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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:27 So 07.11.2010 | | Autor: | Kuriger |
Hallo
Ich finde in der Lösung folgendes:
[mm] \pmat{ 6.7396 (\delta_{11}) & -4.7396 (\delta_{12}) \\ -4.7396 (\delta_{21}) & 6.0729 (\delta_{22})} \vektor{x_1 \\ x_2} [/mm] + [mm] \vektor{348.7500 (\delta_{10})\\ -115.4167 (\delta_{20})} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0}
[/mm]
[mm] \to \vektor{x_1 \\ x_2} [/mm] = [mm] \vektor{-85.073 \\ -47.390}
[/mm]
Wie kommt man auf diese Folgerung und das entsprechende Resultat?
Die Ausdrücke [mm] (\delta_{..}) [/mm] dienen nur für meine Orientierung...
Danke, gruss Kuriger
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Hi,
du hast ein Gleichungssystem der Art [mm]Ax+y=0\gdw Ax=-y\gdw x=A^{-1}y[/mm]. [mm]A\in\IR^{2\times 2},x,y\in \IR^n[/mm]
Du ziehst also den Vektor y auf die andere Seite der Gleichung (jede Komponente wird mit (-1) multipliziert. Dan multiplizierst du an y das Inverse.
Damit kommt man genau auf die Lösung [mm] $(x_1,x_2)^T$
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:44 Mo 08.11.2010 | | Autor: | Kuriger |
Hallo
Bin leider mit Matrizenrechnen überhaupt nicht vertraut
Ich will ja die Form
x = [mm] A^{-1} [/mm] * y
[mm] A^{-1} [/mm] = [mm] \pmat{ 0.3288 & 0.2566 \\ 0.2566 & 0.3649}
[/mm]
[mm] \vektor{x_1 \\ x_2} [/mm] = [mm] A^{-1} *\vektor{y_1 \\ y_2}
[/mm]
[mm] \vektor{x_1 \\ x_2} [/mm] = [mm] \pmat{ 0.3288 & 0.2566 \\ 0.2566 & 0.3649}
[/mm]
[mm] *\vektor{348.7500 \\ -115.4167} [/mm] = [mm] \vektor{x \\ y}
[/mm]
Doch wie geht das mit dem Rechnen genau? Zeile mal Spalte, Spalte mal zeile?
Hier wohl zeile * Spalte?
[mm] \vektor{x_1 \\ x_2} [/mm] = [mm] \vektor{0.3288* 348.7500 + 0.2566 * (-115.4167)\\ 0.2566*348.7500 + 0.3649*(-115.4167)} [/mm] = [mm] \vektor{85.05 \\ 47.37}
[/mm]
Zudem habe ich das mit dem minuszeichen nicht ganz verstanden, muss ja das irgendwie alles noch minus setzen..
Danke, gruss Kuriger
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Hallo,
wenn ich Dich recht verstehe, geht es Dir eher ums Prinzip als um die konkrete Aufgabe.
ich mache daher mal ein Beispiel mit freundlichen Zahlen, weil ich keine Lust habe, ellenlange Dezimalzahlen zu tippen oder gar damit zu rechnen.
Lösen möchtest Du die Aufgabe
[mm] \pmat{1&2\\3&4}*\vektor{x_1\\x_2} [/mm] + [mm] \vektor{-23\\-53}=\vektor{0\\0}.
[/mm]
Dies ist ein lineares Gleichungssystem in Matrix-Vektor-Schreibweise.
Am besten schreibt man sich das erstmal so:
[mm] \pmat{1&2\\3&4}*\vektor{x_1\\x_2}= \vektor{23\\53}
[/mm]
Wenn ich die Mutilplikation links ausführe ("Zeile mal Spalte") bekomme ich
[mm] \vektor{1*x_1+2*x_2\\3*x_1+4*x_2}=\vektor{23\\53},
[/mm]
und hieraus das LGS
[mm] 1*x_1+2*x_2=23
[/mm]
[mm] 3*x_1+4*x_2=53.
[/mm]
Du solltest jetzt erkennen, wie Du jedes LGS in Matrix-Vektorschreibweise verwandeln kannst in ein "normales" LGS.
Wenn Du irgendeine Methode kannst zum Lösen linearer Gleichungssysteme - und das ist doch der Fall, wenn ich mich recht entsinne (?) - dann ist die Lösung solcher Aufgaben kein grundsätzliches Problem für Dich.
Zum Lösen des Systems hast Du mehrere Möglichkeiten.
Ich gehe hier nur auf die ein, die irgendwas mit Matrizen zu tun haben - das andere kannst Du ja sowieso.
Möglichkeit 1.
Du prüfst (z.B. mit der Determinante), ob die Koeffizientenmatrix invertierbar ist.
Wenn ja, dann kannst Du die inverse Matrix berechnen, und diese links dranmultiplizieren.
Das hatte ein Voredner schon gesagt.
Berechnung der inversen Matrix mit dem Gaußalgorithmus:
[mm] \pmat{1&2&|&1&0\\3&4&|&0&1}-->...--> \pmat{1&0&|&-2&1\\0&1&|&\bruch{3}{2}&\bruch{-1}{2}}.
[/mm]
Die zur Koeffizientenmatrix inverse Matrix ist [mm] \pmat{-2&1\\\bruch{3}{2}&\bruch{-1}{2}}.
[/mm]
Damit bekommst Du
[mm] \pmat{1&2\\3&4}*\vektor{x_1\\x_2}= \vektor{23\\53}
[/mm]
<==>
[mm] \pmat{-2&1\\\bruch{3}{2}&\bruch{-1}{2}}*\pmat{1&2\\3&4}*\vektor{x_1\\x_2}= \pmat{-2&1\\\bruch{3}{2}&\bruch{-1}{2}}*\vektor{23\\53}
[/mm]
<==>
[mm] \vektor{x_1\\x_2}=\pmat{-2*23+1*53\\\bruch{3}{2}*23+(\bruch{-1}{2})*53}=\vektor{7\\8}
[/mm]
Die linke Seite kommt, weil "Matrix mal Inverse= Einheitsmatrix",
auf der rechten habe ich die Multiplikation (hoffentlich) nachvollziehbar ausgeführt.
Möglichkeit 2.
Du rechnest die Determinante der Koeffizientenmatrix aus und arbeitest,falls sie [mm] \not=0 [/mm] ist, dann mit der Cramerschen Regel. (ggf. nachlesen)
Möglichkeit 3. (Oft die beste)
Du arbeitest mit dem Gaußalgoithmus, indem Du die erweiterte Koeffizientenmatrix auf Zeilenstufenform bringst:
[mm] \pmat{1&2&|&23\\3&4&|&53} [/mm] --> [mm] ...-->\pmat{1&0&|&7\\0&1&|&8}
[/mm]
Übersetzung der ersten Zeile: [mm] 1*x_1+0*x_2=7
[/mm]
Übersetzung der zweiten Zeile: [mm] 0*x_1+1*x_2=8
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:40 Mo 08.11.2010 | | Autor: | Kuriger |
Halo Angela
Danke für deine tolle und ausführliche Erklärung
Gruss Kuriger
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Hallo, es geht natürlich auch diese (einfache) Variante
(1) [mm] 6,7396*x_1-4,7396*x_2+348,75=0
[/mm]
(2) [mm] -4,7396*x_1+6,0729*x_2-115,4167=0
[/mm]
Steffi
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