Matrix < Lineare Gleich.-sys. < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:18 Mo 20.06.2011 | | Autor: | lizi |
| Aufgabe | In einer Kleinstadt mit ca. 20000 Haushalten gibt es drei große Supermärkte A, B, C, in denen sich die Haushalte mit Lebensmittel versorgen. Das monatliche Wechselverhalten wird mit der Matrix M veranschaulicht
[mm] \begin{pmatrix}
0,70 & 0,10 & 0,10 \\
0,20 & 0,80 & 0,30 \\
0,10 & 0,10 & 0,60
\end{pmatrix}
[/mm]
a)Gegeben sei eine Anfangsverteilung von 2 500 Haushalte, die bei A, 11200 Haushalten, die bei B und 3600 Haushalten, die bei C einkaufen.
Berechne die Verteilungen der nächsten beiden Monate
b) Untersuche ausgehend von der Anfangsverteilung in a), ob sich die Verteilung des Vormonats eindeutig bestimmen lässt. Falls ja, bestimme diese.
c)Bestimme eine prozentuale Verteilung der 20 000 Haushalte auf die Supermärkte A, B und C, die sich bei dem obigen Wechselverhalten in den folgenden Monaten nicht mehr ändert.
d) Ermittle, welches Wechselverhalten die Kundschaft des Supermarktes B hätte, wenn langfristig 40% bei A, 50% bei B und 10% bei C einkaufen, sofern das Wechselverhalten der Kundschaft von A und C unverändert bliebe.
e)Zurückgehende Investitionen in Werbung und nachlassende Kundenfreundlichkeit im Supermarkt B führen zum Verlust eines Viertels seiner Stammkundschaft. Zu dem wechselt von der wechselwilligen Kundschaft der Supermärkte A und C keiner mehr zum Supermarkt B, sondern wechselt zu dem anderen Supermarkt.
Bestimme die Übergangsmatrix M*, die das neue Kundenverhalten in obiger Kleinstadt wiedergibt, und begründe, welche Auswirkung ein solches Kundenverhalten langfristig für den Supermarkt B hat. |
Ich schreibe demnächst eine Matheklausur über Matrizen und bin dann auf diese Aufgabe gestoßen.
Leider weiß ich überhaupt nicht, ob meine Lösungen richtig sind. Außerdem komme ich mit einigen Aufgaben nicht klar. Es wäre wirklich super nett von euch, wenn ihr mal drüber schauen könntet, ob meine bisherigen Rechnungen richtig sind, und mir evtl. helfen könntet, wie ich z.B. die Aufgabe b, d und e lösen könnte.
Ich wäre euch sehr dankbar dafür und bedanke mich schon mal im Voraus bei euch! 
zu a) nach einem monat [mm] v_1= \begin{pmatrix} 3500 \\ 11350 \\ 5150 \end{pmatrix}
[/mm]
nach zwei monate [mm] v_2=\begin{pmatrix} 4100 \\ 11325 \\ 4575 \end{pmatrix}
[/mm]
zu b) [mm] \begin{pmatrix}
0,70 & 0,10 & 0,10 \\
0,20 & 0,80 & 0,30 \\
0,10 & 0,10 & 0,60
\end{pmatrix} [/mm] * [mm] \begin{pmatrix} x \\ y \\ 1-x-y \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 2500 \\ 11200 \\ 6300 \end{pmatrix}
[/mm]
dann habe ich für x= 4150 und für y= 2322,94 bekommen... aber irgendwie sieht das nicht richtig aus?! und wie bekomme ich den jetzt z? Oder hätte ich den gesuchten Vektor anders legen sollen? Also statt {pmatrix} * [mm] \begin{pmatrix} x \\ y \\ 1-x-y \end{pmatrix} [/mm] dann doch * [mm] \begin{pmatrix} x \\ y \\ 20000-x-y \end{pmatrix}?? [/mm]
Oder habe ich Aufgabenstellung missverstanden??
zu c) [mm] \begin{pmatrix}
0,70 & 0,10 & 0,10 \\
0,20 & 0,80 & 0,30 \\
0,10 & 0,10 & 0,60
\end{pmatrix} [/mm] * [mm] \begin{pmatrix} x \\ y \\ 1-x-y \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} x \\ y \\ 1-x-y \end{pmatrix}
[/mm]
d.h. ( [mm] \begin{pmatrix} 0,25 \\ 0,55 \\ 0,2 \end{pmatrix} [/mm] ) * 20.000 = [mm] \begin{pmatrix} 5000 \\ 11000 \\ 4000 \end{pmatrix}
[/mm]
zu d) [mm] \begin{pmatrix}
0,70 & a & 0,10 \\
0,20 & b & 0,30 \\
0,10 & c & 0,60
\end{pmatrix} [/mm] * [mm] \begin{pmatrix} x \\ y \\ 1-x-y \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0,40 \\ 0,50 \\ 0,10 \end{pmatrix} [/mm] Ist mein Ansatz hier richtig??? Oder hätte ich die Matrix sowie den Vektor anders stellen müssen???
und bei e, weiß ich eigentlich gar nicht, was ich dort genau machen soll.
Vlg lizi
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Halli lizi,
> In einer Kleinstadt mit ca. 20000 Haushalten gibt es drei
> große Supermärkte A, B, C, in denen sich die Haushalte
> mit Lebensmittel versorgen. Das monatliche Wechselverhalten
> wird mit der Matrix M veranschaulicht
>
> [mm]\begin{pmatrix}
0,70 & 0,10 & 0,10 \\
0,20 & 0,80 & 0,30 \\
0,10 & 0,10 & 0,60
\end{pmatrix}[/mm]
>
> a)Gegeben sei eine Anfangsverteilung von 2 500 Haushalte,
> die bei A, 11200 Haushalten, die bei B und 3600 Haushalten,
> die bei C einkaufen.
> Berechne die Verteilungen der nächsten beiden Monate
>
> b) Untersuche ausgehend von der Anfangsverteilung in a), ob
> sich die Verteilung des Vormonats eindeutig bestimmen
> lässt. Falls ja, bestimme diese.
>
> c)Bestimme eine prozentuale Verteilung der 20 000 Haushalte
> auf die Supermärkte A, B und C, die sich bei dem obigen
> Wechselverhalten in den folgenden Monaten nicht mehr
> ändert.
>
> d) Ermittle, welches Wechselverhalten die Kundschaft des
> Supermarktes B hätte, wenn langfristig 40% bei A, 50% bei
> B und 10% bei C einkaufen, sofern das Wechselverhalten der
> Kundschaft von A und C unverändert bliebe.
>
> e)Zurückgehende Investitionen in Werbung und nachlassende
> Kundenfreundlichkeit im Supermarkt B führen zum Verlust
> eines Viertels seiner Stammkundschaft. Zu dem wechselt von
> der wechselwilligen Kundschaft der Supermärkte A und C
> keiner mehr zum Supermarkt B, sondern wechselt zu dem
> anderen Supermarkt.
> Bestimme die Übergangsmatrix M*, die das neue
> Kundenverhalten in obiger Kleinstadt wiedergibt, und
> begründe, welche Auswirkung ein solches Kundenverhalten
> langfristig für den Supermarkt B hat.
> Ich schreibe demnächst eine Matheklausur über Matrizen
> und bin dann auf diese Aufgabe gestoßen.
> Leider weiß ich überhaupt nicht, ob meine Lösungen
> richtig sind. Außerdem komme ich mit einigen Aufgaben
> nicht klar. Es wäre wirklich super nett von euch, wenn ihr
> mal drüber schauen könntet, ob meine bisherigen
> Rechnungen richtig sind, und mir evtl. helfen könntet, wie
> ich z.B. die Aufgabe b, d und e lösen könnte.
> Ich wäre euch sehr dankbar dafür und bedanke mich schon
> mal im Voraus bei euch!
>
> zu a) nach einem monat [mm]v_1= \begin{pmatrix} 3500 \\ 11350 \\ 5150 \end{pmatrix}[/mm]
>
> nach zwei monate [mm]v_2=\begin{pmatrix} 4100 \\ 11325 \\ 4575 \end{pmatrix}[/mm]
Hierzu würde ich gerne einmal deine Rechnung sehen. Dass das Ergebnis falsch sein muss, siehst du bereits daran, dass bei der Anfangsverteilung 17300 Haushalte existieren, bei deinen Ergebnissen jedoch beide Male exakt 20000.
>
> zu b) [mm]\begin{pmatrix}
0,70 & 0,10 & 0,10 \\
0,20 & 0,80 & 0,30 \\
0,10 & 0,10 & 0,60
\end{pmatrix}[/mm]
> * [mm]\begin{pmatrix} x \\ y \\ 1-x-y \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 2500 \\ 11200 \\ 6300 \end{pmatrix}[/mm]
>
> dann habe ich für x= 4150 und für y= 2322,94 bekommen...
> aber irgendwie sieht das nicht richtig aus?! und wie
> bekomme ich den jetzt z? Oder hätte ich den gesuchten
> Vektor anders legen sollen? Also statt {pmatrix} *
> [mm]\begin{pmatrix} x \\ y \\ 1-x-y \end{pmatrix}[/mm] dann doch *
> [mm]\begin{pmatrix} x \\ y \\ 20000-x-y \end{pmatrix}??[/mm]
> Oder habe ich Aufgabenstellung missverstanden??
>
Die Aufgabenstellung hast du verstanden und der Ansatz ist auch gar nicht so falsch. Doch wofür die Substitution von z? mit [mm]\begin{pmatrix}
0,70 & 0,10 & 0,10 \\
0,20 & 0,80 & 0,30 \\
0,10 & 0,10 & 0,60
\end{pmatrix}[/mm] * [mm]\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 2500 \\ 11200 \\ 6300 \end{pmatrix}[/mm]
hast du drei Gleichungen mit 3 Variablen, sodass du alle mehr oder weniger bequem ausrechnen kannst. (Schreib für den Fall, dass du unsicher bist, auch hier einmal deine Rechnung auf.)
> zu c) [mm]\begin{pmatrix}
0,70 & 0,10 & 0,10 \\
0,20 & 0,80 & 0,30 \\
0,10 & 0,10 & 0,60
\end{pmatrix}[/mm]
> * [mm]\begin{pmatrix} x \\ y \\ 1-x-y \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} x \\ y \\ 1-x-y \end{pmatrix}[/mm]
>
> d.h. ( [mm]\begin{pmatrix} 0,25 \\ 0,55 \\ 0,2 \end{pmatrix}[/mm] )
> * 20.000 = [mm]\begin{pmatrix} 5000 \\ 11000 \\ 4000 \end{pmatrix}[/mm]
>
Vollkommen richtig, die prozentuale Verteilung beträgt also A=25%; B=55% und C=20%
> zu d) [mm]\begin{pmatrix}
0,70 & a & 0,10 \\
0,20 & b & 0,30 \\
0,10 & c & 0,60
\end{pmatrix}[/mm]
> * [mm]\begin{pmatrix} x \\ y \\ 1-x-y \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0,40 \\ 0,50 \\ 0,10 \end{pmatrix}[/mm]
> Ist mein Ansatz hier richtig??? Oder hätte ich die Matrix
> sowie den Vektor anders stellen müssen???
>
Nein, im Allgemeinen ist das korrekt. Beachte, dass in der Aufgabenstellung steht, dass die prozentuale Verteilung langfristig sein soll. Also gilt wieder
[mm]\begin{pmatrix}
0,70 & a & 0,10 \\
0,20 & b & 0,30 \\
0,10 & c & 0,60
\end{pmatrix}[/mm] * [mm]\begin{pmatrix} 0,40 \\ 0,50 \\ 0,10 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0,40 \\ 0,50 \\ 0,10 \end{pmatrix}[/mm]
> und bei e, weiß ich eigentlich gar nicht, was ich dort
> genau machen soll.
Dazu musst du dir klarmachen, was die Zeilen und Spalten in deiner Matrix eigentlich bedeuten. Als Beispiel:
Die 0,7 beschreibt, dass 70% der Kunden von Supermarkt A nach einem Monat immer noch Kunde von Supermarkt A sind.
Die darunter befindliche 0,2 bedeutet, dass 20% der Kunden von A innerhalb eines Monats zu Supermarkt B wechseln. Steht nun in der Aufgabenstellung, dass keine Kunden mehr von C zu B wechseln, so musst du die Zahl gleich Null setzen, die den Wechsel von C nach B beschreibt.
Gruß, Melvissimo
>
> Vlg lizi
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:55 Mo 20.06.2011 | | Autor: | lizi |
Erst mal vielen vielen Dank, dass du geantwortet hast :)
Also zu a) Meine Rechnung:
[mm] \begin{pmatrix}
0,70 & 0,10 & 0,10 \\
0,20 & 0,80 & 0,30 \\
0,10 & 0,10 & 0,60
\end{pmatrix}* \begin{pmatrix} 2500 \\ 11200 \\ 6300 \end{pmatrix} v_1= \begin{pmatrix} 3500 \\ 11350 \\ 5150 \end{pmatrix}
[/mm]
und dann habe ich M* [mm] \begin{pmatrix} 3500 \\ 11350 \\ 5150 \end{pmatrix} v_2= \begin{pmatrix} 4100 \\ 11325 \\ 4575 \end{pmatrix} [/mm]
Ich dachte nämlich, dass ich den Anfangsvektor mal die Matrix nehmen muss, damit ich die Anfangsverteilung nach einem Monat habe und dann diesen Vektor mal die Matrix nehme, sodass ich die Anfangsverteilung nach zwei Monate habe....
zu b) Leider habe ich dort immer noch meine Probleme mit, ich bekomme das Gleichungssystem nicht aufgelöst...
Rechnung:
[mm] \begin{pmatrix}
0,70 & 0,10 & 0,10 \\
0,20 & 0,80 & 0,30 \\
0,10 & 0,10 & 0,60
\end{pmatrix}*\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 2500 \\ 11200 \\ 6300 \end{pmatrix}
[/mm]
[mm] G_1) [/mm] 0,70x + 0,10y + 0,10 z - 2500= 0
[mm] G_2) [/mm] 0,20x+ 0,80y+ 0,30z- 11200 = 0
[mm] G_3) [/mm] 0,10x+ 0,10y + 0,60z - 6300= 0
und dann löse ich [mm] G_1 [/mm] nach x auf:
x= [mm] \bruch{-1}{7}y- \bruch{1}{7}z+ [/mm] 3571,428571
danach setze ich [mm] G_1 [/mm] in [mm] G_2:
[/mm]
0,20* ( [mm] \bruch{-1}{7}- \bruch{1}{7}z+ [/mm] 3571,428571)+ 0,80y + 0,30z - 11200 = 0
[mm] \bruch{27}{35}y+ \bruch{19}{70}z- [/mm] 10449,71429=0
und jetzt weiß ich nicht was ich machen soll... Wenn ich jetzt diese Gleichung nach y auflöse, und [mm] G_2 [/mm] in [mm] G_3 [/mm] setze, habe ich danach wieder 2 unbekannte variabel.... Wie muss ich denn jetzt hierbei vorgehen?
zu d) Ich habe jetzt als Ergebnis: a = 0,22 b= 0,78 c= 0 ??
Mit der Aufgabe e habe ich mich noch nicht befasst...(Aber jetzt werde ich auch e machen und sie dann später rein posten)
Vlg Lizi
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Hallo lizi,
> Erst mal vielen vielen Dank, dass du geantwortet hast :)
>
> Also zu a) Meine Rechnung:
> [mm]\begin{pmatrix}
0,70 & 0,10 & 0,10 \\
0,20 & 0,80 & 0,30 \\
0,10 & 0,10 & 0,60
\end{pmatrix}* \begin{pmatrix} 2500 \\ 11200 \\ 6300 \end{pmatrix} v_1= \begin{pmatrix} 3500 \\ 11350 \\ 5150 \end{pmatrix}[/mm]
>
Hier hast Du einen Zahlendreher drin:
Statt 6300 muss es 3600 heissen:
[mm]\begin{pmatrix}
0,70 & 0,10 & 0,10 \\
0,20 & 0,80 & 0,30 \\
0,10 & 0,10 & 0,60
\end{pmatrix}* \begin{pmatrix} 2500 \\ 11200 \\ \blue{36}00 \end{pmatrix}[/mm]
> und dann habe ich M* [mm]\begin{pmatrix} 3500 \\ 11350 \\ 5150 \end{pmatrix} v_2= \begin{pmatrix} 4100 \\ 11325 \\ 4575 \end{pmatrix}[/mm]
> Ich dachte nämlich, dass ich den Anfangsvektor mal die
> Matrix nehmen muss, damit ich die Anfangsverteilung nach
> einem Monat habe und dann diesen Vektor mal die Matrix
> nehme, sodass ich die Anfangsverteilung nach zwei Monate
> habe....
>
> zu b) Leider habe ich dort immer noch meine Probleme mit,
> ich bekomme das Gleichungssystem nicht aufgelöst...
> Rechnung:
>
> [mm]\begin{pmatrix}
0,70 & 0,10 & 0,10 \\
0,20 & 0,80 & 0,30 \\
0,10 & 0,10 & 0,60
\end{pmatrix}*\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}[/mm]
> = [mm]\begin{pmatrix} 2500 \\ 11200 \\ 6300 \end{pmatrix}[/mm]
>
> [mm]G_1)[/mm] 0,70x + 0,10y + 0,10 z - 2500= 0
> [mm]G_2)[/mm] 0,20x+ 0,80y+ 0,30z- 11200 = 0
> [mm]G_3)[/mm] 0,10x+ 0,10y + 0,60z - 6300= 0
>
> und dann löse ich [mm]G_1[/mm] nach x auf:
> x= [mm]\bruch{-1}{7}y- \bruch{1}{7}z+[/mm] 3571,428571
>
> danach setze ich [mm]G_1[/mm] in [mm]G_2:[/mm]
> 0,20* ( [mm]\bruch{-1}{7}- \bruch{1}{7}z+[/mm] 3571,428571)+ 0,80y
> + 0,30z - 11200 = 0
> [mm]\bruch{27}{35}y+ \bruch{19}{70}z-[/mm] 10449,71429=0
>
> und jetzt weiß ich nicht was ich machen soll... Wenn ich
> jetzt diese Gleichung nach y auflöse, und [mm]G_2[/mm] in [mm]G_3[/mm]
> setze, habe ich danach wieder 2 unbekannte variabel.... Wie
> muss ich denn jetzt hierbei vorgehen?
>
> zu d) Ich habe jetzt als Ergebnis: a = 0,22 b= 0,78 c= 0 ??
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Mit der Aufgabe e habe ich mich noch nicht befasst...(Aber
> jetzt werde ich auch e machen und sie dann später rein
> posten)
>
> Vlg Lizi
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:50 Di 21.06.2011 | | Autor: | lizi |
Erst mal euch allen vielen vielen Dank, dass ihr mir bei dieser Aufgabe geholfen habt
Ich habe jetzt versucht eure Lösungsvorschläge umzusetzen:
a) Gegeben sei eine Anfangsverteilung von 2 500 Haushalte,
die bei A, 11200 Haushalten, die bei B und 3600 Haushalten,
die bei C einkaufen.
Berechne die Verteilungen der nächsten beiden Monate
---> Hier habe ich einen Tippfehler! Und zwar ist die Zahl 3600 FALSCH! Es müsste 6300 heißen
Somit stimmt meine Lösung: zu a) nach einem Monat [mm]v_1= \begin{pmatrix} 3500 \\ 11350 \\ 5150 \end{pmatrix}[/mm]
> > nach zwei Monate [mm]v_2=\begin{pmatrix} 4100 \\ 11325 \\ 4575 \end{pmatrix}[/mm]
>
b) Untersuche ausgehend von der Anfangsverteilung in a), ob
sich die Verteilung des Vormonats eindeutig bestimmen
lässt. Falls ja, bestimme diese.
Ja lässt sich bestimmen:
zu b) [mm]\begin{pmatrix}
0,70 & 0,10 & 0,10 \\
0,20 & 0,80 & 0,30 \\
0,10 & 0,10 & 0,60
\end{pmatrix}[/mm] * [mm]\begin{pmatrix} x \\ y \\ 1-x-y \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0,125 \\ 0,56 \\ 0,315 \end{pmatrix}[/mm]
>
[mm]\begin{pmatrix}
0,70 & 0,10 & 0,10 \\
0,20 & 0,80 & 0,30 \\
0,10 & 0,10 & 0,60
\end{pmatrix}[/mm] *[mm]\begin{pmatrix} \bruch{1}{24} \\ \bruch{317}{600} \\ \bruch{43}{100} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0,125 \\ 0,56 \\ 0,315 \end{pmatrix}[/mm]
c)Bestimme eine prozentuale Verteilung der 20 000 Haushalte
> auf die Supermärkte A, B und C, die sich bei dem obigen
> Wechselverhalten in den folgenden Monaten nicht mehr
> ändert.
Lösung zu c) > [mm]\begin{pmatrix}
0,70 & 0,10 & 0,10 \\
0,20 & 0,80 & 0,30 \\
0,10 & 0,10 & 0,60
\end{pmatrix}[/mm] > * [mm]\begin{pmatrix} x \\ y \\ 1-x-y \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} x \\ y \\ 1-x-y \end{pmatrix}[/mm]
>
> d.h. ( [mm]\begin{pmatrix} 0,25 \\ 0,55 \\ 0,2 \end{pmatrix}[/mm] ) * 20.000 = [mm]\begin{pmatrix} 5000 \\ 11000 \\ 4000 \end{pmatrix}[/mm]
>
> d) Ermittle, welches Wechselverhalten die Kundschaft des
> Supermarktes B hätte, wenn langfristig 40% bei A, 50% bei
> B und 10% bei C einkaufen, sofern das Wechselverhalten der
> Kundschaft von A und C unverändert bliebe.
>
Lösung zu d)
> zu d) [mm]\begin{pmatrix}
0,70 & a & 0,10 \\
0,20 & b & 0,30 \\
0,10 & c & 0,60
\end{pmatrix}[/mm] * [mm]\begin{pmatrix} 0,40 \\ 0,50 \\ 0,10 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0,40 \\ 0,50 \\ 0,10 \end{pmatrix}[/mm]
>
-----> [mm]\begin{pmatrix}
0,70 & 0,22 & 0,10 \\
0,20 & 0,78 & 0,30 \\
0,10 & 0 & 0,60
\end{pmatrix}[/mm] * [mm]\begin{pmatrix} 0,40 \\ 0,50 \\ 0,10 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0,40 \\ 0,50 \\ 0,10 \end{pmatrix}[/mm]
e)Zurückgehende Investitionen in Werbung und nachlassende
> Kundenfreundlichkeit im Supermarkt B führen zum Verlust
> eines Viertels seiner Stammkundschaft. Zu dem wechselt von
> der wechselwilligen Kundschaft der Supermärkte A und C
> keiner mehr zum Supermarkt B, sondern wechselt zu dem
> anderen Supermarkt.
> Bestimme die Übergangsmatrix M*, die das neue
> Kundenverhalten in obiger Kleinstadt wiedergibt, und
> begründe, welche Auswirkung ein solches Kundenverhalten
> langfristig für den Supermarkt B hat.
Leider weiß ich immer noch nicht ganz, wie ich hier die Matrix aufstellen soll...aber ich habs mal versucht:
!!= Die betroffenen Werte, die geändert werden müssen.
[mm]\begin{pmatrix}
0,70 & 0,10 & 0,10 \\
!!0,20!! & !!0,80!! & !!0,30!! \\
0,10 & 0,10 & 0,60
\end{pmatrix}[/mm]
[mm]\begin{pmatrix}
0,70 & 0,10 & 0,40 \\
0 & ??? & 0 \\
0,30 & 0,10 & 0,60
\end{pmatrix}[/mm]
Nur weiß ich leider nicht, was jetzt mit dem Wert 0,80 passiert und wie ich das in der neuen Matrix darstellen soll.
- Ein solches Kundenverhalten hat langfristig für den Supermarkt B erhebliche Folgen, da sie dadurch immer mehr an Kundschaft verlieren. Somit erleidet der Supermarkt B hohe Verluste; diese Verluste, könnten den Supermarkt B in Zukunft dazu bringen, Bankkrott zu werden. Somit müsste der Supermarkt B geschlossen werden.
VLG lizi
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Hallo,
> Erst mal euch allen vielen vielen Dank, dass ihr mir bei
> dieser Aufgabe geholfen habt
>
> Ich habe jetzt versucht eure Lösungsvorschläge
> umzusetzen:
>
> a) Gegeben sei eine Anfangsverteilung von 2 500 Haushalte,
> die bei A, 11200 Haushalten, die bei B und 3600
> Haushalten,
> die bei C einkaufen.
> Berechne die Verteilungen der nächsten beiden Monate
> ---> Hier habe ich einen Tippfehler! Und zwar ist die Zahl
> 3600 FALSCH! Es müsste 6300 heißen
>
> Somit stimmt meine Lösung: zu a) nach einem Monat [mm]v_1= \begin{pmatrix} 3500 \\ 11350 \\ 5150 \end{pmatrix}[/mm]
>
> > > nach zwei Monate [mm]v_2=\begin{pmatrix} 4100 \\ 11325 \\ 4575 \end{pmatrix}[/mm]
>
Stimmt
> >
>
> b) Untersuche ausgehend von der Anfangsverteilung in a),
> ob
> sich die Verteilung des Vormonats eindeutig bestimmen
> lässt. Falls ja, bestimme diese.
>
> Ja lässt sich bestimmen:
> zu b) [mm]\begin{pmatrix}
0,70 & 0,10 & 0,10 \\
0,20 & 0,80 & 0,30 \\
0,10 & 0,10 & 0,60
\end{pmatrix}[/mm] * [mm]\begin{pmatrix} x \\ y \\ 1-x-y \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0,125 \\ 0,56 \\ 0,315 \end{pmatrix}[/mm]
>
> >
>
> [mm]\begin{pmatrix}
0,70 & 0,10 & 0,10 \\
0,20 & 0,80 & 0,30 \\
0,10 & 0,10 & 0,60
\end{pmatrix}[/mm]
> *[mm]\begin{pmatrix} \bruch{1}{24} \\ \bruch{317}{600} \\ \bruch{43}{100} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0,125 \\ 0,56 \\ 0,315 \end{pmatrix}[/mm]
>
Aber da in der Aufgabenstellung nicht ausdrücklich nach der prozentualen Verteilung gefragt wurde, würde ich zur Sicherheit die absolute Verteilung der Kunden vor einem Monat zusätzlich angeben.
> c)Bestimme eine prozentuale Verteilung der 20 000 Haushalte
> > auf die Supermärkte A, B und C, die sich bei dem obigen
> > Wechselverhalten in den folgenden Monaten nicht mehr
> > ändert.
>
> Lösung zu c) > [mm]\begin{pmatrix}
0,70 & 0,10 & 0,10 \\
0,20 & 0,80 & 0,30 \\
0,10 & 0,10 & 0,60
\end{pmatrix}[/mm]
> > * [mm]\begin{pmatrix} x \\ y \\ 1-x-y \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} x \\ y \\ 1-x-y \end{pmatrix}[/mm]
>
> >
> > d.h. ( [mm]\begin{pmatrix} 0,25 \\ 0,55 \\ 0,2 \end{pmatrix}[/mm] ) * 20.000 = [mm]\begin{pmatrix} 5000 \\ 11000 \\ 4000 \end{pmatrix}[/mm]
>
> >
>
> > d) Ermittle, welches Wechselverhalten die Kundschaft des
> > Supermarktes B hätte, wenn langfristig 40% bei A, 50% bei
> > B und 10% bei C einkaufen, sofern das Wechselverhalten der
> > Kundschaft von A und C unverändert bliebe.
> >
> Lösung zu d)
> > zu d) [mm]\begin{pmatrix}
0,70 & a & 0,10 \\
0,20 & b & 0,30 \\
0,10 & c & 0,60
\end{pmatrix}[/mm]
> * [mm]\begin{pmatrix} 0,40 \\ 0,50 \\ 0,10 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0,40 \\ 0,50 \\ 0,10 \end{pmatrix}[/mm]
> >
>
> -----> [mm]\begin{pmatrix}
0,70 & 0,22 & 0,10 \\
0,20 & 0,78 & 0,30 \\
0,10 & 0 & 0,60
\end{pmatrix}[/mm] * [mm]\begin{pmatrix} 0,40 \\ 0,50 \\ 0,10 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0,40 \\ 0,50 \\ 0,10 \end{pmatrix}[/mm]
>
> e)Zurückgehende Investitionen in Werbung und nachlassende
> > Kundenfreundlichkeit im Supermarkt B führen zum Verlust
> > eines Viertels seiner Stammkundschaft. Zu dem wechselt von
> > der wechselwilligen Kundschaft der Supermärkte A und C
> > keiner mehr zum Supermarkt B, sondern wechselt zu dem
> > anderen Supermarkt.
> > Bestimme die Übergangsmatrix M*, die das neue
> > Kundenverhalten in obiger Kleinstadt wiedergibt, und
> > begründe, welche Auswirkung ein solches Kundenverhalten
> > langfristig für den Supermarkt B hat.
>
> Leider weiß ich immer noch nicht ganz, wie ich hier die
> Matrix aufstellen soll...aber ich habs mal versucht:
> !!= Die betroffenen Werte, die geändert werden müssen.
> [mm]\begin{pmatrix}
0,70 & 0,10 & 0,10 \\
!!0,20!! & !!0,80!! & !!0,30!! \\
0,10 & 0,10 & 0,60
\end{pmatrix}[/mm]
>
> [mm]\begin{pmatrix}
0,70 & 0,10 & 0,40 \\
0 & ??? & 0 \\
0,30 & 0,10 & 0,60
\end{pmatrix}[/mm]
soweit
> Nur weiß ich leider nicht, was jetzt mit dem Wert 0,80
> passiert und wie ich das in der neuen Matrix darstellen
> soll.
>
Ich persönlich finde die Aufgabenstellung nicht unbedingt eindeutig. Doch meiner Ansicht nach bezieht sich die Aussage, dass Supermarkt B ein Viertel seiner Stammkunden verliert, darauf, dass der Anteil der Kunden, die nach einem Monat immer noch bei B einkaufen, um ein Viertel reduziert wird.
> - Ein solches Kundenverhalten hat langfristig für den
> Supermarkt B erhebliche Folgen, da sie dadurch immer mehr
> an Kundschaft verlieren. Somit erleidet der Supermarkt B
> hohe Verluste; diese Verluste, könnten den Supermarkt B in
> Zukunft dazu bringen, Bankkrott zu werden. Somit müsste
> der Supermarkt B geschlossen werden.
>
Vielleicht würde ich erwähnen, dass der Kundenverlust daher rührt, dass keine neuen Kunden mehr zu B kommen, die alten Kunden aber weiterhin munter zu A oder C wechseln. (Es klingt trivial, aber in einer Klausur kann jede noch so kleine Begründung Punkte einbringen )
Gruß, Melvissimo
> VLG lizi
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