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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:08 Sa 12.01.2008 | | Autor: | Kreide |
det A= [mm] \vmat{ a_1+x & x & x... \\ x & a_2+x & x...\\... }
[/mm]
die Diagonal geht bis [mm] a_n+x
[/mm]
Auftrag: Zeige, dass für komlexe zahlen x, [mm] a_i \not= [/mm] 0 für i=1,..n folgendes gilt:
det A = [mm] a_1*a_2*...*a_nx(\bruch{1}{x}+\bruch{1}{a_1}+\bruch{1}{a_2}+...+\bruch{1}{a_n})
[/mm]
________________________________________________________
ich habe erstmal die Matirx auf eine obere Dreiecksmatrix umgeformt
und entwickelt:
detA = [mm] (a_1+x) [/mm] * [mm] \vmat{ a_2 & 0 & 0... \\ -a_2 & a_3 & 0...\\ -a_2 & 0 & a_3 & 0... \\ -a_2 & 0 & 0 & a_4 & 0... \\...}
[/mm]
un dann die diogonle ausgerechnet und bin auf folgende Determinante gekommen:
det A= [mm] (a_1+x)*(a_2)(a_3)....(a_n)
[/mm]
ich hab veruscht, den term irgendwie umzuformen, dass er so aussieht wie da oben.... aber vergeblich... :( oder hab ich vorher schon einen fehler gemacht?
oder hat es was mit den komplexen zahlen zu tun? eigentlich doch nicht oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:55 So 13.01.2008 | | Autor: | Kreide |
hab mir alles noch mal angeschaut, muss jetzt nur noch zeigen, dass stimmt
[mm] \bruch{1}{x}+\bruch{1}{a_1}+\bruch{1}{a_2}+...+\bruch{1}{a_n})=(a_1+x) (\bruch{1}{a_1}*\bruch{1}{x})
[/mm]
die rechte seite kann ich ja umformen zu 1+1 + [mm] \bruch{a_1}{x}+\bruch{x}{a_1} [/mm] aber so richtig komme ich nicht weiter... auf der linken seite sind ja noch die [mm] a_2 [/mm] bis [mm] a_n [/mm] enthalten...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:27 So 13.01.2008 | | Autor: | Kreide |
oder so gefragt:
[mm] \bruch{1}{a_1}+...+\bruch{1}{a_n}=0
[/mm]
kann man das beweisen, oder gibt es so eine allgemeine Formel die so aussieht? oder kann ich über die summe der brüche nichts aussagen, da ich nicht weiß wie die [mm] a_i [/mm] 's aussehen?
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> oder so gefragt:
>
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> [mm]\bruch{1}{a_1}+...+\bruch{1}{a_n}=0[/mm]
>
> kann man das beweisen, oder gibt es so eine allgemeine
> Formel die so aussieht? oder kann ich über die summe der
> brüche nichts aussagen, da ich nicht weiß wie die [mm]a_i[/mm] 's
> aussehen?
Hallo,
letzteres!
Wie sollte man, ohne daß es irgendwelche EWinschränkungen an die [mm] a_i [/mm] gibt, über die Summe oben etwas aussagen können? Das ist doch absurd!
Gruß v. Angela
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> det A= [mm]\vmat{ a_1+x & x & x... \\ x & a_2+x & x...\\... }[/mm]
>
> die Diagonal geht bis [mm]a_n+x[/mm]
>
> Auftrag: Zeige, dass für komlexe zahlen x, [mm]a_i \not=[/mm] 0 für
> i=1,..n folgendes gilt:
> det A =
> [mm]a_1*a_2*...*a_nx(\bruch{1}{x}+\bruch{1}{a_1}+\bruch{1}{a_2}+...+\bruch{1}{a_n})[/mm]
>
> ________________________________________________________
>
> ich habe erstmal die Matirx auf eine obere Dreiecksmatrix
> umgeformt
> und entwickelt:
>
> detA = [mm](a_1+x)[/mm] * [mm]\vmat{ a_2 & 0 & 0... \\ -a_2 & a_3 & 0...\\ -a_2 & 0 & a_3 & 0... \\ -a_2 & 0 & 0 & a_4 & 0... \\...}[/mm]
Hallo,
mir ist unklar, wie Du die Matrix umgeformt hast - da aber das Ergebnis bereits für n=2 nicht stimmt, nehme ich an, daß Dir ein Fehler unterlaufen ist.
Gruß v. Angela
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:07 Mo 14.01.2008 | | Autor: | Kreide |
oh ja, hab meinen fehler entdeckt, da fehlt noch [mm] a_1 \vmat{ x & . & . & . & x \\ -a_2 & a_3 & 0 ...& \\-a_2 & 0 & a_4 & 0... & \\-a_2 & 0 & 0 & a_5 & 0...\\ ... }
[/mm]
diese diagonale geht bis [mm] a_{n}
[/mm]
diese Matrix sieht ja schon fast aus, wie eine obere dreiecksmatirx, wie könnte man denn die obere reihe irgendwie wegbekommen oder sonst die determinante berechnen indem man die vielen nullen ausnutzt?
ich hatte versucht, nach der letzten spalte zu entwickeln, das macht aber keinen sinn, weil ich dann wieder das gleiche problem habe, dass ich keine "reine" Dreiecksmatirx habe :(
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 15:37 Mo 14.01.2008 | | Autor: | Kreide |
oh ja, hab meinen fehler entdeckt, da fehlt noch [mm] a_1 \vmat{ x & . & . & . & x \\ -a_2 & a_3 & 0 ...& & 0 \\-a_2 & 0 & a_4 & 0... & \\-a_2 & 0 & 0 & a_5 & 0\\ ... }
[/mm]
diese diagonale geht bis [mm] a_{n}
[/mm]
diese Matrix sieht ja schon fast aus, wie eine obere dreiecksmatirx, wie könnte man denn die obere reihe irgendwie wegbekommen?
> oh ja, hab meinen fehler entdeckt, da fehlt noch [mm]a_1 \vmat{ x & . & . & . & x \\ -a_2 & a_3 & 0 ...& \\-a_2 & 0 & a_4 & 0... & \\-a_2 & 0 & 0 & a_5 & 0...\\ ... }[/mm]
>
> diese diagonale geht bis [mm]a_{n}[/mm]
>
> diese Matrix sieht ja schon fast aus, wie eine obere
> dreiecksmatirx, wie könnte man denn die obere reihe
> irgendwie wegbekommen oder sonst die determinante berechnen
> indem man die vielen nullen ausnutzt?
>
> ich hatte versucht, nach der letzten spalte zu entwickeln,
> das macht aber keinen sinn, weil ich dann wieder das
> gleiche problem habe, dass ich keine "reine" Dreiecksmatirx
> habe :(
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:11 Mo 14.01.2008 | | Autor: | Kreide |
> oh ja, hab meinen fehler entdeckt, da fehlt noch [mm]a_1 \vmat{ x & . & . & . & x \\ -a_2 & a_3 & 0 ...& & 0 \\-a_2 & 0 & a_4 & 0... & \\-a_2 & 0 & 0 & a_5 & 0\\ ... }[/mm]
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> diese diagonale geht bis [mm]a_{n}[/mm]
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> diese Matrix sieht ja schon fast aus, wie eine obere
> dreiecksmatirx, wie könnte man denn die obere reihe
> irgendwie wegbekommen?
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> > oh ja, hab meinen fehler entdeckt, da fehlt noch [mm]a_1 \vmat{ x & . & . & . & x \\ -a_2 & a_3 & 0 ...& \\-a_2 & 0 & a_4 & 0... & \\-a_2 & 0 & 0 & a_5 & 0...\\ ... }[/mm]
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> >
> > diese diagonale geht bis [mm]a_{n}[/mm]
> >
> > diese Matrix sieht ja schon fast aus, wie eine obere
> > dreiecksmatirx, wie könnte man denn die obere reihe
> > irgendwie wegbekommen oder sonst die determinante berechnen
> > indem man die vielen nullen ausnutzt?
> >
> > ich hatte versucht, nach der letzten spalte zu entwickeln,
> > das macht aber keinen sinn, weil ich dann wieder das
> > gleiche problem habe, dass ich keine "reine" Dreiecksmatirx
> > habe :(
> >
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:15 Mo 14.01.2008 | | Autor: | Jotwie |
...dreimal die gleiche Frage...
...mach mal einen auf halblang...
...du lässt dir hier so ziemlich alles erklären und wirst dann noch ungeduldig...
menno
Jotwie
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:03 Mo 14.01.2008 | | Autor: | Kreide |
wollte nur mal gucken, ob sich mein verdacht bewahrheitet, dass
tageschau=jotwie=GrigoriCaligari die gleichen personen sind...
sind sie also!!^^
hab die frage nämlich schon gelöst gehabt!!! ;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:50 Mo 14.01.2008 | | Autor: | Tagesschau |
hi,
...?
greez,
ts
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:49 Mo 14.01.2008 | | Autor: | TheSaint |
Kann ich hier mit Induktion arbeiten?
Der Induktionsanfang n=1 ist klar. Induktionsschluss [mm] n-1\mapsto [/mm] n : Subtrahiere von der ersten Spalte die zweite und entwickle nach dieser. Der erste Summand ist dann [mm] a_1a_2+\dots+a_nx\left(\frac 1x+\frac1{a_2}+\dots+\frac1{a_n}\right). [/mm] Für den zweiten Summanden erhält man rekursiv (man ziehe wieder von der ersten Spalte die zweite ab und entwickle nach dieser) [mm] a_2a_3\dots a_n*x
[/mm]
Würde es so funktionieren? kann man hiermit die Behauptung zeigen?
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> Der Induktionsanfang n=1 ist klar. Induktionsschluss
> [mm]n-1\mapsto[/mm] n : Subtrahiere von der ersten Spalte die zweite
> und entwickle nach dieser. Der erste Summand ist dann
> [mm]a_1a_2*\dots*a_nx\left(\frac 1x+\frac1{a_2}+\dots+\frac1{a_n}\right).[/mm]
> Für den zweiten Summanden erhält man rekursiv (man ziehe
> wieder von der ersten Spalte die zweite ab und entwickle
> nach dieser) [mm]a_2a_3\dots a_n*x[/mm]
>
> Würde es so funktionieren? kann man hiermit die Behauptung
> zeigen?
Hallo,
wenn ich es recht überblicke: ja.
Gruß v. Angela
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