Matrix aufstellen < Skalarprodukte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:03 Mo 24.03.2008 | | Autor: | barsch |
| Aufgabe | Sei [mm] D:V\to{V} [/mm] die lineare Abbildung, die jedem Polynom in V seine 1. Ableitung zuordnet:
D(p):=p'
Ist D selbstadjungiert bzgl des Skalaproduktes: [mm] \phi(p,q)=\summe_{i=1}^{n}p(\bruch{k}{n})*q(\bruch{k}{n}) [/mm] für [mm] p,q\in{V}. [/mm] |
Hi,
ich würde erst einmal eine Matrix A aufstellen wollen, um dann zu prüfen, ob
[mm] A^t=\overline{A}.
[/mm]
Da gilt: D selbstadjungiert [mm] \gdw{A^t=\overline{A}}. [/mm] (also A symmetrisch bzw. hermitesch)
Das alles entscheidenden hierbei ist jedoch: Ich weiß nicht, wie ich die Matrix darstellen kann.
Wenn mir da mal jemand weiterhelfen könnte, wäre ich sehr dankbar 
MfG barsch
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Hallo und frohe Ostern
Du hast jetzt eine Basis des Vektorraumes alles Polynome. da wähle ich die "Standardbasis"(die Menge ist unendlich)
[mm] $B={1,x,x^2,x^3................................}$
[/mm]
Wenn ich jetzt jedes Polynom ableite und dann die Matrix dazu Aufschreibe sieht sie ja so aus
A= [mm] \pmat{0 & \cdots\\ 1 & 0 &0& \cdots \\0 &2&0& \cdots\\0&0&3&\cdots\\ \vdots&\cdots&\cdots&\ddots }. [/mm] Es laufen also alle Natürlichen Zahlen unterhalb der Hauptdiagonalen. Ich hoffe ich konnte helfen und noch schöne Ostern
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Hi,
erstmal bei der Definition des Skalarprodukts [mm] \phi [/mm] taucht ein Summenindex i auf, aber bei p und q sind das ein k. Irgendwo stimmt was nicht.
Ich würde nicht versuchen, eine Matrix aufzustellen, da eine Basis des Vektorraums aller Polynome (Grad nicht endlich) undendlich ist.
Besser ist, man arbeite mit der Definition: Sei V ein Vektorraum mit dem Skaralprudukt [mm] \phi [/mm] von oben. Ein Operator D [mm] \in \mathcal{L}(V) [/mm] ist selbstadjungiert, wenn für alle v, w [mm] \in [/mm] V gilt: [mm] \phi(Dv,w) [/mm] = [mm] \phi(v,Dw).
[/mm]
Dann wird es nicht mehr so schwer sein, ein Gegenbeispiel zu finden (d.h. p, q so dass [mm] \phi(Dv,w) \ne \phi(v,Dw)).
[/mm]
Gruss,
logarithmus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:01 Mo 24.03.2008 | | Autor: | barsch |
Hi,
erst einmal danke an euch zwei und frohe Ostern.
> Hi,
> erstmal bei der Definition des Skalarprodukts [mm]\phi[/mm] taucht
> ein Summenindex i auf, aber bei p und q sind das ein k.
> Irgendwo stimmt was nicht.
Du hast natürlich recht. Richtig ist:
[mm] \phi(p,q)=\summe_{k=0}^{n}p(\bruch{k}{n})\cdot{}q(\bruch{k}{n}) [/mm]
> Ich würde nicht versuchen, eine Matrix aufzustellen, da
> eine Basis des Vektorraums aller Polynome (Grad nicht
> endlich) undendlich ist.
Leuchtet ein.
> Besser ist, man arbeite mit der Definition: Sei V ein
> Vektorraum mit dem Skaralprudukt [mm]\phi[/mm] von oben. Ein
> Operator D [mm]\in \mathcal{L}(V)[/mm] ist selbstadjungiert, wenn
> für alle v, w [mm]\in[/mm] V gilt: [mm]\phi(Dv,w)[/mm] = [mm]\phi(v,Dw).[/mm]
okay, versuche ich es mal damit!
> Dann wird es nicht mehr so schwer sein, ein Gegenbeispiel
> zu finden (d.h. p, q so dass [mm]\phi(Dv,w) \ne \phi(v,Dw)).[/mm]
Interpretiere ich das dann richtig (und darf ich wie folgt vorgehen).
[mm] \phi(p,q)=\summe_{i=1}^{n}p(\bruch{k}{n})\cdot{}q(\bruch{k}{n}) [/mm]
Sei n=2: (darf ich das so festlegen? Ich suche ja eigentlich nur ein Gegenbeispiel, also dürfte das möglich sein!?)
[mm] \phi(p,q)=\summe_{i=1}^{2}p(\bruch{k}{2})\cdot{}q(\bruch{k}{2})
[/mm]
Ich nehme
p=1 und q=x
[mm] \phi(D(1),x)=\phi(0,x)=0*\bruch{0}{2}+0*\bruch{1}{2}+0*\bruch{2}{2}=0
[/mm]
[mm] \phi(1,D(x))=\phi(1,1)=1*1+1*1+1*1=3
[/mm]
[mm] \Rightarrow \phi(D(1),x)\not=\phi(1,D(x)) \Rightarrow [/mm] D bzgl des Skalarprodktes
[mm] \phi(p,q)=\summe_{i=1}^{2}p(\bruch{k}{2})\cdot{}q(\bruch{k}{2}) [/mm] nicht selbstadjungiert.
Ist das korrekt?
MfG barsch
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Hi,
für mich scheint das in Ordnung zu sein.
Gruss,
logarithmus
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