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Forum "Lineare Algebra - Matrizen" - Matrix
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Matrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:38 Mo 29.12.2008
Autor: Foster

Aufgabe
Die Rentiere des Weihnachtsmannes sind moderner Rationaliesierung zum Opfer gefallen. Der Mann mit dem weißen Bart hat jetzt einen Schlitten mit Raketen-Antrieb. Ihm stehen zwei Steuerhebel zur Verfügung, durch die er die Größen a [mm] \in \IR [/mm] und c [mm] \in \IR^{+} [/mm] in der Gleichung

[mm] x_{1}² [/mm] + [mm] 8x_{2}² [/mm] + [mm] x_{3}² [/mm] - 4 [mm] x_{1}x_{2} [/mm] + [mm] 2ax_{2}x_{3} [/mm] = c

der Flugfläche steuern kann. Durch diese Gleichung ist eine quadratische Form mit symmetrischer Matrix A gegeben. Da eine ellipsoidale Umlaufbahen gewünscht wird, wüsste der Weihnachtsmann gerne von Ihnen, welche Einstellungen von a eine positiv definite Matrix A liefert.


hoffe ihr könnt mir einen Tipp geben, wie ich der Ansatz der Aufgabe ist. Habe leider keine Ahnung.

        
Bezug
Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:43 Mo 29.12.2008
Autor: MathePower

Hallo Foster

> Die Rentiere des Weihnachtsmannes sind moderner
> Rationaliesierung zum Opfer gefallen. Der Mann mit dem
> weißen Bart hat jetzt einen Schlitten mit Raketen-Antrieb.
> Ihm stehen zwei Steuerhebel zur Verfügung, durch die er die
> Größen a [mm]\in \IR[/mm] und c [mm]\in \IR^{+}[/mm] in der Gleichung
>  
> [mm]x_{1}²[/mm] + [mm]8x_{2}²[/mm] + [mm]x_{3}²[/mm] - 4 [mm]x_{1}x_{2}[/mm] + [mm]2ax_{2}x_{3}[/mm] =
> c
>  
> der Flugfläche steuern kann. Durch diese Gleichung ist eine
> quadratische Form mit symmetrischer Matrix A gegeben. Da
> eine ellipsoidale Umlaufbahen gewünscht wird, wüsste der
> Weihnachtsmann gerne von Ihnen, welche Einstellungen von a
> eine positiv definite Matrix A liefert.
>  
>
> hoffe ihr könnt mir einen Tipp geben, wie ich der Ansatz
> der Aufgabe ist. Habe leider keine Ahnung.  


Eine Matrix ist positiv definit, wenn alle ihre []Eigenwerte größer als Null sind.

Außerdem ist zu beachten, daß es mindestens 2 verschiedene Eigenwerte gibt.


Gruß
MathePower

Bezug
                
Bezug
Matrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:29 Di 30.12.2008
Autor: Foster

Das habe ich verstanden, aber
wie kann ich das denn nachweisen?

Bezug
                        
Bezug
Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:50 Di 30.12.2008
Autor: MathePower

Hallo Foster,

> Das habe ich verstanden, aber
>  wie kann ich das denn nachweisen?


In dem Du die Eigenwerte der zugehörigen Matrix

[mm]\pmat{1 & -2 & 0 \\ -2 & 8 & a \\ 0 & a & 1}[/mm]

berechnest.


Gruß
MathePower

Bezug
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