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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:24 Mo 10.07.2006 | | Autor: | didi_160 |
| Aufgabe | | Sei [mm] c_1,c_2,... [/mm] eine Folge reeller Zahlen und [mm] A^{(n)} [/mm] die n x n-Matrix mit den Komponenten [mm] a_{ii} [/mm] = [mm] c_{i} [/mm] für i = [mm] 1,...n,a_{i,i+1} [/mm] = [mm] +1,a_{i+1,i} [/mm] = -1 für i = 1,...,n-1 und [mm] a_{i,j} [/mm] = 0 sonst. |
Hallo Leute,
ich brauche eure Hilfe.
Den Beginn der Aufgenstellung habe ich haargenau so aufgeschrieben wie er auf meinem Übungsblatt steht. (Es ist von der Matrix eine Rekursionsformel anzugeben. Aber das ist nicht Gegenstand meiner Frage).
Ich habe mal versucht am Beispiel einer 5 x 5-Matrix die Beschreibung der Matrix zu entwirren. Ich gebe nach einer halben Stunde ergebnislos auf!!!!
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1. Was ist mit [mm] "c_1,c_2,... [/mm] eine Folge reeller Zahlen" gemeint? [mm] c_1,c_2,... [/mm]
sind reeller Zahlen. Oder???
2. Müßte es in der Beschreibung der Matrix nicht richtig heißen:"für i = 1,...n
hat [mm] a_{i,i+1} [/mm] = +1.
3. Ich denke besser wäre: [mm] a_{i+1,i} [/mm] = -1 für i = 1,...,n-1
4. Sonst ist [mm] a_{i,j} [/mm] = 0.
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Ist in der Aufgabenstellung etwas faul?
Oder bin ich zu blöd die Aufgabe richtig zu interpretieren??
Ich möchte gern mal beispielhaft eine Matrix sehen, von der ich die Rekursionsformel angeben soll. Ich bin auf eure Antwort sehr gespannt!
Viele Grüße
didi_160
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> 1. Was ist mit [mm]"c_1,c_2,...[/mm] eine Folge reeller Zahlen"
> gemeint? [mm]c_1,c_2,...[/mm]
> sind reeller Zahlen. Oder???
Ja!
> 2. Müßte es in der Beschreibung der Matrix nicht richtig
> heißen:"für i = 1,...n
> hat [mm]a_{i,i+1}[/mm] = +1.
Nein, denn dann müßte es in der nxn-Matrix ja eine n+1. Zeile geben! Es geht nur bis n-1.
> 3. Ich denke besser wäre: [mm]a_{i+1,i}[/mm] = -1 für i = 1,...,n-1
>
> 4. Sonst ist [mm]a_{i,j}[/mm] = 0.
>
> ___________________________________________________________
>
> Ist in der Aufgabenstellung etwas faul?
> Oder bin ich zu blöd die Aufgabe richtig zu
> interpretieren??
Das ist etwas doof formuliert, das stimmt. Besser wäre sicherlich
"Es gilt für i=1...n: [mm] $a_{ii}=c_i$ [/mm] und für i=1...(n-1) gilt [mm] $a_{i+1,i}=-1$ [/mm] sowie [mm] $a_{i,i+1}=+1$"
[/mm]
allerdings kann ich jetzt keinen Fehler in der Aufgabenstelung finden, das ist nur unverständlich formuliert.
4x4 sollte dann so aussehen:
c1 1 0 0
-1 c2 1 0
0 -1 c3 1
0 0 -1 c4
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:25 Mo 10.07.2006 | | Autor: | didi_160 |
Besten Dank für deine schnelle Antwort.
> c1 1 0 0
> -1 c2 1 0
> 0 -1 c3 1
> 0 0 -1 c4
Ich glaubte mit dem Rest der Aufgabe selbst klar zu kommen, doch ich habe mich getäuscht.
die Aufgabe lautet:
"Geben Sie eine Rekursionsformel für die Determinante [mm] D_n:=det A^{(n)} [/mm] , mit der Sie [mm] D_n [/mm] aus [mm] D_1,...,D_n_-_1 [/mm] berechnen können."
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Mein Problem:
Was ist [mm] D_n [/mm] und was ist [mm] D_n_-_1 [/mm] ?
Nehmen wir eine 3 x 3-Matrix an: [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9 \\ }
[/mm]
[mm] D_3 [/mm] lässt sich nach Saruss´scher Regel berechnen. [mm] D_3 [/mm] = (Zahlenwert ist uninteressant).
Welche Elemente liegen in der [mm] D_2 [/mm] ???? Bitte gib sie mal an.
Meine Frage ziehlt darauf, ob ich eine Rekursionsformel angeben darf, die eine Zeilenentwicklung z.B. nach der i-ten Zeile enthält?????
[mm] Det_n [/mm] (A) = [mm] \summe_{j=1}^{n} (-1)^{i+j} a_i_j *Det_n_-_1 (A_i_j)
[/mm]
Bin auf diene Antwort sehr gespannt.
Gruß
didi_160
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Nun, die Ds sind die berechneten Determinanten.
Deine Formel ist ja schön und gut, allerdings enthält sie dieses [mm] A_{ij}, [/mm] also die Matrix, die aus der aktuellen hervor geht, wenn man die i. Zeile und j. Spalte entfernt. Das ist irgendwie nicht ganz das gewünschte, man soll das irgendwie aus der bekannten Determinante [mm] D_{n-k} [/mm] der (n-k)x(n-k)-Matrizen bestimmen.
Aber das ist dennoch sicherlich der richtige Ansatz. Ich glaub, mir ists grade eingefallen, wie es gehen könnte. Entwickle mal nach der letzten Spalte:
$ [mm] \vmat{ c_1 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & c_2 & 1 & 0 \\0 & -1 & c_3 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & c_4 }= c_4* \vmat{ c_1 & 1 & 0 \\ -1 & c_2 & 1 \\0 & -1 & c_3}-1*\vmat{ c_1 & 1 & 0 \\ -1 & c_2 & 1 \\0 & 0 & -1}$
[/mm]
Und nun die letzte Determinante nach der letzten Zeile entwickeln:
$ [mm] \vmat{ c_1 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & c_2 & 1 & 0 \\0 & -1 & c_3 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & c_4 }= c_4* \vmat{ c_1 & 1 & 0 \\ -1 & c_2 & 1 \\0 & -1 & c_3}-1*-1*\vmat{ c_1 & 1 \\ -1 & c_2}$
[/mm]
Also: $ [mm] D_n=(-1)^n(c_n*D_{n-1}+D_{n-2})$
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 05:49 Di 11.07.2006 | | Autor: | didi_160 |
Bsten Dank,
dein Tipp hat mir sehr geholfen!
Viele Grüße
Didi_160
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