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| Aufgabe | Sei [mm] \varphi [/mm] Endomorphismus von V -> V und dim V = n
Seien weiter U und V zwei phi invariante Unterräume von V mit V = U [mm] \oplus [/mm] W.
zu zeigen: [mm] det(\varphi) [/mm] = [mm] det(\varphi [/mm] "Eingeschränkt auf U") * [mm] det(\varphi [/mm] "Eingeschränkt auf W" |
Ich weiß also V = U [mm] \oplus [/mm] W. und U,W sind phi invariant.
Ich muss um die Determinanten vergleichen zu können ja die Matrix bilden.
Jeder Endomorphismus besitzt eine Darstellungsmatrix.
Da U und W direkte Summe sind, stehen oben links Einträge und darunter und rechts davon Nullen, sowie unten rechts ein Block mit Einträgen, oder nicht?
Da [mm] \varphi(u) [/mm] wieder in U enthalten ist und damit nur durch Basisvektoren aus U dargestellt werden kann.
Genauso [mm] \varphi(w).
[/mm]
Jetzt muss ich nur noch zeigen, dass diese Blockungen die Darstellungsmatrizen von [mm] \varphi [/mm] "Eingeschränkt auf U" bzw. W sind.
Wie mache ich das am besten?
Leider wusste ich nicht wie ich das Eingeschränkt-Symbol hierim Editor benutze.
Schonmal Danke
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Moin Heatshawk,
> Sei [mm]\varphi[/mm] Endomorphismus von V -> V und dim V = n
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> Seien weiter U und V zwei phi invariante Unterräume von V
> mit V = U [mm]\oplus[/mm] W.
>
> zu zeigen: [mm]det(\varphi)[/mm] = [mm]det(\varphi[/mm] "Eingeschränkt auf
> U") * [mm]det(\varphi[/mm] "Eingeschränkt auf W"
> Ich weiß also V = U [mm]\oplus[/mm] W. und U,W sind phi
> invariant.
>
> Ich muss um die Determinanten vergleichen zu können ja die
> Matrix bilden.
> Jeder Endomorphismus besitzt eine Darstellungsmatrix.
>
> Da U und W direkte Summe sind, stehen oben links Einträge
> und darunter und rechts davon Nullen, sowie unten rechts
> ein Block mit Einträgen, oder nicht?
> Da [mm]\varphi(u)[/mm] wieder in U enthalten ist und damit nur
> durch Basisvektoren aus U dargestellt werden kann. Genauso [mm]\varphi(w).[/mm]
Richtig, man sagt auch, die Matrix hat Blockgestalt.
Das alles gilt, wenn du als Basis für die Darstellungsmatrix entsprechend erst Basiselemente von U: [mm] u_1,\ldots,u_r [/mm] und dann Basiselemente von W: [mm] w_1,\ldots,w_{n-r} [/mm] nimmst (o.E. erst Elemente von U dann von W).
> Jetzt muss ich nur noch zeigen, dass diese Blockungen die
> Darstellungsmatrizen von [mm]\varphi[/mm] "Eingeschränkt auf U"
> bzw. W sind.
Davon bist du gar nicht weit entfernt. Etwa so für [mm] \varphi_{|U}:
[/mm]
Es gilt [mm] \varphi(U)\subset [/mm] U. Insbesondere lassen sich die Bilder der Basisvektoren von U wieder als Linearkombination dieser darstellen:
[mm] \qquad $f(u_i)=\sum_{j=1}^r\lambda_j u_j,\quad 1\leq i\leq [/mm] r$
Die Darstellungsmatrix ist also eine [mm] r\times [/mm] r Matrix und zwar genau diejenige die oben links in der Blockgestalt der Darstellungsmatrix von [mm] \varphi [/mm] steht. (da sind die [mm] u_i [/mm] auch die ersten r Elemente!)
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> Wie mache ich das am besten?
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> Leider wusste ich nicht wie ich das Eingeschränkt-Symbol
> hierim Editor benutze.
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> Schonmal Danke
LG
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