Matrix- diagonalisierbar < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Für welche a,b ist die Matrix (-3 0 0
2a b a
10 0 2) diagonalisierbar |
Kann mir bitte jemand sagen wie ich an diese Aufgabenstellung überhaupt rangehen muss (Vorgehensweise)
Ich hab leider keinen Plan wie ich das machen sollte.
Danke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:59 Fr 04.04.2008 | | Autor: | Disap |
> Für welche a,b ist die Matrix (-3 0 0
> 2a b a
> 10 0 2)
> diagonalisierbar
> Kann mir bitte jemand sagen wie ich an diese
> Aufgabenstellung überhaupt rangehen muss (Vorgehensweise)
> Ich hab leider keinen Plan wie ich das machen sollte.
> Danke
1. Eigenwerte berechnen
2. Eigenvektoren berechnen
3. geometrische Vielfachheit = algebraiische Vielfachheit => Die Matrix ist diagonalisierbar.
Kannst dich ja melden mit deinen Rechnungen und Lösungen, dann helfen wir dir da gerne weiter.
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| Aufgabe | Ich hab jetzt so angefangen wie du das beschrieben hast. Als erstes die Eigenwerte zu berechnen. leider komm ich da schon nicht mehr weiter. Ich hab das charakteristische Polynom ausgerechnet. Dieses lautet:
[mm] -x^3 [/mm] + [mm] (-1+b)x^2 [/mm] + (6+b)x - 6b
Die Nullstellen davon sind ja dann die Eigenwerte. Aber wie kann ich hier die Nullstellen ausrechnen. Mit Polynomdivison gehts ja nicht oder, weil ich den Parameter b drin hab.
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Danke schon mal im Voraus
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> Ich hab jetzt so angefangen wie du das beschrieben hast.
> Als erstes die Eigenwerte zu berechnen. leider komm ich da
> schon nicht mehr weiter. Ich hab das charakteristische
> Polynom ausgerechnet. Dieses lautet:
> [mm]-x^3[/mm] + [mm](-1+b)x^2[/mm] + (6+b)x - 6b
>
> Die Nullstellen davon sind ja dann die Eigenwerte. Aber wie
> kann ich hier die Nullstellen ausrechnen. Mit
> Polynomdivison gehts ja nicht oder, weil ich den Parameter
> b drin hab.
Hallo,
Du warst zu eifrig.
Du hst doch die Matrix [mm] \pmat{-3 &0&0 \\ 2a &b&a \\10 &0&2}.
[/mm]
das charakteristische Polynom ist [mm] det\pmat{-3-x &0&0 \\ 2a &b-x&a \\10 &0&2-x}= [/mm] (-3-x )(b-x)(2-x).
Wenn Du die Klammern nicht blindlings auflöst, springen Dir doch die Nullstellen bereits ins Auge.
Gruß v. Angela
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Oh, danke hab
ich leider übersehen!
Die Eigenwerte sind ja -3, 2 und b
Jetzt muss man ja die Eigenvektoren berechnen Oder
Ich hab das mal fuer -3 gemacht:
A+3*I
ergibt die Matrix
(0 0 0
2a b+3 a
10 0 5)
Auflösen:
10 0 5 | 0
2a b+3 a | 0
0 0 0 | 0
weitere elementare Zeilenoperation liefert
2 0 5 |0
0 b+3 0 |0
0 0 0 |0
v3 ist beliebig wählbar v3 = s
v2 = 0
v1 = -2,5s
Also Eigenvektor Nr 1: (-2,5s, 0, s)
Irgendwie ergibt das doch alles keinen Sinn!
Jetzt ist schon ein Parameter mehr vorhanden.
Ist meine Vorgehensweise überhaupt richtig??
1. Eigenwerte berechnen.
2. Eigenvektoren berechnen.
3. ???
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> Oh, danke hab
> ich leider übersehen!
> Die Eigenwerte sind ja -3, 2 und b
Hallo,
ja, wenn man das ein paar mal falsch gemacht hat, weiß man es.
> Jetzt muss man ja die Eigenvektoren berechnen Oder
> Ich hab das mal fuer -3 gemacht:
> A+3*I
> ergibt die Matrix
> (0 0 0
> 2a b+3 a
> 10 0 5)
>
> Auflösen:
>
> 10 0 5 | 0
> 2a b+3 a | 0
> 0 0 0 | 0
>
> weitere elementare Zeilenoperation liefert
>
> 2 0 5 |0
> 0 b+3 0 |0
> 0 0 0 |0
Nun muß man 2 Fälle unterscheiden:
1. Für [mm] b\not=-3 [/mm] ist der Rang=2, und man muß Deine Rechnung durchführen:
>
> [mm] v_3 [/mm] ist beliebig wählbar [mm] v_3 [/mm] = s
> [mm] v_2 [/mm] = 0
> [mm] v_1 [/mm] = -2,5s
> Also Eigenvektor Nr 1: (-2,5s, 0, s)
Der Eigenraum zum Eigenvektor -3 wird aufgespannt von [mm] \vektor{-2,5 \\0\\ 1}.
[/mm]
Nun würdest Du diese Rechnung fortsetzen und die Eigenvektoren zu den anderen Eigenwerten ausrechnen.
Wenn Du schließlich drei linear unabhängige Eigenvektoren hast, ist die Matrix diagonalisierbar.
2. Jetzt würde die Untersuchung für b=-3 folgen.
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Du könntest die Aufgabe mit etwas Wissen allerdings auch mit weniger rechnen lösen.
Es ist ja so, daß die Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten grundsätzlich linear unabhängig sind
Ist also Dein Eigenwert b weder =-3 noch =2, so kannst du sicher sein, daß die Matrix diagonalisierbar ist.
Du brauchst dann nur die Fälle b=-3 und b=2 zu untersuchen.
Gruß v. Angela
P.S.: Stell Rückfragen zu Antworten ruhig als Frage und nicht als Mitteilung. Du erhöhst damit die Wahrscheinlichkeit dafür, daß sich jemand, der bisher nicht am Thread beteiligt war, das anschaut und Du eine schnelle Antwort bekommst.
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