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| Aufgabe | Seien M und N reelle quadratische Matrizen derart, dass M=p(N) für ein Polynom p mit komplexen Koeffizienten.
Zeigen Sie, dass es ein Polynom q mit reellen Koeffizienten gibt, sodass M=q(N) |
Hallo!
Meine erste Idee war, zu zeigen, dass p bereits nur reelle Koeffizienten hat, aber das ist wohl nicht wahr, denn z. B. für M=N=0 gibt es unendlich viele Möglichkeiten mit nichtreellen Koeffizienten...
Das heißt also, dass es möglich ist, dass p nichtreelle komplexe Koeffizienten hat, die sich aber irgendwie selbst annulieren, wenn man N einsetzt...
Wie zeige ich davon ausgehend, dass es auch ein rein reelles Polynom mit der angegebenen Eigenschaft gibt? Kann man das vielleicht einfacher zeigen, wenn man das ganze als Endomorphismen interpretiert?
Grüße
Salamence
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:33 Sa 12.06.2010 | | Autor: | felixf |
Moin Salamence!
> Seien M und N reelle quadratische Matrizen derart, dass
> M=p(N) für ein Polynom p mit komplexen Koeffizienten.
> Zeigen Sie, dass es ein Polynom q mit reellen
> Koeffizienten gibt, sodass M=q(N)
>
> Meine erste Idee war, zu zeigen, dass p bereits nur reelle
> Koeffizienten hat, aber das ist wohl nicht wahr, denn z. B.
> für M=N=0 gibt es unendlich viele Möglichkeiten mit
> nichtreellen Koeffizienten...
Exakt.
> Das heißt also, dass es möglich ist, dass p nichtreelle
> komplexe Koeffizienten hat, die sich aber irgendwie selbst
> annulieren, wenn man N einsetzt...
> Wie zeige ich davon ausgehend, dass es auch ein rein
> reelles Polynom mit der angegebenen Eigenschaft gibt?
Ist $p = [mm] \sum_{j=0}^n a_j x^j \in \IC[x]$, [/mm] so probiere doch mal $q = [mm] \sum_{j=0}^n (\Re a_j) x^j$.
[/mm]
> Kann man das vielleicht einfacher zeigen, wenn man das ganze als
> Endomorphismen interpretiert?
Ich denke nicht.
LG Felix
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