,3))=((2,3),(4,0),(0,0)) $
und
$ [mm] ((2,3),(4,0),(0,0))=(c_1,c_2,c_3) \times \pmat [/mm] {1 & 0 & 0 [mm] \\ [/mm] 0 & 1 & 0} $
wobei [mm] c_1,c_2,c_3 [/mm] jeweils die Form (x,y) haben
berechnet man das ganze ergibt sich [mm] c_1=(2,3) c_2=(4,0) c_3=(0,0)
[/mm]
, welche wiederum Basisvektoren von C sein dürften
LG Martin
Da fällt mir doch glatt auf, dass das nicht die gefragte Aufgabe war, naja egal - ihr könnt ja mal vergleichen, ob ihr das gleiche hat.
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Muss man dann nicht [mm] c_{3} [/mm] streichen, weil der ja der Nullvektor ist ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:35 Do 18.12.2008 | | Autor: | MartinP |
Ja, aber ich wollte doch nicht 100% verraten. Und somit den Sinn dieses Forums zerstören :P
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:21 Do 18.12.2008 | | Autor: | Lenchen89 |
bei 4. hab ich das:
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 }
[/mm]
mit Zeile (I): 1 1 1
Zeile (II): 2 1 2
Zeile (III): 0 1 1
und dann die Operationen:
i) I [mm] \times [/mm] 2 -> I'
ii) II - I' -> II'
iii) I' - 3 [mm] \times [/mm] III
iv) I' und II' vertauschen
dann kommt B raus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:29 Do 18.12.2008 | | Autor: | Hav0c |
habs genauso!
zu zweitens Horn sagte uns heute in der Übung das man die gesuchte Matrix M über einen Umweg herausbekommt.
Und zwar [mm] M_{EE} [/mm] = C* [mm] M_{CB} [/mm] * [mm] B^{-1}
[/mm]
Er hatte uns dazu eine Skizze gemalt, das will ich aber hier nicht reineiditieren! wer weitere infos will schreibt mich im icq an: 173913774
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:51 Do 18.12.2008 | | Autor: | fragemax12 |
hab die 4. auch gerade alleine in der wanne rausbekommen :)
aber nochmal schön zum vergleichen!
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