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| Aufgabe | | Für welche a,b [mm] \in \mathbb [/mm] R ist A = [mm] \begin{pmatrix} -3 & 0 & 0 \\ 2a & 2b & a \\ 10 & 0 & 2 \end{pmatrix} [/mm] diagonalisierbar |
Hi eine kleine Frage:
also ich habe als Eigenwerte folgendes herausbekommen:
[mm] \lambda_1 [/mm] = -3, [mm] \lambda_2 [/mm] = 2b, [mm] \lambda_3 [/mm] = 2
und die Eigenvektoren sind:
[mm] v_1 [/mm] = [mm] \left(\begin{array}{c}-1/2\\0\\1\end{array}\right)
[/mm]
[mm] v_2 [/mm] = [mm] \left(\begin{array}{c}0\\1\\0\end{array}\right)
[/mm]
[mm] v_3 [/mm] = [mm] \left(\begin{array}{c}0\\\frac{-a}{2(b-1)}\\1\end{array}\right)
[/mm]
Wenn ich jetzt überprüfe ob die Matrix A mit einer Diagonalmatrix ähnlich:
$ [mm] S^{-1} [/mm] * A * S = B $
In S schreibe ich einfach die EV und invertiere und für B erhalte ich:
B = [mm] \begin{pmatrix} -3 & 0 & 0 \\ 0 & 2b & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}
[/mm]
Ist es jetzt richtig wenn ich sage dass A diagonalisierbar ist wenn,
b [mm] \neq [/mm] 1 (weil im EV [mm] v_3 [/mm] (b-1) im Nenner steht)
b [mm] \neq [/mm] 0 (sonst wäre B ja keine Diagonalmatrix)
a [mm] \neq [/mm] 0 (Wenn ich S invertiere darf a nicht 0 sein, weil ich sonst bei einer Zeilenumformung mit 0 multiplizieren würde)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:47 Mi 14.01.2015 | | Autor: | fred97 |
> Für welche a,b [mm]\in \mathbb[/mm] R ist A = [mm]\begin{pmatrix} -3 & 0 & 0 \\ 2a & 2b & a \\ 10 & 0 & 2 \end{pmatrix}[/mm]
> diagonalisierbar
> Hi eine kleine Frage:
> also ich habe als Eigenwerte folgendes herausbekommen:
> [mm]\lambda_1[/mm] = -3, [mm]\lambda_2[/mm] = 2b, [mm]\lambda_3[/mm] = 2
>
> und die Eigenvektoren sind:
> [mm]v_1[/mm] = [mm]\left(\begin{array}{c}-1/2\\0\\1\end{array}\right)[/mm]
> [mm]v_2[/mm] = [mm]\left(\begin{array}{c}0\\1\\0\end{array}\right)[/mm]
> [mm]v_3[/mm] =
> [mm]\left(\begin{array}{c}0\\\frac{-a}{2(b-1)}\\1\end{array}\right)[/mm]
Wegen [mm] v_3 [/mm] solltest Du noch die Fallunterscheidung b=1 ind b [mm] \ne [/mm] 1 machen.
Rechne nach:
ist b=1, so hat die Matrix die Eigenwerte $ [mm] \lambda_1 [/mm] $ = -3 und $ [mm] \lambda_2 [/mm] $ = 2
Der Eigenraum zum Eigenwert $ [mm] \lambda_1 [/mm] $ = -3 die lineare Hülle von [mm] v_1
[/mm]
und der Eigenraum zum Eigenwert $ [mm] \lambda_2 [/mm] $ = -2 die lineare Hülle von [mm] v_2
[/mm]
Es gibt also keine Basis des [mm] \IR^3, [/mm] die aus Eigenvektoren von A besteht.
A ist also nicht diagonalisierbar.
Ist b [mm] \ne [/mm] 1, so sieht man: [mm] v_1,v_2 [/mm] und [mm] v_3 [/mm] sind linear unabhängig.
A ist also diagonalisierbar.
>
> Wenn ich jetzt überprüfe ob die Matrix A mit einer
> Diagonalmatrix ähnlich:
Das ist doch nun überflüssig !
FRED
>
> [mm]S^{-1} * A * S = B[/mm]
>
> In S schreibe ich einfach die EV und invertiere und für B
> erhalte ich:
>
> B = [mm]\begin{pmatrix} -3 & 0 & 0 \\ 0 & 2b & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Ist es jetzt richtig wenn ich sage dass A diagonalisierbar
> ist wenn,
> b [mm]\neq[/mm] 1 (weil im EV [mm]v_3[/mm] (b-1) im Nenner steht)
> b [mm]\neq[/mm] 0 (sonst wäre B ja keine Diagonalmatrix)
> a [mm]\neq[/mm] 0 (Wenn ich S invertiere darf a nicht 0 sein, weil
> ich sonst bei einer Zeilenumformung mit 0 multiplizieren
> würde)
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>Das ist doch nun überflüssig !
Aber es ist nicht falsch oder? :)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Fr 16.01.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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