Matrix < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:15 Fr 22.10.2004 | | Autor: | lomac |
Ich hab diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
Ich "kämpfe" gerade mit linearer Algebra.
U. a. steht in meinem Skript folgendes:
Lösbarkeit
Ist A*x=b ein lineares Gleichungssystem mit der mxn-Matrix A und dem m-dimensionalen Vektor b, also mit m Gleichungen in n Variablen, und ist rang (A/b) der Rang der Matrix (A,b) - d. h. die Matrix A wurde um die rechte Seite b erweitert -, so gilt für die Lösbarkeit des Gleichungssystems:
Ist rang (A) < rang (A/b), so ist A*x=b nicht lösbar
Ist rang (A) = rang (A/b) = r und r<n, so existieren unendlich viele
Lösungen
Ist rang (A) = rang (A/b) = r und r=n, so besitzt A*x=b genau eine
(eindeutige) Lösung.
Die eindeutige Lösbarkeit setzt voraus, dass die Anzahl der Gleichungen nicht kleiner ist als die Anzahl der Variablen, d. h. es existieren mindestens so viele Gleichungen wie Variablen (also m [mm] \ge [/mm] n).
Ich hatte bisher noch nie etwas mit Matrizen zu tun.
Kann mir bitte jemand das oben Stehende in leicht verständlichen Worten erklären ?
Vor allen Dingen was bedeutet denn rang (A/b) und woher kommt denn auf einmal r und was hat r hier zu bedeuten ?
Vielen Dank für Euere Bemühungen.
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hallo
also ich hoffe ich kriege das aus dem stehgreif, ohne ins Buch zu schauen hin, denn ich bin momentan nicht dort wo meine Bücher sind *G*. scherzal.
okay. also wir haben eine matrix m*n und einen Vektor b mit der dimension n*1. da A*x=b ist, können wir aufgrund der dimension der matrix und des vektors die dimension von x feststellen.
(m*n) * (???) = n*1 --> nämlich n*1
der rang einer matrix sagt aus, wieviele unabhängige vektoren es in der matrix gibt. die matrix ist regulär, d.h. sie hat vollen rang (das ist das r bei dir !!), wenn wir zb. eine 3*3 matix haben und der rang =3 . also alle drei vektoren sind linear unabhängig.
okay:
möglichkeit 1:
rang(A) < rang(A|b) --> Ax=b nicht lösbar
bsp
1a+1b-2c = 1
1a- 2b-1c = 2
-2a+4b-2c=1
lineare gleichungssysteme sind wie von obiger form
wobei die numerischen ausdrücke auf der linken seite die koeffizienten sind und auf der rechten seite findet man die unbekannten vor.
Warum nicht lösbar: i.W. weil wir drei zwar drei gleichungen mit drei unbekannten haben, aber es liegt kein schnittpunkt vor. geometrisch erkennt man, dass man zwei parallele ebenen ohne schnittpunkt vorfindet (siehe zweite und dritte zeile)
tatsächlich ist also der rang von A rang(A) = 2 und der ist kleiner < als rang von Amit b rang(A|b)
möglichkeit 2:
rang(A) = rang(A|b) r=n : A*x=b hat eine lösung
bsp
1a+1b-2c=1
1a-2b+1c=2
-1a+4b-2c=0
bei genauer betrachtung stellt man fest, dass alle drei vektoren linear unabhängig sind und somit kommt obiges zur anwendung. rang(A)=rang(A|b) = 3
i.W. wir haben drei ebenen in allgemeiner lage und zwei ebenen schneiden mit gerade
möglichkeit 3:
rang(A)= rang(A|b) r<n : unedlich viele lösungen
1a+1b-2c=1
1a-2b+1c=2
-2a+4b-2c=-4
...lösbar, es existieren aber unendlich viele lösungen da, rangA = rang(A|b) = 2<3
hoffe es war das was du hören wolltest und du bist zufriedengestellt.
falls nicht, bitte melde dich wieder, dann werde ich dir oder andere gernen weiterhelfen
lg und schönen tag
magister
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:51 Fr 22.10.2004 | | Autor: | lomac |
Hallo Magister,
zunächst vielen herzlichen Dank für Deine prompte Antwort.
Darf ich Dich noch einige Dinge dazu fragen, mit denen ich mom nicht klargekommen bin ?
Du schreibst z. B. (m*n) * (???) --> nämlich n*1
was bedeutet denn hier n*1 ?
Möglichkeit 1:
Dein Beispiel:
1a+1b-2c= 1
1a-2b-1c= 2
-2a+4b-2c= 1
Warum ist hier rang (A) = 2 ?
und was bedeutet denn rang (A/b) und warum ist der hier größer als 2 ?
Und warum hat man hier zwei parallele Ebenen ohne Schnittpunkt (siehe zweite und dritte Zeile - die dritte Zeile läßt sich doch nicht durch Verfielfachung der Zweiten nachbilden)
Möglichkeit 2:
Du schreibst, wir haben drei Ebenen in allgemeiner Lage und zwei Ebenen schneiden mit Gerade
was bedeutet das denn ? heißt das etwa das es bei den drei Geraden nur einen gemeinsamen Schnittpunkt gibt ?
Möglichkeit 3:
rang (A) =0 rang (A/b) r <n
was bedeutet denn hier das r<n ? was ist denn hier das n ?
Ich dachte wenn rang (A) = rang (A/b) dann gibt es eine Lösung
Kannst Du mir bitte nochmal helfen ?
Viele Grüße
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:45 Sa 23.10.2004 | | Autor: | lomac |
Hallo Stefan,
vielen Dank für Deine Unterstützung.
Auf den ersten Blick scheint das Thema dort sehr einleuchtend erklärt zu sein.
Kennst Du zufällig auch noch eine gute Seite zum Thema Differentialrechnugn ?
Viele Grüße
lomac
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:08 Mo 25.10.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Iomac!
Die Differentialrechnung ist ein weites Feld.
Auf welchem Niveau? Schule, Uni-Grundstudium, Uni-Hauptstudium? Welche Themen genau? Suchst du Skripte oder Übungsaufgaben? Oder Online-Tutorials?
Fragen über Fragen... 
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:43 Mo 25.10.2004 | | Autor: | lomac |
Hallo Stefan.
also ich habe ein Studium zum Bachelor of Finance begonnen und bin im 1. Semester. U. a. ist ein Modul Differentialrechnung dabei. Der Einstieg beginnt mit Funktionen, Umkehrfunktionen, Spiegelsymmetrie, Punktsymmetrie, Folgen u. Reihen (arithmetische Reihe, geometrische Reihe), Grenzwerte von Funktionen, Stetigkeit, ... - weiter bin ich noch nicht vorgedrungen. Da ich damit in der Vergangenheit noch nichts zu tun hatte tue ich mir entsprechend hart. Kennst Du vielleicht auch hier so einen schönen Einstieg, wie Du ihn mir für Matrizen empfohlen hast ?
Viele Grüße
lomac
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