Matrix A bzgl. Basis B < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:44 Mi 05.03.2014 | | Autor: | Sim22 |
| Aufgabe | Es sei [mm] A:\IR^3 \to \IR^3 [/mm] die lineare Abbildung mit A [mm] \vektor{x1 \\ x2 \\ x3}= \pmat{ 0 & 0 & 1 \\ -1 & -2 & -2 \\ 1 & 0 & 0}\vektor{x1 \\ x2 \\ x3}.
[/mm]
Geben Sie die Matrix AB von A bezüglich einer Basis aus Eigenvektoren von A an.
(Hinweis: Diese Aufgabe ist einfacher, wenn man die Eigenvektoren nicht berechnet.) |
Hallo zusammen,
Ich habe im Moment ein Problem bei dieser Aufgabe.
Ich habe die Eigenwerte der Matrix A bereits berechnet:
[mm] \lambda1=2 [/mm] und [mm] \lambda2=1 [/mm] und [mm] \lambda3=-1 [/mm]
Um den Hinweis wie oben beschrieben zu beachten, habe ich die Basis B so "konstruiert", dass ich die Eigenvektoren nicht berechnen muss.
[mm] B=\pmat{ 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -0 \\ 0 & 0 & -1}
[/mm]
Also habe ich die Basis so gewählt, dass die Eigenwerte der Matrix A auf der Diagonale liegen.
Nun ist mein Problem, wie berechne ich die Matrix AB bzgl. dieser Basis?
Bei Vektoren würde gelten B*x=P mit B der Basis und P dem Punkt, sodass x die Koordinaten des Punktes bzgl. der Basis B.
Wie sieht das bei einer Matrix bezüglich einer Basis aus?
Ich würde mich über eine Antwort freuen!
Gruß
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:24 Mi 05.03.2014 | | Autor: | fred97 |
> Es sei [mm]A:\IR^3 \to \IR^3[/mm] die lineare Abbildung mit A
> [mm]\vektor{x1 \\ x2 \\ x3}= \pmat{ 0 & 0 & 1 \\ -1 & -2 & -2 \\ 1 & 0 & 0}\vektor{x1 \\ x2 \\ x3}.[/mm]
>
> Geben Sie die Matrix AB von A bezüglich einer Basis aus
> Eigenvektoren von A an.
> (Hinweis: Diese Aufgabe ist einfacher, wenn man die
> Eigenvektoren nicht berechnet.)
> Hallo zusammen,
> Ich habe im Moment ein Problem bei dieser Aufgabe.
>
> Ich habe die Eigenwerte der Matrix A bereits berechnet:
> [mm]\lambda1=2[/mm] und [mm]\lambda2=1[/mm] und [mm]\lambda3=-1[/mm]
> Um den Hinweis wie oben beschrieben zu beachten, habe ich
> die Basis B so "konstruiert", dass ich die Eigenvektoren
> nicht berechnen muss.
>
> [mm]B=\pmat{ 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -0 \\ 0 & 0 & -1}[/mm]
> Also habe
> ich die Basis so gewählt, dass die Eigenwerte der Matrix A
> auf der Diagonale liegen.
Ja, so stimmts
>
> Nun ist mein Problem, wie berechne ich die Matrix AB bzgl.
> dieser Basis?
Kann es sein, dass die Aufgabe so lautet:
"Geben Sie die Matrix [mm] A_B [/mm] von A bezüglich einer Basis B aus Eigenvektoren von A an" ?
FRED
>
> Bei Vektoren würde gelten B*x=P mit B der Basis und P dem
> Punkt, sodass x die Koordinaten des Punktes bzgl. der Basis
> B.
>
> Wie sieht das bei einer Matrix bezüglich einer Basis aus?
>
> Ich würde mich über eine Antwort freuen!
> Gruß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:31 Mi 05.03.2014 | | Autor: | Sim22 |
Also wäre ich damit an sich schon fertig?
Aber um auf das Problem noch einmal zu kommen (nun nicht bezogen auf die Aufgabe), wie würde man eine Matrix A bezüglich einer Basis B denn berechnen?
|
|
|
| |
|
> Also wäre ich damit an sich schon fertig?
Hallo,
ja, die Matrix, die Du B nennst, ist die gesuchte Matrix [mm] A_B,
[/mm]
B ist dabei eine Basis aus Eigenvektoren. Diese gibt es, weil es drei verschiedene Eigenwerte gibt.
In den Spalten von [mm] A_B [/mm] stehen die Bilder der Basisvektoren von B in Koordinaten bzgl. B.
>
> Aber um auf das Problem noch einmal zu kommen (nun nicht
> bezogen auf die Aufgabe), wie würde man eine Matrix A
> bezüglich einer Basis B denn berechnen?
Wenn A die Darstellungsmatrix bzgl der Standardbasis ist,
S die Matrix, die die Vektoren einer Basis B in den Spalten enthält, dann ist
[mm] A_B= S^{-1}*A*S
[/mm]
LG Angela
|
|
|
|
