Matrix < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 10:42 Fr 22.10.2004 | | Autor: | lomac |
Ich hab diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
Ich frische zur Zeit für ein nebenberufliches Studium meine Mathekenntnisse auf. Mit Matrizen hatte ich bisher noch nie im Leben etwas zu tun.
Kann mir bitte jemand in leicht nachvollziehbaren Schritten erklären wie der Rang der folgenden Matrix lautet ?
[mm] \pmat{1 & 0 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & 1 &-1 \\ 1 & 2 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 1 & -2 }
[/mm]
Bereits im voraus vielen herzlichen Dank.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:09 Fr 22.10.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo lomac,
> Kann mir bitte jemand in leicht nachvollziehbaren
> Schritten erklären wie der Rang der folgenden Matrix lautet
> ?
>
> [mm]\pmat{1 & 0 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & 1 &-1 \\ 1 & 2 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 1 & -2 }
[/mm]
Kennst du das Gauß-Verfahren zum Lösen linearer Gleichungen?
Mit diesem Verfahren kannst du die Matrix --nur durch Addition von Vielfachen von Zeilen zu anderen Zeilen-- auf Zeilenstufenform ("Dreiecksgestalt") bringen.
Die Anzahl der Zeilen, die mindestens einen von Null verschiedenen Eintrag haben, ist dann der Rang der Matrix.
Ich schlage vor, du probierst erstmal, die Matrix auf Dreiecksgestalt zu bringen (da ich davon ausgehe, dass du das Gauß-Verfahren bereits kennst) und meldest dich mit deinen Ergebnissen wieder.
Viele Grüße,
Marc
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:20 Fr 22.10.2004 | | Autor: | lomac |
Hallo Marc,
das Gauß-Verfahren sagt mir leider nichts - ist für mich absolutes Neuland und es ist sehr schwer sich einzufinden.
Kannst Du mir bitte aufzeigen, wie Du an die Sache rangehen würdest ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:55 Fr 22.10.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo lomac,
> das Gauß-Verfahren sagt mir leider nichts - ist für mich
> absolutes Neuland und es ist sehr schwer sich
> einzufinden.
Ui, das mußt du nachholen. Der Gauß-Algorithmus ist ein Verfahren zum Lösen von linearen Gleichungssystemen, und wird dir bestimmt noch sehr häufig begegnen.
> Kannst Du mir bitte aufzeigen, wie Du an die Sache
> rangehen würdest ?
Zunächst einmal wende ich wie in dieser Antwort beschrieben, den Gauß-Algorithmus auf deine Matrix an.
Weitere Beispiele zum Gauß-Algorithmus findest du auch ![[]](/images/popup.gif) hier.
Ich denke, besser als dort könnte ich es hier auch nicht erklären.
Zum besseren Einstieg zeige ich dir mal die ersten Umformungen:
Start:
[mm] \pmat{1 & 0 & -1 & 2 \\ \red{0} & 2 & 1 &-1 \\ \red{1} & 2 & 0 & 1 \\ \red{-1} & 0 & 1 & -2 }
[/mm]
Ziel (das sollte man immer vor Augen haben  )
[mm] \pmat{? & ? & ? & ? \\ \red{0} & ? & ? &? \\ \red{0} & \red{0} & ? & ? \\ \red{0} & \red{0} & \red{0} & ? }
[/mm]
Meine ersten drei Umformung sollen erreichen, dass die rot markierten Einträge der ersten Spalte verschwinden (Null werden).
Die erste Null der ersten Spalte ist bereits vorhanden, es gibt also nicht dafür zu tun.
Die zweite Null erreiche ich, indem ich das (-1)-fache der ersten Zeile zur dritte Zeile addiere:
[mm] \pmat{1 & 0 & -1 & 2 \\ \red{0} & 2 & 1 &-1 \\ \red{0} & 2 & 1 & -1 \\ \red{-1} & 0 & 1 & -2 }
[/mm]
Die dritte Null in der ersten Spalte erreiche ich durch (einfache) Addition der ersten Zeile zur vierten Zeile:
[mm] \pmat{1 & 0 & -1 & 2 \\ \red{0} & 2 & 1 &-1 \\ \red{0} & 2 & 1 & -1 \\ \red{0} & 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Jetzt nehme ich mir die Nullen der zweiten Spalte vor:
[mm] \pmat{1 & 0 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & 1 &-1 \\ 0 & \red{2} & 1 & -1 \\ 0 & \red{0} & 0 & 0 }
[/mm]
Die erste Null (an der Stelle der jetzigen 2) erzeuge ich durch Addition des (-1)-fachen der zweiten Zeile zur dritte Zeile:
[mm] \pmat{1 & 0 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & 1 &-1 \\ 0 & \red{0} & 0 & 0 \\ 0 & \red{0} & 0 & 0 }
[/mm]
Durch "Zufall" ist damit die gewünschte Dreiecksgestalt bereits erreicht:
[mm] \pmat{1 & 0 & -1 & 2 \\ \red{0} & 2 & 1 &-1 \\ \red{0} & \red{0} & 0 & 0 \\ \red{0} & \red{0} & \red{0} & 0 }
[/mm]
Ich zähle jetzt nur noch die Zeilen, die mindestens einen von Null verschiedenen Eintrag haben; das sind 2 Stück.
Also hat deine Matrix den Rang 2.
[mm] $\operatorname{Rang} \pmat{1 & 0 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & 1 &-1 \\ 1 & 2 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 1 & -2 }=2$
[/mm]
Viele Grüße,
Marc
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