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| Aufgabe | Bestimme eine invertierbare Matrix [mm] P\in Gl_{3}(\IR), [/mm] so dass [mm] A=P^{t}*P.
[/mm]
[mm] A=\pmat{ 2 & 1 & 0\\ 1 & 2 & 1\\ 0 & 1 & 2} [/mm] |
Ich weiß gar nicht, wie ich an diese Aufgabe rangehen soll. Gibt es so eine Matrix P immer? Und wie bestimme ich die?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:51 Do 25.06.2009 | | Autor: | pelzig |
Idee: Ist A symmetrisch, so gibt es nach dem Spektralsatz [mm] $Q\in [/mm] O(3)$ mit $A=Q^TDQ$, wobei D eine Diagonalmatrix mit den Eigenwerten von A ist - falls diese auch noch positiv sind, so hast du gewonnen: setze einfach [mm] $P:=\sqrt{D}\cdot [/mm] Q$. Kurz gesagt: für symmetrische Positiv-definite Matrizen geht das immer!
Gruß, Robert
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ahh, erstmal danke, aber das scheint mir ziemlich kompliziert. das muss dochauch irgendwie einfacher gehen, oder nicht?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:54 Do 25.06.2009 | | Autor: | pelzig |
Naja... du musst halt eigentlich nur eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren bestimmen. Aber falls dir was besseres einfällt...
Gruß, Robert
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Guten Abend,
das ist nicht sonderlich schwer!
Schreib dir mal explizit (also nebeneinander) [mm] $A^n [/mm] = A * A * A * ... * A$ auf. Und dann setzte $A = [mm] C^T [/mm] D C$.
Dann müsstest sehen, warum [mm] $A^n [/mm] = [mm] (C^T [/mm] D [mm] C)^n [/mm] = [mm] C^T D^n [/mm] C$.
Das geht für jedes n, also auch für [mm] $n=\bruch{1}{2}$.
[/mm]
Bei Diagonalmatrizen kannst du ja (wie bekannt) die Exponenten der Matrix auf die Hauptdiagonale ziehen, dann sieht du, das es gar nicht schwer ist.
Eigenvektoren und Eigenwerte bestimmen, und dann bist du schon fast fertig!
lg Kai
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> ahh, erstmal danke, aber das scheint mir ziemlich
> kompliziert. das muss dochauch irgendwie einfacher gehen,
> oder nicht?
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Das, was Du tun sollst, heißt Cholesky-Zerlegung.
Ich kann mir vorstellen, daß Ihr in der Vorlesung notiert habt, wie man nach Schema F stumpf die Einträge der Matrix G berechnen kann.
Gruß v. Angela
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