Matrix A einer Lineartransform < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Geben Sie die Matrix A einer Lineartransformation l an, die in Richtung des Vektors ( 1 0 1) um den Faktor (-2), in Richtung des Vektors ( 0 2 0 ) um den Faktor 1/2 staucht, und den Vektor (-1 1 1) am Ursprung spiegelt.I |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo an die Community, ich würde gerne wissen wie ich die matrix a herausfinden kann. Ich habe leider überhaupt keine Idee wie ich die Problemstellung angehen soll.
|
|
| |
|
> Geben Sie die Matrix A einer Lineartransformation l an, die
> in Richtung des Vektors ( 1 0 1) um den Faktor (-2), in
> Richtung des Vektors ( 0 2 0 ) um den Faktor 1/2 staucht,
> und den Vektor (-1 1 1) am Ursprung spiegelt.I
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Hallo an die Community, ich würde gerne wissen wie ich die
> matrix a herausfinden kann. Ich habe leider überhaupt keine
> Idee wie ich die Problemstellung angehen soll.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Die gegebenen Vektoren sind eine Basis des [mm] \IR^3, [/mm] also ist durch die Angabe der Funktionswerte die Lineartransformation l eindeutig bestimmt.
Zwei nur auf den ersten Blich verschiedene Vorgehensweisen schlage ich Dir vor:
1. Stell die Matrix bzgl der gegebenen Basis auf, und führe anschließend eine basistransformation durch, so daß Du die darstellende Matrix bzgl. der Standardbasis erhältst.
(Da Du planlos zu sein scheinst, ist das wahrscheinlich kein guter Tip.)
2. Drücke die Standardvektoren als Linearkombinationen obiger Basis aus und berechne dann unter Nutzung der Linerarität ihre Funktionswerte.
Diese kommen als Spalten in die Matrix.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Vielen Dank für die Antwort, aber ich tue mir generell schwer mit Theorieerklärungen, kannst du es bitte anhand eines kurzen bsp mir erklären :)
|
|
|
| |
|
> Vielen Dank für die Antwort, aber ich tue mir generell
> schwer mit Theorieerklärungen, kannst du es bitte anhand
> eines kurzen bsp mir erklären :)
Hallo,
erstmal die Abbildung:
> Geben Sie die Matrix A einer Lineartransformation l an, die in Richtung des Vektors ( 1 0 1) um den Faktor (-2),
Also ist [mm] l(\vektor{1\\0\\1})=-2*\vektor{1\\0\\1}=\vektor{-2\\0\\-2}.
[/mm]
> in Richtung des Vektors ( 0 2 0 ) um den Faktor 1/2 staucht,
Also ist [mm] l(\vektor{0\\2\\0})=...
[/mm]
> und den Vektor (-1 1 1) am Ursprung spiegelt.
Also ist [mm] l(\vektor{-1\\1\\1})=...
[/mm]
Fernziel ist es, daß Du [mm] l(\vektor{1\\0\\0}), l(\vektor{0\\1\\0}), l(\vektor{0\\0\\1}) [/mm] findest.
Schreibe hierzu die Einheitsvektoren also linearkombination der Basis von oben, also
[mm] \vektor{1\\0\\0}=...*\vektor{1\\0\\1} [/mm] + [mm] ...*\vektor{0\\2\\0} [/mm] + [mm] ...*\vektor{-1\\1\\1}.
[/mm]
Wenn du das hast, kannst Du seinen Funktionswert ermitteln:
[mm] l(\vektor{1\\0\\0})=l(...*\vektor{1\\0\\1} [/mm] + [mm] ...*\vektor{0\\2\\0} [/mm] + [mm] ...*\vektor{-1\\1\\1})= [/mm] ???
Hier kannst Du nun ausnutzen, daß l linear ist, und Du die Werte auf der "krummen" Basis kennst. Der Vektor, den Du erhältst, ist die erste Spalte der gesuchten Matrix.
Für die beiden anderen Einheitsvektoren genauso.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
