Matrix d. lin. Abb. v. Polynom < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei [mm] P_{n} [/mm] der Vektorraum aller Polynome vom Grad [mm] \le [/mm] mit reellen Koeffizienten. Man bestimme die Matrix der linearen Abbildung [mm] P_{3} \to P_{4}, [/mm] f(t) [mm] \mapsto [/mm] (2-t) f(t) bezüglich der kanonischen Basis B= [mm] (1,t,t^2,...,t^n). [/mm] |
Hallo,
ich bin mir unsicher bei der Aufgabe, ob ich es soweit richtig verstanden habe. Wir hatten nämlich ein ähnliches Beispiel in der Vorlesung. Also sei T die Abbildung dann gilt zunächst:
[mm]t:P_{3} \to P_{4}[/mm]
[mm]T(f(t)) = (2-t) * f(t)[/mm]
Die Standardbasen sind:
[mm] \alpha={1,x,x^2,x^3}
[/mm]
[mm] \beta={1,x,x^2,x^3,x^4}
[/mm]
Dann gilt:
[mm]T(1(t))=(2-t)*1=2-t= 2*1+(-1)*t+0*t^2+0*t^3+0*t^4[/mm]
[mm]T(t(t))=(2-t)*t=2t-t^2= 0*1+2*t+(-1)*t^2+0*t^3+0*t^4[/mm]
[mm]T(t^2(t))=(2-t)*t^2=2t^2-t^3= 0*1+0*t+2*t^2+(-1)*t^3+0*t^4[/mm]
[mm]T(t^3(t))=(2-t)*t^3=2t^3-t^4= 0*1+0*t+0*t^2+2*t^3+(-1)*t^4[/mm]
Also ergibt sich als Matrix:
A = [mm] \pmat{ 2 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & -1}
[/mm]
Ist das so korrekt? Danke. Gruß Patrick
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:22 Fr 14.12.2007 | | Autor: | statler |
Hi Patrick!
> Sei [mm]P_{n}[/mm] der Vektorraum aller Polynome vom Grad [mm]\le[/mm] mit
> reellen Koeffizienten. Man bestimme die Matrix der linearen
> Abbildung [mm]P_{3} \to P_{4},[/mm] f(t) [mm]\mapsto[/mm] (2-t) f(t)
> bezüglich der kanonischen Basis B= [mm](1,t,t^2,...,t^n).[/mm]
> ich bin mir unsicher bei der Aufgabe, ob ich es soweit
> richtig verstanden habe. Wir hatten nämlich ein ähnliches
> Beispiel in der Vorlesung. Also sei T die Abbildung dann
> gilt zunächst:
>
> [mm]t:P_{3} \to P_{4}[/mm]
> [mm]T(f(t)) = (2-t) * f(t)[/mm]
>
> Die Standardbasen sind:
>
>
> [mm]\alpha={1,x,x^2,x^3}[/mm]
> [mm]\beta={1,x,x^2,x^3,x^4}[/mm]
>
> Dann gilt:
>
> [mm]T(1(t))=(2-t)*1=2-t= 2*1+(-1)*t+0*t^2+0*t^3+0*t^4[/mm]
>
> [mm]T(t(t))=(2-t)*t=2t-t^2= 0*1+2*t+(-1)*t^2+0*t^3+0*t^4[/mm]
>
> [mm]T(t^2(t))=(2-t)*t^2=2t^2-t^3= 0*1+0*t+2*t^2+(-1)*t^3+0*t^4[/mm]
>
> [mm]T(t^3(t))=(2-t)*t^3=2t^3-t^4= 0*1+0*t+0*t^2+2*t^3+(-1)*t^4[/mm]
>
> Also ergibt sich als Matrix:
>
> A = [mm]\pmat{ 2 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & -1}[/mm]
>
> Ist das so korrekt?
Allgemein: Die Spalten der Darstellungsmatrix sind die Bilder der Basisvektoren.
Ist das hier so? Ja! Also OK.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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| Aufgabe | Im [mm] \IR [/mm] - Vektorraum [mm] P_{6} [/mm] seien die folgenden Polynome gegeben:
[mm] p_{j}(t):= \begin{cases} t, & \mbox{für } j=1 \\ t^j-t, & \mbox{für } j=2,...,6 \\ 1, & \mbox{für } j=7 \end{cases}
[/mm]
Dann ist [mm] B=(p_{1},...p_{7}) [/mm] eine Basis von [mm] P_{7}. [/mm] Es sei [mm] \delta(f) [/mm] die Lineare Abbildung, die jedem Polynom f = [mm] \summe_{i=0}^{6} a_{i}t^{i} [/mm] seine erste Ableitung [mm] \delta(f) [/mm] = f' = [mm] \summe_{i=1}^{6} ia_{i}t^{i_{1}} [/mm] zuordnet.
a.) Bestimmen Sie die Matrix A, die [mm] \delta [/mm] bzgl. B darstellt.
b.) Bestimmen Sie den Rang von A. |
Vielen Dank! Dann bin ich ja beruhigt, dass es so stimmt. Habe hier noch so eine ähnliche Aufgabe, wäre toll wenn die auch nochmal jemand nachgucken könnte.
Also ich habe erstmal die Basis B aufgeschrieben:
[mm] B=(t,t^2-t,t^3-t,t^4-t,t^5-t,t^6-t,1)
[/mm]
Dann gilt für das Bild der Basis:
[mm] \delta(B)=(1,2t-1,3t^2-1,4t^3-1,5t^4-1,6t^5-1)
[/mm]
Und wenn ich das wieder als Kombination von B schreibe so wie oben auch erhalte ich folgende Matrix:
A= [mm] \pmat{ 0 & 2 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1}
[/mm]
Der Rang wäre dann 6, da ich ja eine Nullzeile habe.
Danke,
lg Patrick
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:19 Fr 14.12.2007 | | Autor: | statler |
> Im [mm]\IR[/mm] - Vektorraum [mm]P_{6}[/mm] seien die folgenden Polynome
> gegeben:
> [mm]p_{j}(t):= \begin{cases} t, & \mbox{für } j=1 \\ t^j-t, & \mbox{für } j=2,...,6 \\ 1, & \mbox{für } j=7 \end{cases}[/mm]
>
> Dann ist [mm]B=(p_{1},...p_{7})[/mm] eine Basis von [mm]P_{6}.[/mm] Es sei
> [mm]\delta(f)[/mm] die Lineare Abbildung, die jedem Polynom f =
> [mm]\summe_{i=0}^{6} a_{i}t^{i}[/mm] seine erste Ableitung [mm]\delta(f)[/mm]
> = f' = [mm]\summe_{i=1}^{6} ia_{i}t^{i-1}[/mm] zuordnet.
>
> a.) Bestimmen Sie die Matrix A, die [mm]\delta[/mm] bzgl. B
> darstellt.
> b.) Bestimmen Sie den Rang von A.
Hi Patrick, für eine neue Frage solltest du auch eine neue Diskussion aufmachen.
> Vielen Dank! Dann bin ich ja beruhigt, dass es so stimmt.
> Habe hier noch so eine ähnliche Aufgabe, wäre toll wenn die
> auch nochmal jemand nachgucken könnte.
>
> Also ich habe erstmal die Basis B aufgeschrieben:
>
> [mm]B=(t,t^2-t,t^3-t,t^4-t,t^5-t,t^6-t,1)[/mm]
>
> Dann gilt für das Bild der Basis:
>
> [mm]\delta(B)=(1,2t-1,3t^2-1,4t^3-1,5t^4-1,6t^5-1)[/mm]
>
> Und wenn ich das wieder als Kombination von B schreibe so
> wie oben auch erhalte ich folgende Matrix:
>
> A= [mm]\pmat{ 0 & 2 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1}[/mm]
Erstens ist das Format der Matrix falsch, weil der [mm] P_{6} [/mm] die Dimension 7 hat, wie du an deiner Basis erkennst.
Aber die Zahlen sind auch falsch. Es ist doch [mm] 3*t^{2}-1 [/mm] = [mm] 3*(t^{2}-t) [/mm] + 3t - 1, also muß die 3. Spalte z. B. anders aussehen.
> Der Rang wäre dann 6, da ich ja eine Nullzeile habe.
Das stimmt allerdings.
Gruß
Dieter
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Hey Dieter!
Hoppla, das mit den Zahlen stimmt natürlich.
Hm ansonsten, wenn ich die Basis B "ableite" steht ja ende noch eine 0. Muss die dann als komplette Nullspalte noch mit in die Matix? Also so:
A= [mm]\pmat{ 0 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 0\\ 0 & 0 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 4 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & 0}[/mm]
Patrick
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:54 So 16.12.2007 | | Autor: | statler |
Guten Tag Patrick,
wenn die Abbildung von [mm] P_{6} [/mm] nach [mm] P_{6} [/mm] gehen soll, dann sieht das so aus.
Gruß und schönen Sonntag
Dieter
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