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| Aufgabe | Es sei
A:= [mm] \pmat{ -5 & 17 & 7 \\ 0 & 3 & 0 \\ -1 & 23 & 3 } \in Mat(3,3;\IR)
[/mm]
a) Bestimmen Sie das charakteristische Polynom der Matrix A.
b) Bestimmen Sie det A und det [mm] A^{-1}, [/mm] falls A invertiebar ist.
c) Bestimmen Sie alle Eigewerte der Matrix A.
d) Bestimmen Sie für jeden Eigenwert von A eine Basis des zugehörigen Eigenraums.
e) Überprüfen Sie, ob die Matrix A diagonalisierbar ist. |
Hi zusammen,
habe mal versucht diese Aufgabe hier zu lösen.
Ich glaube die Aufgabe bis zum Aufgabenteil c) gelöst zu haben. Bin mir aber bei den Aufgabenteil d) nicht sicher und zu e) habe ich nichts machen können verstehe nicht was die damit meinen.
Würde mich freuen wenn Ihr mir bei dieser Aufgabe helfen und meine Fehler aufdecken könntet.
Zu a)
A:= [mm] \pmat{ -5 & 17 & 7 \\ 0 & 3 & 0 \\ -1 & 23 & 3 } [/mm] - [mm] \lambda \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }
[/mm]
= [mm] \pmat{ -5-\lambda & 17 & 7 \\ 0 & 3-\lambda & 0 \\ -1 & 23 & 3-\lambda }
[/mm]
= [mm] (5-\lambda) [(3-\lambda) (3-\lambda)] [/mm] - 0 [(17) [mm] (3-\lambda) [/mm] - (23) (7)] - 1 [(17) (0) - [mm] (3-\lambda) [/mm] (7)]
= [mm] (5-\lambda) [(\lambda^{2} [/mm] - [mm] 13\lambda [/mm] + 30)]
Nun wende ich die pq-Formel an.
[mm] \lambda_{2/3} [/mm] = [mm] \bruch{13}{2} \pm \wurzel{(-\bruch{13}{2})^{2} -30}
[/mm]
[mm] \lambda_{2/3} [/mm] = 6,5 [mm] \pm \wurzel{12,25}
[/mm]
[mm] \lambda_{2/3} [/mm] = 6,5 [mm] \pm [/mm] 3,5
[mm] \lambda_{2} [/mm] = 10
[mm] \lambda_{3} [/mm] = 3
Zu b)
= -5 [(3) (3) - (23) (0)] - 0 [(17) (3) - (23) (7)] - 1 [(17) (0) - (3) (7)]
= -5 [9] - 1 [-21]
= -45 + 21
= -24
det(A) = -24
[mm] det(A^{-1}) [/mm] = [mm] -\bruch{1}{24}
[/mm]
Zu c)
Die Eigenwerte sind:
[mm] \lambda_{1} [/mm] = -5
[mm] \lambda_{2} [/mm] = 10
[mm] \lambda_{3} [/mm] = 3
Zu d)
= [mm] \pmat{ -5-\lambda & 17 & 7 \\ 0 & 3-\lambda & 0 \\ -1 & 23 & 3-\lambda }
[/mm]
Habe dann für [mm] \lambda [/mm] -5 eingesetzt.
= [mm] \pmat{ -5+5 & 17 & 7 \\ 0 & 3+5 & 0 \\ -1 & 23 & 3+5 }
[/mm]
Daraus ergibt sich:
= [mm] \pmat{ 0 & 17 & 7 \\ 0 & 8 & 0 \\ -1 & 23 & 8 }
[/mm]
[mm] 17x_{2} [/mm] + [mm] 7x_{3} [/mm] = 0
[mm] 8x_{2} [/mm] = 0
[mm] -x_{1} [/mm] + [mm] 23x_{2} [/mm] + [mm] 8x_{3} [/mm] = 0
Wähle [mm] x_{2} [/mm] = r.
17r + [mm] 7x_{3} [/mm] = 0
[mm] 7x_{3} [/mm] = -17r
[mm] x_{3} [/mm] = [mm] -\bruch{17}{7}r
[/mm]
[mm] -x_{1} [/mm] + 23r + [mm] 8(-\bruch{17}{7})r [/mm] = 0
23r + [mm] 8(-\bruch{17}{7}r) [/mm] = [mm] x_{1}
[/mm]
[mm] \bruch{25}{7}r [/mm] = [mm] x_{1}
[/mm]
[mm] v_{1} [/mm] = [mm] \vektor{\bruch{25}{7}r \\ r \\ -\bruch{17}{7}r}
[/mm]
= [mm] \pmat{ -5-\lambda & 17 & 7 \\ 0 & 3-\lambda & 0 \\ -1 & 23 & 3-\lambda }
[/mm]
Habe dann für [mm] \lambda [/mm] 10 eingesetzt.
= [mm] \pmat{ -5+10 & 17 & 7 \\ 0 & 3+10 & 0 \\ -1 & 23 & 3+10 }
[/mm]
Daraus ergibt sich:
= [mm] \pmat{ 5 & 17 & 7 \\ 0 & 13 & 0 \\ -1 & 23 & 13 }
[/mm]
[mm] 5x_{1} [/mm] + [mm] 17x_{2} [/mm] + [mm] 7x_{3} [/mm] = 0
[mm] 13x_{2} [/mm] = 0
[mm] -x_{1} [/mm] + [mm] 23x_{2} [/mm] + [mm] 13x_{3} [/mm] = 0
Wähle [mm] x_{2} [/mm] = s.
[mm] -x_{1} [/mm] + 23s + [mm] 13x_{3} [/mm] = 0
23s + [mm] 13x_{3} [/mm] = [mm] x_{1}
[/mm]
5(23s + [mm] 13x_{3}) [/mm] + 17s + [mm] 7x_{3} [/mm] = 0
132s + [mm] 72x_{3} [/mm] = 0
[mm] 72x_{3} [/mm] = -132s
[mm] x_{3} [/mm] = [mm] -\bruch{132}{72}s
[/mm]
[mm] -x_{1} [/mm] + 23s + [mm] 13(-\bruch{132}{72})s [/mm] = 0
[mm] -\bruch{5}{6}s [/mm] = [mm] x_{1}
[/mm]
[mm] v_{2} [/mm] = [mm] \vektor{-\bruch{5}{6}s \\ s \\ -\bruch{132}{72}s}
[/mm]
= [mm] \pmat{ -5-\lambda & 17 & 7 \\ 0 & 3-\lambda & 0 \\ -1 & 23 & 3-\lambda }
[/mm]
Habe dann für [mm] \lambda [/mm] 3 eingesetzt.
= [mm] \pmat{ -5+3 & 17 & 7 \\ 0 & 3+3 & 0 \\ -1 & 23 & 3+3 }
[/mm]
Daraus ergibt sich:
= [mm] \pmat{ -2 & 17 & 7 \\ 0 & 6 & 0 \\ -1 & 23 & 6 }
[/mm]
[mm] -2x_{1} [/mm] + [mm] 17x_{2} [/mm] + [mm] 7x_{3} [/mm] = 0
[mm] 6x_{2} [/mm] = 0
[mm] -x_{1} [/mm] + [mm] 23x_{2} [/mm] + [mm] 6x_{3} [/mm] = 0
Wähle [mm] x_{2} [/mm] = t.
[mm] -x_{1} [/mm] + 23t + [mm] 6x_{3} [/mm] = 0
23t + [mm] 6x_{3} [/mm] = [mm] x_{1}
[/mm]
-2(23t + [mm] 6x_{3}) [/mm] + 17t + [mm] 7x_{3} [/mm] = 0
-29t - [mm] 5x_{3} [/mm] = 0
[mm] -5x_{3} [/mm] = 29t
[mm] x_{3} [/mm] = [mm] -\bruch{29}{5}t
[/mm]
[mm] -x_{1} [/mm] + 23t + [mm] 6(-\bruch{29}{5})t [/mm] = 0
[mm] -\bruch{59}{5}t [/mm] = [mm] x_{1}
[/mm]
[mm] v_{3} [/mm] = [mm] \vektor{ -\bruch{59}{5})t \\ t \\ -\bruch{29}{5}t}
[/mm]
Zu e) Keine Ahnung. Habe es nicht verstanden.
Habe die Aufgabe in keinem anderen Forum gepostet.
MfG
[mm] DARKMAN_X
[/mm]
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Hallo DARKMAN_X,
> Es sei
>
> A:= [mm]\pmat{ -5 & 17 & 7 \\ 0 & 3 & 0 \\ -1 & 23 & 3 } \in Mat(3,3;\IR)[/mm]
>
> a) Bestimmen Sie das charakteristische Polynom der Matrix
> A.
> b) Bestimmen Sie det A und det [mm]A^{-1},[/mm] falls A invertiebar
> ist.
> c) Bestimmen Sie alle Eigewerte der Matrix A.
> d) Bestimmen Sie für jeden Eigenwert von A eine Basis des
> zugehörigen Eigenraums.
> e) Überprüfen Sie, ob die Matrix A diagonalisierbar
> ist.
> Hi zusammen,
>
> habe mal versucht diese Aufgabe hier zu lösen.
> Ich glaube die Aufgabe bis zum Aufgabenteil c) gelöst zu
> haben. Bin mir aber bei den Aufgabenteil d) nicht sicher
> und zu e) habe ich nichts machen können verstehe nicht was
> die damit meinen.
> Würde mich freuen wenn Ihr mir bei dieser Aufgabe helfen
> und meine Fehler aufdecken könntet.
>
>
>
> Zu a)
>
> A:= [mm]\pmat{ -5 & 17 & 7 \\ 0 & 3 & 0 \\ -1 & 23 & 3 }[/mm] -
> [mm]\lambda \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }[/mm]
>
> = [mm]\pmat{ -5-\lambda & 17 & 7 \\ 0 & 3-\lambda & 0 \\ -1 & 23 & 3-\lambda }[/mm]
>
> = [mm](5-\lambda) [(3-\lambda) (3-\lambda)][/mm] - 0 [(17)
> [mm](3-\lambda)[/mm] - (23) (7)] - 1 [(17) (0) - [mm](3-\lambda)[/mm] (7)]
>
Hier muss es doch lauten:
[mm](\blue{-}5-\lambda) [(3-\lambda) (3-\lambda)] - 0 [(17)
(3-\lambda) - (23) (7)] - 1 [(17) (0) - (3-\lambda) (7)][/mm]
> = [mm](5-\lambda) [(\lambda^{2}[/mm] - [mm]13\lambda[/mm] + 30)]
>
> Nun wende ich die pq-Formel an.
>
> [mm]\lambda_{2/3}[/mm] = [mm]\bruch{13}{2} \pm \wurzel{(-\bruch{13}{2})^{2} -30}[/mm]
>
> [mm]\lambda_{2/3}[/mm] = 6,5 [mm]\pm \wurzel{12,25}[/mm]
>
> [mm]\lambda_{2/3}[/mm] = 6,5 [mm]\pm[/mm] 3,5
>
> [mm]\lambda_{2}[/mm] = 10
>
> [mm]\lambda_{3}[/mm] = 3
>
> Zu b)
>
> = -5 [(3) (3) - (23) (0)] - 0 [(17) (3) - (23) (7)] - 1
> [(17) (0) - (3) (7)]
>
> = -5 [9] - 1 [-21]
>
> = -45 + 21
>
> = -24
>
> det(A) = -24
> [mm]det(A^{-1})[/mm] = [mm]-\bruch{1}{24}[/mm]
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Zu c)
>
> Die Eigenwerte sind:
> [mm]\lambda_{1}[/mm] = -5
> [mm]\lambda_{2}[/mm] = 10
> [mm]\lambda_{3}[/mm] = 3
>
> Zu d)
>
> = [mm]\pmat{ -5-\lambda & 17 & 7 \\ 0 & 3-\lambda & 0 \\ -1 & 23 & 3-\lambda }[/mm]
>
> Habe dann für [mm]\lambda[/mm] -5 eingesetzt.
>
> = [mm]\pmat{ -5+5 & 17 & 7 \\ 0 & 3+5 & 0 \\ -1 & 23 & 3+5 }[/mm]
>
> Daraus ergibt sich:
>
> = [mm]\pmat{ 0 & 17 & 7 \\ 0 & 8 & 0 \\ -1 & 23 & 8 }[/mm]
>
> [mm]17x_{2}[/mm] + [mm]7x_{3}[/mm] = 0
> [mm]8x_{2}[/mm] = 0
> [mm]-x_{1}[/mm] + [mm]23x_{2}[/mm] + [mm]8x_{3}[/mm] = 0
>
> Wähle [mm]x_{2}[/mm] = r.
>
> 17r + [mm]7x_{3}[/mm] = 0
> [mm]7x_{3}[/mm] = -17r
> [mm]x_{3}[/mm] = [mm]-\bruch{17}{7}r[/mm]
>
> [mm]-x_{1}[/mm] + 23r + [mm]8(-\bruch{17}{7})r[/mm] = 0
> 23r + [mm]8(-\bruch{17}{7}r)[/mm] = [mm]x_{1}[/mm]
> [mm]\bruch{25}{7}r[/mm] = [mm]x_{1}[/mm]
>
> [mm]v_{1}[/mm] = [mm]\vektor{\bruch{25}{7}r \\ r \\ -\bruch{17}{7}r}[/mm]
>
> = [mm]\pmat{ -5-\lambda & 17 & 7 \\ 0 & 3-\lambda & 0 \\ -1 & 23 & 3-\lambda }[/mm]
>
> Habe dann für [mm]\lambda[/mm] 10 eingesetzt.
>
> = [mm]\pmat{ -5+10 & 17 & 7 \\ 0 & 3+10 & 0 \\ -1 & 23 & 3+10 }[/mm]
>
> Daraus ergibt sich:
>
> = [mm]\pmat{ 5 & 17 & 7 \\ 0 & 13 & 0 \\ -1 & 23 & 13 }[/mm]
>
> [mm]5x_{1}[/mm] + [mm]17x_{2}[/mm] + [mm]7x_{3}[/mm] = 0
> [mm]13x_{2}[/mm] = 0
> [mm]-x_{1}[/mm] + [mm]23x_{2}[/mm] + [mm]13x_{3}[/mm] = 0
>
> Wähle [mm]x_{2}[/mm] = s.
>
> [mm]-x_{1}[/mm] + 23s + [mm]13x_{3}[/mm] = 0
> 23s + [mm]13x_{3}[/mm] = [mm]x_{1}[/mm]
>
> 5(23s + [mm]13x_{3})[/mm] + 17s + [mm]7x_{3}[/mm] = 0
> 132s + [mm]72x_{3}[/mm] = 0
> [mm]72x_{3}[/mm] = -132s
> [mm]x_{3}[/mm] = [mm]-\bruch{132}{72}s[/mm]
>
> [mm]-x_{1}[/mm] + 23s + [mm]13(-\bruch{132}{72})s[/mm] = 0
> [mm]-\bruch{5}{6}s[/mm] = [mm]x_{1}[/mm]
>
> [mm]v_{2}[/mm] = [mm]\vektor{-\bruch{5}{6}s \\ s \\ -\bruch{132}{72}s}[/mm]
>
> = [mm]\pmat{ -5-\lambda & 17 & 7 \\ 0 & 3-\lambda & 0 \\ -1 & 23 & 3-\lambda }[/mm]
>
> Habe dann für [mm]\lambda[/mm] 3 eingesetzt.
>
> = [mm]\pmat{ -5+3 & 17 & 7 \\ 0 & 3+3 & 0 \\ -1 & 23 & 3+3 }[/mm]
>
> Daraus ergibt sich:
>
> = [mm]\pmat{ -2 & 17 & 7 \\ 0 & 6 & 0 \\ -1 & 23 & 6 }[/mm]
>
> [mm]-2x_{1}[/mm] + [mm]17x_{2}[/mm] + [mm]7x_{3}[/mm] = 0
> [mm]6x_{2}[/mm] = 0
> [mm]-x_{1}[/mm] + [mm]23x_{2}[/mm] + [mm]6x_{3}[/mm] = 0
>
> Wähle [mm]x_{2}[/mm] = t.
>
> [mm]-x_{1}[/mm] + 23t + [mm]6x_{3}[/mm] = 0
> 23t + [mm]6x_{3}[/mm] = [mm]x_{1}[/mm]
>
> -2(23t + [mm]6x_{3})[/mm] + 17t + [mm]7x_{3}[/mm] = 0
> -29t - [mm]5x_{3}[/mm] = 0
> [mm]-5x_{3}[/mm] = 29t
> [mm]x_{3}[/mm] = [mm]-\bruch{29}{5}t[/mm]
>
> [mm]-x_{1}[/mm] + 23t + [mm]6(-\bruch{29}{5})t[/mm] = 0
> [mm]-\bruch{59}{5}t[/mm] = [mm]x_{1}[/mm]
>
> [mm]v_{3}[/mm] = [mm]\vektor{ -\bruch{59}{5})t \\ t \\ -\bruch{29}{5}t}[/mm]
>
> Zu e) Keine Ahnung. Habe es nicht verstanden.
>
> Habe die Aufgabe in keinem anderen Forum gepostet.
>
> MfG
>
> [mm]DARKMAN_X[/mm]
>
Gruss
MathePower
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Hi MathePower,
bedanke mich für Ihre schnelle Antwort.
Zum Aufgabenteil a) & b) haben Sie mir mit einen Daumen gezeigt, dass die Aufgabe richtig ist.
Zum Aufgabenteil c), d) & e) konnte ich nichts finden.
Sind die Teilaufgabe c) & d) auch richtig oder falsch?
Wie sieht es mit dem Aufgabenteil e) aus, können Sie mir dazu Tipps geben oder einen Lösungsansatz?
MfG
[mm] DARKMAN_X
[/mm]
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> Hi MathePower,
>
> bedanke mich für Ihre schnelle Antwort.
Hallo,
Du kannst MathePower und alle anderen hier duzen.
> Zum Aufgabenteil a) & b) haben Sie mir mit einen Daumen
> gezeigt, dass die Aufgabe richtig ist.
Du hast das falsch vestanden: der Daumen war bloß für die Determinante.
in Teil a= hat Dich MathePower auf einen Fehler hingewiesen, welcher Auswirkungen auf alles weitere hat, so daß Du charakteristisches Polynom, Eigenwerte, Basen der Eigenräume nochmal rechnen mußt.
Zur Diagonalisierbarkeit:
Eine Matrix A ist diagonalisierbar, wenn es eine invertierbare Matrix T gibt, so daß [mm] T^{-1}AT [/mm] eine Diagonalmatrix ist.
Dies ist der Fall, wenn für jeden Eigenwert die algebraische Vielfachheit und die Dimension des zugehörigen Eigenraumes gleich sind.
LG Angela
P.S: Matrizen schreibt man anders als Lakritzen und Matratzen (s. Dein Betreff)
H
> Zum Aufgabenteil c), d) & e) konnte ich nichts finden.
> Sind die Teilaufgabe c) & d) auch richtig oder falsch?
> Wie sieht es mit dem Aufgabenteil e) aus, können Sie mir
> dazu Tipps geben oder einen Lösungsansatz?
>
> MfG
>
> [mm]DARKMAN_X[/mm]
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[mm] =(\blue{-}5-\lambda) [(3-\lambda) (3-\lambda)] [/mm] - 0 [(17) [mm] (3-\lambda) [/mm] - (23) (7)] - 1 [(17) (0) - [mm] (3-\lambda) [/mm] (7)]
= [mm] (5-\lambda) [(\lambda^{2} [/mm] - [mm] 13\lambda [/mm] + 30)]
= [mm] (5-\lambda) (\lambda^{2} [/mm] - [mm] 13\lambda [/mm] + 30)
Warum ist das denn Falsch kann man das nicht so lassen und direkt die pq-Formel anwenden oder muss ich das nochmal zusammen Multiplizieren? Und bin ich Aufgabenteil d) richtig angegangen?
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Hallo
[mm] \pmat{ -5-\lambda & 17 & 7 \\ 0 & 3-\lambda & 0 \\ -1 & 23 & 3-\lambda}
[/mm]
[mm] (-5-\lambda)*(3-\lambda)*(3-\lambda)+17*0*(-1)+7*0*23-17*0*(3-\lambda)-(-5-\lambda)*0*23-7*(3-\lambda)*(-1)
[/mm]
[mm] =(-5-\lambda)*(3-\lambda)*(3-\lambda)-7*(3-\lambda)*(-1)
[/mm]
[mm] =(-5-\lambda)*(3-\lambda)*(3-\lambda)+7*(3-\lambda)*1
[/mm]
[mm] =(-5-\lambda)*(3-\lambda)^{2}+7*(3-\lambda)
[/mm]
[mm] =(-5-\lambda)*(9-6\lambda+\lambda^{2})+7*(3-\lambda)
[/mm]
[mm] =-45+30\lambda-5\lambda^{2}-9\lambda+6\lambda^{2}-\lambda^{3}+21-7\lambda
[/mm]
[mm] =-\lambda^{3}+\lambda^{2}+14\lambda-24
[/mm]
du hast in der Zeile [mm] =(-5-\lambda)*(3-\lambda)^{2}+7*(3-\lambda) [/mm] die Terme [mm] (3-\lambda)^{2} [/mm] und [mm] 7*(3-\lambda) [/mm] addiert, was so nicht möglich ist, es steht keine Klammer um diese Summe, möglich wäre in
[mm] (-5-\lambda)*(3-\lambda)^{2}+7*(3-\lambda) [/mm]
den Term [mm] (3-\lambda) [/mm] auszuklammern
[mm] =(3-\lambda)*[(-5-\lambda)*(3-\lambda)+7]
[/mm]
[mm] =(3-\lambda)[\lambda^{2}+2\lambda-8]
[/mm]
aus der runden Klammer folgt: [mm] \lambda_1=3
[/mm]
aus der eckigen Klammer folgt: [mm] \lambda_2=2 [/mm] und [mm] \lambda_3=-4 [/mm] (p-q-Formel)
Steffi
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Hi Steffi,
danke für deine Antwort alles klar habe diesen Fehler übersehen.
Aufgabenteil b)
bleibt dann richtig.
det(A) = 24
[mm] det(A^{-1}) [/mm] = [mm] -\bruch{1}{24}
[/mm]
Zu Aufgabenteil c)
Da sind dann die Eigenwerte:
[mm] \lambda_{1} [/mm] = 3
[mm] \lambda_{2} [/mm] = 2
[mm] \lambda_{3} [/mm] = -4
Zu Aufgabenteil d)
= [mm] \pmat{-5-\lambda & 17 & 7 \\ 0 & 3-\lambda & 0 \\ -1 & 23 & 3-\lambda}
[/mm]
Habe dann für [mm] \lambda [/mm] 3 eingesetzt:
= [mm] \pmat{-5+3 & 17 & 7 \\ 0 & 3+3 & 0 \\ -1 & 23 & 3+3}
[/mm]
Daraus ergibt sich:
[mm] =\pmat{-2 & 17 & 7 \\ 0 & 6 & 0 \\ -1 & 23 & 6}
[/mm]
[mm] -2x_{1} [/mm] + [mm] 17x_{2} [/mm] + [mm] 7x_{3} [/mm] = 0
[mm] 6x_{2} [/mm] = 0
[mm] -x_{1} [/mm] + [mm] 23x_{2} [/mm] + [mm] 6x_{3} [/mm] = 0
Wähle [mm] x_{2} [/mm] = r.
[mm] -x_{1} [/mm] + 23r + [mm] 6x_{3} [/mm] = 0
23r + [mm] 6x_{3} [/mm] = [mm] x_{1}
[/mm]
-2(23r + [mm] 6x_{3}) [/mm] + 17r + [mm] 7x_{3} [/mm] = 0
-29r - [mm] 5x_{3} [/mm] = 0
[mm] -5x_{3} [/mm] = 29r
[mm] x_{3} [/mm] = [mm] -\bruch{29}{5}r
[/mm]
[mm] -x_{1} [/mm] + 23r + [mm] 6(-\bruch{29}{5})r [/mm] = 0
[mm] -\bruch{59}{5}r [/mm] = [mm] x_{1}
[/mm]
[mm] v_{3} [/mm] = [mm] \vektor{-\bruch{59}{5})r \\ r \\ -\bruch{29}{5}r}
[/mm]
= [mm] \pmat{-5-\lambda & 17 & 7 \\ 0 & 3-\lambda & 0 \\ -1 & 23 & 3-\lambda}
[/mm]
Habe dann für [mm] \lambda [/mm] 2 eingesetzt:
= [mm] \pmat{-5-2 & 17 & 7 \\ 0 & 3-2 & 0 \\ -1 & 23 & 3-2}
[/mm]
Daraus ergibt sich:
= [mm] \pmat{-3 & 17 & 7 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 23 & 1}
[/mm]
[mm] -3x_{1} [/mm] + [mm] 17x_{2} [/mm] + [mm] 7x_{3} [/mm] = 0
[mm] x_{2} [/mm] = 0
[mm] -x_{1} [/mm] + [mm] 23x_{2} [/mm] + [mm] x_{3} [/mm] = 0
Wähle [mm] x_{2} [/mm] = s.
[mm] -x_{1} [/mm] + 23s + [mm] x_{3} [/mm] = 0
23s + [mm] x_{3} [/mm] = [mm] x_{1}
[/mm]
-3(23s + [mm] x_{3}) [/mm] + 17s + [mm] 7x_{3} [/mm] = 0
-52s + [mm] 4x_{3} [/mm] = 0
[mm] 4x_{3} [/mm] = 52s
[mm] x_{3} [/mm] = [mm] \bruch{52}{4}s
[/mm]
[mm] -x_{1} [/mm] + 23s + [mm] (\bruch{52}{4})s [/mm] = 0
36 = [mm] x_{1}
[/mm]
[mm] v_{2} [/mm] = [mm] \vektor{36s \\ s \\ \bruch{52}{4}s}
[/mm]
= [mm] \pmat{-5-\lambda & 17 & 7 \\ 0 & 3-\lambda & 0 \\ -1 & 23 & 3-\lambda}
[/mm]
Habe dann für [mm] \lambda [/mm] -4 eingesetzt.
= [mm] \pmat{-5+4 & 17 & 7 \\ 0 & 3+4 & 0 \\ -1 & 23 & 3+4}
[/mm]
Daraus ergibt sich:
= [mm] \pmat{-1 & 17 & 7 \\ 0 & 7 & 0 \\ -1 & 23 & 7}
[/mm]
[mm] -x_{1} [/mm] + [mm] 17x_{2} [/mm] + [mm] 7x_{3} [/mm] = 0
[mm] 7x_{2} [/mm] = 0
[mm] -x_{1} [/mm] + [mm] 23x_{2} [/mm] + [mm] 7x_{3} [/mm] = 0
Wähle [mm] x_{2} [/mm] = t.
[mm] -x_{1} [/mm] + 23t + [mm] 7x_{3} [/mm] = 0
23t + [mm] 7x_{3} [/mm] = [mm] x_{1}
[/mm]
-(23t + [mm] 7x_{3}) [/mm] + 17t + [mm] 7x_{3} [/mm] = 0
-23s - [mm] 7x_{3} [/mm] + 17t + [mm] 7x_{3} [/mm] = 0
6t = 0
[mm] v_{3} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ t \\ 0}
[/mm]
Hoffe das es bis hierhin richtig ist.
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Hallo DARKMAN_X,
> Hi Steffi,
>
> danke für deine Antwort alles klar habe diesen Fehler
> übersehen.
>
> Aufgabenteil b)
> bleibt dann richtig.
> det(A) = 24
> [mm]det(A^{-1})[/mm] = [mm]-\bruch{1}{24}[/mm]
>
> Zu Aufgabenteil c)
> Da sind dann die Eigenwerte:
> [mm]\lambda_{1}[/mm] = 3
> [mm]\lambda_{2}[/mm] = 2
> [mm]\lambda_{3}[/mm] = -4
>
> Zu Aufgabenteil d)
> = [mm]\pmat{-5-\lambda & 17 & 7 \\ 0 & 3-\lambda & 0 \\ -1 & 23 & 3-\lambda}[/mm]
>
> Habe dann für [mm]\lambda[/mm] 3 eingesetzt:
>
> = [mm]\pmat{-5+3 & 17 & 7 \\ 0 & 3+3 & 0 \\ -1 & 23 & 3+3}[/mm]
>
Die zu betrachtende Matrix muss doch so lauten:
[mm]\pmat{-5\blue{-}3 & 17 & 7 \\ 0 & 3\blue{-}3 & 0 \\ -1 & 23 & 3\blue{-}3}[/mm]
> Daraus ergibt sich:
>
> [mm]=\pmat{-2 & 17 & 7 \\ 0 & 6 & 0 \\ -1 & 23 & 6}[/mm]
>
> [mm]-2x_{1}[/mm] + [mm]17x_{2}[/mm] + [mm]7x_{3}[/mm] = 0
> [mm]6x_{2}[/mm] = 0
> [mm]-x_{1}[/mm] + [mm]23x_{2}[/mm] + [mm]6x_{3}[/mm] = 0
>
> Wähle [mm]x_{2}[/mm] = r.
>
> [mm]-x_{1}[/mm] + 23r + [mm]6x_{3}[/mm] = 0
> 23r + [mm]6x_{3}[/mm] = [mm]x_{1}[/mm]
>
> -2(23r + [mm]6x_{3})[/mm] + 17r + [mm]7x_{3}[/mm] = 0
> -29r - [mm]5x_{3}[/mm] = 0
> [mm]-5x_{3}[/mm] = 29r
> [mm]x_{3}[/mm] = [mm]-\bruch{29}{5}r[/mm]
>
> [mm]-x_{1}[/mm] + 23r + [mm]6(-\bruch{29}{5})r[/mm] = 0
> [mm]-\bruch{59}{5}r[/mm] = [mm]x_{1}[/mm]
>
> [mm]v_{3}[/mm] = [mm]\vektor{-\bruch{59}{5})r \\ r \\ -\bruch{29}{5}r}[/mm]
>
> = [mm]\pmat{-5-\lambda & 17 & 7 \\ 0 & 3-\lambda & 0 \\ -1 & 23 & 3-\lambda}[/mm]
>
> Habe dann für [mm]\lambda[/mm] 2 eingesetzt:
>
> = [mm]\pmat{-5-2 & 17 & 7 \\ 0 & 3-2 & 0 \\ -1 & 23 & 3-2}[/mm]
>
> Daraus ergibt sich:
>
> = [mm]\pmat{-3 & 17 & 7 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 23 & 1}[/mm]
>
Die zu betrachtende Matrix muss doch so lauten:
[mm]\pmat{-\red{7} & 17 & 7 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 23 & 1}[/mm]
> [mm]-3x_{1}[/mm] + [mm]17x_{2}[/mm] + [mm]7x_{3}[/mm] = 0
> [mm]x_{2}[/mm] = 0
> [mm]-x_{1}[/mm] + [mm]23x_{2}[/mm] + [mm]x_{3}[/mm] = 0
>
> Wähle [mm]x_{2}[/mm] = s.
>
> [mm]-x_{1}[/mm] + 23s + [mm]x_{3}[/mm] = 0
> 23s + [mm]x_{3}[/mm] = [mm]x_{1}[/mm]
>
> -3(23s + [mm]x_{3})[/mm] + 17s + [mm]7x_{3}[/mm] = 0
> -52s + [mm]4x_{3}[/mm] = 0
> [mm]4x_{3}[/mm] = 52s
> [mm]x_{3}[/mm] = [mm]\bruch{52}{4}s[/mm]
>
> [mm]-x_{1}[/mm] + 23s + [mm](\bruch{52}{4})s[/mm] = 0
> 36 = [mm]x_{1}[/mm]
>
> [mm]v_{2}[/mm] = [mm]\vektor{36s \\ s \\ \bruch{52}{4}s}[/mm]
>
> = [mm]\pmat{-5-\lambda & 17 & 7 \\ 0 & 3-\lambda & 0 \\ -1 & 23 & 3-\lambda}[/mm]
>
> Habe dann für [mm]\lambda[/mm] -4 eingesetzt.
>
> = [mm]\pmat{-5+4 & 17 & 7 \\ 0 & 3+4 & 0 \\ -1 & 23 & 3+4}[/mm]
>
> Daraus ergibt sich:
>
> = [mm]\pmat{-1 & 17 & 7 \\ 0 & 7 & 0 \\ -1 & 23 & 7}[/mm]
>
> [mm]-x_{1}[/mm] + [mm]17x_{2}[/mm] + [mm]7x_{3}[/mm] = 0
> [mm]7x_{2}[/mm] = 0
> [mm]-x_{1}[/mm] + [mm]23x_{2}[/mm] + [mm]7x_{3}[/mm] = 0
>
> Wähle [mm]x_{2}[/mm] = t.
>
> [mm]-x_{1}[/mm] + 23t + [mm]7x_{3}[/mm] = 0
> 23t + [mm]7x_{3}[/mm] = [mm]x_{1}[/mm]
>
> -(23t + [mm]7x_{3})[/mm] + 17t + [mm]7x_{3}[/mm] = 0
> -23s - [mm]7x_{3}[/mm] + 17t + [mm]7x_{3}[/mm] = 0
> 6t = 0
>
> [mm]v_{3}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ t \\ 0}[/mm]
>
> Hoffe das es bis hierhin richtig ist.
>
Aufgabenteil d) ist leider nicht richtig.
Gruss
MathePower
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Hi MathePower,
ist Aufgabenteil d) komplett falsch oder nur ab da wo du mein Fehler entdeckt hast.
Wenn Aufgabenteil d) komplett falsch ist, weiss ich dann leider nicht weiter, könntet ihr mir helfen oder Lösungsvorschläge geben.
MfG
[mm] DARKMAN_X
[/mm]
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Hallo DARKMAN_X,
> Hi MathePower,
>
> ist Aufgabenteil d) komplett falsch oder nur ab da wo du
> mein Fehler entdeckt hast.
> Wenn Aufgabenteil d) komplett falsch ist, weiss ich dann
> leider nicht weiter, könntet ihr mir helfen oder
> Lösungsvorschläge geben.
>
Für die Eigenwerte [mm]\lambda=2[/mm] und [mm]\lambda=3[/mm]
sind die zu betrachtenden Matrizen nicht richtig.
Für den Eigenwert [mm]\lambda=-4[/mm] ist die zu betrachtende Matrix richtig,
aber der zugehörige Eigenvektor nicht.
> MfG
>
> [mm]DARKMAN_X[/mm]
Gruss
MathePower
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Hi MathePower,
verstehe das nicht kannst du mir anhand eines Beispiels erklären wie ich Aufgabenteil d) lösen kann. Oder zumindest einmal für [mm] \lambda [/mm] = 2 zeigen, wie es geht. Mit den Eigenwert und Eigenvektor. Das wäre sehr Hilfreich.
Danke.
MfG
[mm] DARKMAN_X
[/mm]
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Hallo DARKMAN_X,
> Hi MathePower,
>
> verstehe das nicht kannst du mir anhand eines Beispiels
> erklären wie ich Aufgabenteil d) lösen kann. Oder
> zumindest einmal für [mm]\lambda[/mm] = 2 zeigen, wie es geht. Mit
> den Eigenwert und Eigenvektor. Das wäre sehr Hilfreich.
>
Allgemein ergibt sich die zu betrachtendende Matrix:
[mm] \pmat{-5-\lambda & 17 & 7 \\ 0 & 3-\lambda & 0 \\ -1 & 23 & 3-\lambda}[/mm]
Für [mm]\lambda=2[/mm] ergibt sich:
[mm] \pmat{-5-2 & 17 & 7 \\ 0 & 3-2 & 0 \\ -1 & 23 & 3-2}=\pmat{-7 & 17 & 7 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 23 & 1[/mm]
Berechnest hast Du die Matrix für [mm]\lambda=2[/mm] zu
[mm] \pmat{-3 & 17 & 7 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 23 & 1} [/mm]
Bei dem Element in der 1. Zeile und 1. Spalte
ist ein Vorzeichenfehler passiert.
Hierbei hast Du statt "-5-2" zu rechnen, "[mm]-5\blue{+}2[/mm]" gerechnet.
> Danke.
>
> MfG
>
> [mm]DARKMAN_X[/mm]
Gruss
MathePower
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Hi MathePower,
Danke für deine Antowrt.
Hoffe das es jetzt richtig ist.
[mm] \pmat{-5-\lambda & 17 & 7 \\ 0 & 3-\lambda & 0 \\ -1 & 23 & 3-\lambda}
[/mm]
[mm] \pmat{-5-2 & 17 & 7 \\ 0 & 3-2 & 0 \\ -1 & 23 & 3-2}=\pmat{-7 & 17 & 7 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 23 & 1}
[/mm]
[mm] -7x_{1} [/mm] + [mm] 17x_{2} [/mm] + [mm] 7x_{3} [/mm] = 0
[mm] x_{2} [/mm] = 0
[mm] -x_{1} [/mm] + [mm] 23x_{2} [/mm] + [mm] x_{3} [/mm] = 0
Wähle [mm] x_{2} [/mm] = s.
[mm] -x_{1} [/mm] + [mm] 23x_{2} [/mm] + [mm] x_{3} [/mm] = 0
[mm] 23x_{2} [/mm] + [mm] x_{3} [/mm] = [mm] x_{1}
[/mm]
-7(23s + [mm] x_{3}) [/mm] + 17s + [mm] 7x_{3} [/mm] = 0
-144s = 0
v = [mm] \vektor{0 \\ s \\ 0}
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:29 So 05.02.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hi MathePower,
>
> Danke für deine Antowrt.
> Hoffe das es jetzt richtig ist.
>
> [mm]\pmat{-5-\lambda & 17 & 7 \\ 0 & 3-\lambda & 0 \\ -1 & 23 & 3-\lambda}[/mm]
>
> [mm]\pmat{-5-2 & 17 & 7 \\ 0 & 3-2 & 0 \\ -1 & 23 & 3-2}=\pmat{-7 & 17 & 7 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 23 & 1}[/mm]
>
> [mm]-7x_{1}[/mm] + [mm]17x_{2}[/mm] + [mm]7x_{3}[/mm] = 0
> [mm]x_{2}[/mm] = 0
> [mm]-x_{1}[/mm] + [mm]23x_{2}[/mm] + [mm]x_{3}[/mm] = 0
>
> Wähle [mm]x_{2}[/mm] = s.
Was machst Du denn da ???? Es ist [mm] x_2=0, [/mm] also bleibt nur die Gleichung
[mm] -x_1+x_3=0
[/mm]
FRED
>
> [mm]-x_{1}[/mm] + [mm]23x_{2}[/mm] + [mm]x_{3}[/mm] = 0
> [mm]23x_{2}[/mm] + [mm]x_{3}[/mm] = [mm]x_{1}[/mm]
>
> -7(23s + [mm]x_{3})[/mm] + 17s + [mm]7x_{3}[/mm] = 0
> -144s = 0
>
> v = [mm]\vektor{0 \\ s \\ 0}[/mm]
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Hi fred97,
stimmt.
[mm] -x_1+x_3=0 [/mm] genau das bleibt über.
[mm] x_3=x_1
[/mm]
[mm] -7x_1+7x_1=0
[/mm]
0=0
Und somit ergibt sich dann.
[mm] v=\vektor{0 \\ s \\ 0}
[/mm]
Ich hoffe das dies jetzt richtig ist...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:42 Mo 06.02.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hi fred97,
>
> stimmt.
>
> [mm]-x_1+x_3=0[/mm] genau das bleibt über.
>
> [mm]x_3=x_1[/mm]
>
> [mm]-7x_1+7x_1=0[/mm]
> 0=0
>
> Und somit ergibt sich dann.
>
> [mm]v=\vektor{0 \\ s \\ 0}[/mm]
>
> Ich hoffe das dies jetzt richtig ist...
Sag mal , liest Du nicht, was man Dir schreibt ? Es ist [mm] x_2 [/mm] =0 und [mm] x_1=x_3.
[/mm]
Dann ist jeder Eigenvektor von der Form
$ [mm] s*\vektor{1 \\ 0 \\ 1}$
[/mm]
FRED
>
>
>
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Hi fred97,
mal ein anderes Bsp.:
[mm] 17x_2+7x_3=0
[/mm]
[mm] 8x_2=0
[/mm]
[mm] -x_1+23_x2+8x_3=0
[/mm]
[mm] 8x_3=x_1
[/mm]
[mm] x_3=\bruch{1}{8}x_1
[/mm]
[mm] v=s*\vektor{8\\0\\\bruch{1}{8}}
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:10 Di 07.02.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hi fred97,
>
> mal ein anderes Bsp.:
>
> [mm]17x_2+7x_3=0[/mm]
> [mm]8x_2=0[/mm]
> [mm]-x_1+23_x2+8x_3=0[/mm]
>
> [mm]8x_3=x_1[/mm]
> [mm]x_3=\bruch{1}{8}x_1[/mm]
>
> [mm]v=s*\vektor{8\\0\\\bruch{1}{8}}[/mm]
Was treibst Du eigentlich ?
????? Wenn [mm] 8x_2=0 [/mm] ist, so folgt aus der ersten Gl: [mm] x_3 [/mm] =0 und aus der 3. Gl. folgt [mm] x_1=0
[/mm]
FRED
>
>
>
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Hallo,
Du solltest Dir möglichst schnell aneignen, wie man LGSe systematisch löst (Gaußalgorithmus, Zeilenstufenform), damit das Gewurschtel ein Ende hat, Du nach Kochrezept vorgehen kannst und zu einem sicheren und richtigen Ergebnis kommst.
Im Forum gibt's viele Threads dazu.
LG Angela
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Hallo,
zu a) habe ich eine Frage. Das charakteristische Polynom ist ja [mm] -\lambda^3+\lambda^2+14\lambda-24. [/mm]
Wie formt man das am Besten um, um die Nullstellen zu finden. Hier wurde ja die pq-Formel angewendet, ist das in Ordnung so, könnte mir jemand vielleicht die Schritte erklären?
Gibt es dafür eine bestimmte Formel oder welchen Schritt wendet man hier generell an, um das Ergebnis zu bekommen?
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:55 Mo 26.03.2012 | | Autor: | barsch |
Hi,
> Hallo,
>
> zu a) habe ich eine Frage. Das charakteristische Polynom
> ist ja [mm]-\lambda^3+\lambda^2+14\lambda-24.[/mm]
ja
> Wie formt man das am Besten um, um die Nullstellen zu
> finden. Hier wurde ja die pq-Formel angewendet, ist das in
> Ordnung so, könnte mir jemand vielleicht die Schritte
> erklären?
pq-Formel ist auf Anhieb nicht möglich. Das Polynom ist nicht von der Form [mm]x^2+px+q=0[/mm].
Eine Nullstelle kannst du raten: Nämlich [mm]\lambda=2[/mm]. Und dann Polynomdision.
> Gibt es dafür eine bestimmte Formel oder welchen Schritt
> wendet man hier generell an, um das Ergebnis zu bekommen?
>
> LG
Gruß
barsch
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