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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:04 Sa 25.03.2006 | | Autor: | EasyLee |
| Aufgabe | Man schreibe die Matrix A= [mm] \pmat{ 0 & 1 & 7 & 8 \\ 1 & 3 & 3 & 8 \\ -2 & -5 & 1 & -8 } [/mm] als Produkt A = EFGR
der Elementarmatrizen E,F,G und einer Zeilenstufenform R. |
Hallo!
Ich muss hier doch A auf Zeilenstufenform bringen, und die hierzu
notwendigen op's jeweils auf I anwenden. Oder?
Also zuerst 1 & 2 Zeile tauschen: [mm] \pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }
[/mm]
dann das 2fache von 1 zu 3: [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 1 }
[/mm]
jetzt noch -1fache von 2 zu 3: [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 }
[/mm]
So. Dann hab ich jetzt noch R mit [mm] \pmat{ 1 & 3 & 3 & 8 \\ 0 & 1 & 7 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 0 } [/mm]
Versuche ich jetzt A = EFGR komme ich auf ein falsches Resultat.
Auch auf die Gefahr hin das ich mich mal wieder blöd anstelle, aber bitte
wo liegt mein Fehler?
Danke!
EasyLee
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:04 Sa 25.03.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
die Matrizen, so wie du sie hier hingeschrieben hast sehen recht richtig aus.
Wenn du sie aber mal in der Reihenfolge benennst, wie du sie hier hingeschrieben hast : E, F, G und R, dann sind das diejenigen Matrizen, so dass gilt: GFEA=R
(zuerst E auf an A von links multipliziert ergibt die Vertauschung usw .. zum Schluß kommt R raus)
Hinweis: Wenn bei diesem Produkt schon keine Gleichheit herrscht, dann hast du schon einen Fehler gemacht...
Du musst also das ganze jeweils invertieren, dann gilt:
[mm] $A=E^{-1}*F^{-1}*G^{-1}*R$
[/mm]
diese Inverse sind dann deine eigentlich gesuchten Matrizen in der Reihenfolge, wie sie dann da im Produkt stehen.
Kennst du denn die Inversen der Elementarmatrizen ?
Kommst du nun alleine drauf?
viele Grüße
DaMenge
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:35 Sa 25.03.2006 | | Autor: | EasyLee |
Hallo!
Vielen Dank erst mal!
Der vorletzte Satz hört sich so an als sollte ich die Inversen der
Elementarmatrizen direkt kennen. Verpenne ich hier etwas?
Kann die Matrizen natürlich invertieren, vorher kenne ich die aber
nicht. Es sieht aber komisch aus! Ist es evtl .immer nur die jeweilige
Rechenoperation aber mit der inversen der benutzten Zahl? Oder so...
Gruß
EasyLee
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:43 Sa 25.03.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
ja, man sollte die Inversen der Elementarmatrizen kennen.
Du solltest dir das mal für eine nxn Matrix und die handvoll Elementarmatrizen verdeutlichen..
Beispiel : man vertauscht die i-te und die j-te Zeile , was muss man danach wohl machen um dies rückgängig zu machen?
Richtig : einfach nochmal vertauschen !
D.H. für die Elementarmatrix E zum Zeilenvertauschen gilt : [mm] $E^{-1}=E$
[/mm]
für den Rest hast du schon gute Ideen, aber ich denke es ist am lehrreichsten, wenn du dir dies einfach mal im allgemeinen Fall für nxn Matrizen überlegst...
(gibt ja nicht sooo viele Arten von Elementarmatrizen)
Im Fischer stand das aber alles auch recht gut erklärt, wenn ich mich recht erinnere.. (ansonsten gibts natürlich noch viel mehr Quellen... siehe Google, wenn du keine Lust hast, es schnell selbst zu machen)
ich hatte mal ein paar Links HIER zusammen gesucht. Dies kannst du aber auch oben rechts in der Suche machen...
viele Grüße
DaMenge
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