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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:00 So 28.04.2013 | | Autor: | Zero_112 |
| Aufgabe | Berechnen Sie exp(M) := [mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{M^k}{k!} [/mm] für
M = [mm] \pmat{ 0 & -c & b \\ c & 0 & -a \\ -b & a & 0} [/mm] |
Hallo.
Ich habe schon so einiges versucht, dies zu berechnen, bin aber kläglich gescheitert. Als Tipp wurde uns gegeben, dass wir den Satz von Cayley Hamilton ausnutzen sollen.
X(M) = [mm] -M^3 [/mm] - [mm] M*(a^2*E+b^2*E+c^2*E) [/mm] = 0 [mm] \gdw M^3 [/mm] = [mm] -M(a^2*E+b^2*E+c^2*E) [/mm] (E ist die Einheitsmatrix)
[mm] \pmat{ 0 & -c & b \\ c & 0 & -a \\ -b & a & 0}^3 [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & c(a^2+b^2+c^2) & -b(a^2+b^2+c^2) \\ -c(a^2+b^2+c^2) & 0 & a(a^2+b^2+c^2) \\ b(a^2+b^2+c^2) & -a(a^2+b^2+c^2) & 0}
[/mm]
Ich weiß leider nicht genau, wie mir das bei der Ermittlung von [mm] e^M [/mm] weiterhelfen soll.
Alternativ dachte ich, dass ich M als Summe nilpotenter Matrizen aufschreibe
M := N+O = [mm] \pmat{ 0 & -c & b \\ c & 0 & -a \\ -b & a & 0} [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & -c & b \\ 0 & 0 & -a \\ 0 & 0 & 0} [/mm] + [mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 \\ c & 0 & 0 \\ -b & a & 0}
[/mm]
und dann etwas mit e^(N+O) mache....aber da NO [mm] \not= [/mm] ON, gilt auch nicht [mm] e^{N+O}=e^N*e^O, [/mm] also kann man das ja eig auch schon vergessen...
Hat jemand eine Idee?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:21 So 28.04.2013 | | Autor: | fred97 |
Du hast doch
[mm] $M^3=s*M$ [/mm] mit [mm] s=-(a^2+b^2+c^2)
[/mm]
Dann ist [mm] M^4=sM^2, M^5=sM^3=s^2M, M^6=s^2M^2, M^7=s^2M^3=s^3M, [/mm] .....
Erkennst Du eine Gesetzmäßigkeit ?
FRED
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