Matrix-Exponential < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
meine Frage bezieht sich allgemein auf das "Matrix-Exponential".
Ganz allgemein:
Wenn man von einer Matrix die Jordan-Normalform J bestimmt
und dann die Werte [mm] e^{J*t} [/mm] berechnen möchte, wie funktioniert das?
Spezieller:
Ich habe 2 Beispiele. Zum einen das Beispiel bei Wikipedia:
[mm] J=\pmat{ 16 & 1 & 0 \\ 0 & 16 & 0 \\ 0 & 0 & 4 }
[/mm]
hierzu steht: [mm] e^{J}=\pmat{ e^{16} & e^{16} & 0 \\ 0 & e^{16} & 0 \\ 0 & 0 & e^{4} }
[/mm]
hier verstehe ich aber nicht, wieso in der 1. Zeile in der 2. Spalte auf einmal [mm] e^{16} [/mm] steht und nicht [mm] e^{1}.
[/mm]
das zweite Beispiel ist eines bei uns aus der Vorlesung:
[mm] J=\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & 1 \\ 0 & 0 & -6 }*t
[/mm]
nun hier ebenfalls [mm] e^{J}=\pmat{ e^{0} & 0 & 0 \\ 0 & e^{-6t} & t*e^{-6t} \\ 0 & 0 & e^{-6t} }
[/mm]
kann mir jemand erklären wieso hier in der 2.Zeile 3.Spalte [mm] t*e^{-6t} [/mm] steht?
wäre wirklich sehr dankbar!
Gruß Albert
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> Ganz allgemein:
> Wenn man von einer Matrix die Jordan-Normalform J
> bestimmt
> und dann die Werte [mm]e^{J*t}[/mm] berechnen möchte, wie
> funktioniert das?
Hallo,
im Prinzip sollte das funktionieren, indem man J*t für X einsetzt in der Definition von [mm] e^{X}.
[/mm]
Diese Definition lautet wie?
>
> Spezieller:
> Ich habe 2 Beispiele. Zum einen das Beispiel bei
> Wikipedia:
> [mm]J=\pmat{ 16 & 1 & 0 \\
0 & 16 & 0 \\
0 & 0 & 4 }[/mm]
> hierzu
> steht: [mm]e^{J}=\pmat{ e^{16} & e^{16} & 0 \\
0 & e^{16} & 0 \\
0 & 0 & e^{4} }[/mm]
>
> hier verstehe ich aber nicht, wieso in der 1. Zeile in der
> 2. Spalte auf einmal [mm]e^{16}[/mm] steht und nicht [mm]e^{1}.[/mm]
Wir sollten versuchen, es nachzurechnen.
Schreibe J als [mm] J=\underbrace{\pmat{ 16 & 0 & 0 \\
0 & 16 & 0 \\
0 & 0 & 4 }}_{D}+\underbrace{\pmat{ 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 }}_{N}, [/mm]
und wende die Definition an. Dann schauen wir mal weiter.
Oder mach es wie in dem Wikipediaartikel und berechne nach der Definition
[mm] exp(\pmat{ 16 & 1 \\
0 & 16 }=exp(16*E+\pmat{0&1\\0&0}).
[/mm]
> das zweite Beispiel ist eines bei uns aus der Vorlesung:
das gucken wir später an.
Gruß v. Angela
> [mm]J=\pmat{ 0 & 0 & 0 \\
0 & -6 & 1 \\
0 & 0 & -6 }*t[/mm]
> nun
> hier ebenfalls [mm]e^{J}=\pmat{ e^{0} & 0 & 0 \\
0 & e^{-6t} & t*e^{-6t} \\
0 & 0 & e^{-6t} }[/mm]
>
> kann mir jemand erklären wieso hier in der 2.Zeile
> 3.Spalte [mm]t*e^{-6t}[/mm] steht?
>
> wäre wirklich sehr dankbar!
>
> Gruß Albert
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> > Ganz allgemein:
> > Wenn man von einer Matrix die Jordan-Normalform J
> > bestimmt
> > und dann die Werte [mm]e^{J*t}[/mm] berechnen möchte, wie
> > funktioniert das?
>
> Hallo,
>
> im Prinzip sollte das funktionieren, indem man J*t für X
> einsetzt in der Definition von [mm]e^{X}.[/mm]
>
> Diese Definition lautet wie?
>
> >
> > Spezieller:
> > Ich habe 2 Beispiele. Zum einen das Beispiel bei
> > Wikipedia:
> > [mm]J=\pmat{ 16 & 1 & 0 \\
0 & 16 & 0 \\
0 & 0 & 4 }[/mm]
> >
> hierzu
> > steht: [mm]e^{J}=\pmat{ e^{16} & e^{16} & 0 \\
0 & e^{16} & 0 \\
0 & 0 & e^{4} }[/mm]
>
> >
> > hier verstehe ich aber nicht, wieso in der 1. Zeile in der
> > 2. Spalte auf einmal [mm]e^{16}[/mm] steht und nicht [mm]e^{1}.[/mm]
>
> Wir sollten versuchen, es nachzurechnen.
>
> Schreibe J als [mm]J=\underbrace{\pmat{ 16 & 0 & 0 \\
0 & 16 & 0 \\
0 & 0 & 4 }}_{D}+\underbrace{\pmat{ 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 }}_{N},[/mm]
>
> und wende die Definition an.
Genau hier liegt wohl mein Problem, dazu habe ich leider nur das
[mm] e^{X}=\summe_{i=0}^{\infty}\bruch{X^{i}}{i!}
[/mm]
Dann schauen wir mal weiter.
>
> Oder mach es wie in dem Wikipediaartikel und berechne nach
> der Definition
>
Mit der Definition von Wikipedia habe ich so meine Probleme. Also lieber oben das.
> [mm]exp(\pmat{ 16 & 1 \\
0 & 16 }=exp(16*E+\pmat{0&1\\0&0}).[/mm]
>
>
> > das zweite Beispiel ist eines bei uns aus der Vorlesung:
>
> das gucken wir später an.
>
> Gruß v. Angela
>
>
> > [mm]J=\pmat{ 0 & 0 & 0 \\
0 & -6 & 1 \\
0 & 0 & -6 }*t[/mm]
> >
> nun
> > hier ebenfalls [mm]e^{J}=\pmat{ e^{0} & 0 & 0 \\
0 & e^{-6t} & t*e^{-6t} \\
0 & 0 & e^{-6t} }[/mm]
>
> >
> > kann mir jemand erklären wieso hier in der 2.Zeile
> > 3.Spalte [mm]t*e^{-6t}[/mm] steht?
> >
> > wäre wirklich sehr dankbar!
> >
> > Gruß Albert
>
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> > > Ganz allgemein:
> > > Wenn man von einer Matrix die Jordan-Normalform J
> > > bestimmt
> > > und dann die Werte [mm]e^{J*t}[/mm] berechnen möchte, wie
> > > funktioniert das?
> >
> > Hallo,
> >
> > im Prinzip sollte das funktionieren, indem man J*t für X
> > einsetzt in der Definition von [mm]e^{X}.[/mm]
> >
> > Diese Definition lautet wie?
> >
> > >
> > > Spezieller:
> > > Ich habe 2 Beispiele. Zum einen das Beispiel bei
> > > Wikipedia:
> > > [mm]J=\pmat{ 16 & 1 & 0 \\
0 & 16 & 0 \\
0 & 0 & 4 }[/mm]
>
> > >
> > hierzu
> > > steht: [mm]e^{J}=\pmat{ e^{16} & e^{16} & 0 \\
0 & e^{16} & 0 \\
0 & 0 & e^{4} }[/mm]
>
> >
> > >
> > > hier verstehe ich aber nicht, wieso in der 1. Zeile in der
> > > 2. Spalte auf einmal [mm]e^{16}[/mm] steht und nicht [mm]e^{1}.[/mm]
> >
> > Wir sollten versuchen, es nachzurechnen.
> >
> > Schreibe J als [mm]J=\underbrace{\pmat{ 16 & 0 & 0 \\
0 & 16 & 0 \\
0 & 0 & 4 }}_{D}+\underbrace{\pmat{ 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 }}_{N},[/mm]
> >
> > und wende die Definition an.
>
> Genau hier liegt wohl mein Problem, dazu habe ich leider
> nur das
> [mm]e^{X}=\summe_{i=0}^{\infty}\bruch{X^{i}}{i!}[/mm]
Hallo,
ja, genau das meinte ich. Das ist doch ganz super.
Den ersten Schritt des Einsetzens wirst Du ja wohl auch noch schaffen:
[mm] e^{X}=\summe_{i=0}^{\infty}\bruch{(D+N)^{i}}{i!}
[/mm]
[mm] =\bruch{(D+N)^{0}}{0!}+\bruch{(D+N)^{1}}{1!}+\bruch{(D+N)^{2}}{2!}+\bruch{(D+N)^{3}}{3!}+...
[/mm]
Ich springe jetzt mal zu dem Beispiel unten.
>
>
>
> Dann schauen wir mal weiter.
> >
> > Oder mach es wie in dem Wikipediaartikel und berechne nach
> > der Definition
> >
>
> Mit der Definition von Wikipedia habe ich so meine
> Probleme. Also lieber oben das.
>
> > [mm]exp(\pmat{ 16 & 1 \\
0 & 16 }=exp(16*E+\underbrace{\pmat{0&1\\
0&0}}_{:=N}).[/mm]
Wir haben also
[mm] exp(\pmat{ 16 & 1 \\
0 & 16 }
[/mm]
[mm] =\bruch{(16E+N)^{0}}{0!}+\bruch{(16E+N)^{1}}{1!}+\bruch{(16E+N)^{2}}{2!}+\bruch{(16E+N)^{3}}{3!}+...
[/mm]
Denke nun über die Potenzen von [mm] \pmat{0&1\\
0&0} [/mm] nach und verwende dann den binomischen Satz.
Gruß v. Angela
>
> >
> >
> > > das zweite Beispiel ist eines bei uns aus der Vorlesung:
> >
> > das gucken wir später an.
> >
> > Gruß v. Angela
> >
> >
> > > [mm]J=\pmat{ 0 & 0 & 0 \\
0 & -6 & 1 \\
0 & 0 & -6 }*t[/mm]
>
> > >
> > nun
> > > hier ebenfalls [mm]e^{J}=\pmat{ e^{0} & 0 & 0 \\
0 & e^{-6t} & t*e^{-6t} \\
0 & 0 & e^{-6t} }[/mm]
>
> >
> > >
> > > kann mir jemand erklären wieso hier in der 2.Zeile
> > > 3.Spalte [mm]t*e^{-6t}[/mm] steht?
> > >
> > > wäre wirklich sehr dankbar!
> > >
> > > Gruß Albert
> >
>
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>
> > > > Ganz allgemein:
> > > > Wenn man von einer Matrix die Jordan-Normalform J
> > > > bestimmt
> > > > und dann die Werte [mm]e^{J*t}[/mm] berechnen möchte, wie
> > > > funktioniert das?
> > >
> > > Hallo,
> > >
> > > im Prinzip sollte das funktionieren, indem man J*t für X
> > > einsetzt in der Definition von [mm]e^{X}.[/mm]
> > >
> > > Diese Definition lautet wie?
> > >
> > > >
> > > > Spezieller:
> > > > Ich habe 2 Beispiele. Zum einen das Beispiel bei
> > > > Wikipedia:
> > > > [mm]J=\pmat{ 16 & 1 & 0 \\
0 & 16 & 0 \\
0 & 0 & 4 }[/mm]
>
> >
> > > >
> > > hierzu
> > > > steht: [mm]e^{J}=\pmat{ e^{16} & e^{16} & 0 \\
0 & e^{16} & 0 \\
0 & 0 & e^{4} }[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > hier verstehe ich aber nicht, wieso in der 1. Zeile in der
> > > > 2. Spalte auf einmal [mm]e^{16}[/mm] steht und nicht [mm]e^{1}.[/mm]
> > >
> > > Wir sollten versuchen, es nachzurechnen.
> > >
> > > Schreibe J als [mm]J=\underbrace{\pmat{ 16 & 0 & 0 \\
0 & 16 & 0 \\
0 & 0 & 4 }}_{D}+\underbrace{\pmat{ 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 }}_{N},[/mm]
> > >
> > > und wende die Definition an.
> >
> > Genau hier liegt wohl mein Problem, dazu habe ich leider
> > nur das
> > [mm]e^{X}=\summe_{i=0}^{\infty}\bruch{X^{i}}{i!}[/mm]
>
> Hallo,
>
> ja, genau das meinte ich. Das ist doch ganz super.
>
> Den ersten Schritt des Einsetzens wirst Du ja wohl auch
> noch schaffen:
>
> [mm]e^{X}=\summe_{i=0}^{\infty}\bruch{(D+N)^{i}}{i!}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{(D+N)^{0}}{0!}+\bruch{(D+N)^{1}}{1!}+\bruch{(D+N)^{2}}{2!}+\bruch{(D+N)^{3}}{3!}+...[/mm]
>
> Ich springe jetzt mal zu dem Beispiel unten.
>
> >
> >
> >
> > Dann schauen wir mal weiter.
> > >
> > > Oder mach es wie in dem Wikipediaartikel und berechne nach
> > > der Definition
> > >
> >
> > Mit der Definition von Wikipedia habe ich so meine
> > Probleme. Also lieber oben das.
> >
> > > [mm]exp(\pmat{ 16 & 1 \\
0 & 16 }=exp(16*E+\underbrace{\pmat{0&1\\
0&0}}_{:=N}).[/mm]
>
>
> Wir haben also
>
> [mm]exp(\pmat{ 16 & 1 \\
0 & 16 }[/mm]
>
> [mm]=\bruch{(16E+N)^{0}}{0!}+\bruch{(16E+N)^{1}}{1!}+\bruch{(16E+N)^{2}}{2!}+\bruch{(16E+N)^{3}}{3!}+...[/mm]
>
> Denke nun über die Potenzen von [mm]\pmat{0&1\\
0&0}[/mm] nach und verwende dann den binomischen Satz.
Die Potenzen von [mm] \pmat{0&1\\ 0&0} [/mm] sind alle [mm] \pmat{0&0\\ 0&0}
[/mm]
mit dem Binomischen Lehrsatz:
aber irgendwie hängt es da bei mir gerade noch.
16E+N bleibt von dem ersten Summanden stehen. Bei dem 2. nochmals 16E+N bei dem 3. [mm] \bruch{16E^{2}+32E*N}{2!} [/mm] aber wie das allgemein weiter geht ;(
>
> Gruß v. Angela
> >
> > >
> > >
> > > > das zweite Beispiel ist eines bei uns aus der Vorlesung:
> > >
> > > das gucken wir später an.
> > >
> > > Gruß v. Angela
> > >
> > >
> > > > [mm]J=\pmat{ 0 & 0 & 0 \\
0 & -6 & 1 \\
0 & 0 & -6 }*t[/mm]
>
> >
> > > >
> > > nun
> > > > hier ebenfalls [mm]e^{J}=\pmat{ e^{0} & 0 & 0 \\
0 & e^{-6t} & t*e^{-6t} \\
0 & 0 & e^{-6t} }[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > kann mir jemand erklären wieso hier in der 2.Zeile
> > > > 3.Spalte [mm]t*e^{-6t}[/mm] steht?
> > > >
> > > > wäre wirklich sehr dankbar!
> > > >
> > > > Gruß Albert
> > >
> >
>
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> > > [mm]e^{X}=\summe_{i=0}^{\infty}\bruch{X^{i}}{i!}[/mm]
> >
> > Hallo,
> >
> > ja, genau das meinte ich. Das ist doch ganz super.
> >
> > Den ersten Schritt des Einsetzens wirst Du ja wohl auch
> > noch schaffen:
> >
> > [mm]e^{X}=\summe_{i=0}^{\infty}\bruch{(D+N)^{i}}{i!}[/mm]
> >
> >
> [mm]=\bruch{(D+N)^{0}}{0!}+\bruch{(D+N)^{1}}{1!}+\bruch{(D+N)^{2}}{2!}+\bruch{(D+N)^{3}}{3!}+...[/mm]
> >
> > Ich springe jetzt mal zu dem Beispiel unten.
> >
> > >
> > >
> > >
> > > Dann schauen wir mal weiter.
> > > >
> > > > Oder mach es wie in dem Wikipediaartikel und berechne nach
> > > > der Definition
> > > >
> > >
> > > Mit der Definition von Wikipedia habe ich so meine
> > > Probleme. Also lieber oben das.
> > >
> > > > [mm]exp(\pmat{ 16 & 1 \\
0 & 16 }=exp(16*E+\underbrace{\pmat{0&1\\
0&0}}_{:=N}).[/mm]
>
> >
> >
> > Wir haben also
> >
> > [mm]exp(\pmat{ 16 & 1 \\
0 & 16 }[/mm]
> >
> >
> [mm]=\bruch{(16E+N)^{0}}{0!}+\bruch{(16E+N)^{1}}{1!}+\bruch{(16E+N)^{2}}{2!}+\bruch{(16E+N)^{3}}{3!}+...[/mm]
> >
> > Denke nun über die Potenzen von [mm]\pmat{0&1\\
0&0}[/mm] nach und verwende dann den binomischen Satz.
>
> Die Potenzen von [mm]\pmat{0&1\\
0&0}[/mm] sind alle [mm]\pmat{0&0\\
0&0}[/mm]
Hallo,
nein, nicht ganz. Es ist [mm] N^0=E [/mm] und [mm] N^1=N, [/mm] für [mm] k\ge [/mm] 2 ist dann aber in der Tat [mm] N^k=0.
[/mm]
> mit dem Binomischen Lehrsatz:
> aber irgendwie hängt es da bei mir gerade noch.
> 16E+N bleibt von dem ersten Summanden stehen.
Oh nein! Es ist [mm] (16E+N)^0= [/mm] ...
> Bei dem 2.
> nochmals 16E+N
Ja.
> bei dem 3. [mm]\bruch{16E^{2}+32E*N}{2!}[/mm] aber
[mm] (16E+N)^2=\bruch{16^2E+2*16N}{2!}= [/mm] so, wie Du sagst, aber meine Darstellung ist günstiger.
> wie das allgemein weiter geht ;(
Ich gab Dir den Hinweis mit dem Binomischen Lehrsatz. Er lautet wie?
Gruß v. Angela
>
> >
> > Gruß v. Angela
> > >
> > > >
> > > >
> > > > > das zweite Beispiel ist eines bei uns aus der Vorlesung:
> > > >
> > > > das gucken wir später an.
> > > >
> > > > Gruß v. Angela
> > > >
> > > >
> > > > > [mm]J=\pmat{ 0 & 0 & 0 \\
0 & -6 & 1 \\
0 & 0 & -6 }*t[/mm]
>
> >
> > >
> > > > >
> > > > nun
> > > > > hier ebenfalls [mm]e^{J}=\pmat{ e^{0} & 0 & 0 \\
0 & e^{-6t} & t*e^{-6t} \\
0 & 0 & e^{-6t} }[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > >
> > > > > kann mir jemand erklären wieso hier in der 2.Zeile
> > > > > 3.Spalte [mm]t*e^{-6t}[/mm] steht?
> > > > >
> > > > > wäre wirklich sehr dankbar!
> > > > >
> > > > > Gruß Albert
> > > >
> > >
> >
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> > > > [mm]e^{X}=\summe_{i=0}^{\infty}\bruch{X^{i}}{i!}[/mm]
> > >
> > > Hallo,
> > >
> > > ja, genau das meinte ich. Das ist doch ganz super.
> > >
> > > Den ersten Schritt des Einsetzens wirst Du ja wohl auch
> > > noch schaffen:
> > >
> > > [mm]e^{X}=\summe_{i=0}^{\infty}\bruch{(D+N)^{i}}{i!}[/mm]
> > >
> > >
> >
> [mm]=\bruch{(D+N)^{0}}{0!}+\bruch{(D+N)^{1}}{1!}+\bruch{(D+N)^{2}}{2!}+\bruch{(D+N)^{3}}{3!}+...[/mm]
> > >
> > > Ich springe jetzt mal zu dem Beispiel unten.
> > >
> > > >
> > > >
> > > >
> > > > Dann schauen wir mal weiter.
> > > > >
> > > > > Oder mach es wie in dem Wikipediaartikel und berechne nach
> > > > > der Definition
> > > > >
> > > >
> > > > Mit der Definition von Wikipedia habe ich so meine
> > > > Probleme. Also lieber oben das.
> > > >
> > > > > [mm]exp(\pmat{ 16 & 1 \\
0 & 16 }=exp(16*E+\underbrace{\pmat{0&1\\
0&0}}_{:=N}).[/mm]
>
> >
> > >
> > >
> > > Wir haben also
> > >
> > > [mm]exp(\pmat{ 16 & 1 \\
0 & 16 }[/mm]
> > >
> > >
> >
> [mm]=\bruch{(16E+N)^{0}}{0!}+\bruch{(16E+N)^{1}}{1!}+\bruch{(16E+N)^{2}}{2!}+\bruch{(16E+N)^{3}}{3!}+...[/mm]
> > >
> > > Denke nun über die Potenzen von [mm]\pmat{0&1\\
0&0}[/mm] nach
> und verwende dann den binomischen Satz.
> >
> > Die Potenzen von [mm]\pmat{0&1\\
0&0}[/mm] sind alle [mm]\pmat{0&0\\
0&0}[/mm]
>
> Hallo,
>
> nein, nicht ganz. Es ist [mm]N^0=E[/mm] und [mm]N^1=N,[/mm] für [mm]k\ge[/mm] 2 ist
> dann aber in der Tat [mm]N^k=0.[/mm]
>
>
> > mit dem Binomischen Lehrsatz:
> > aber irgendwie hängt es da bei mir gerade noch.
> > 16E+N bleibt von dem ersten Summanden stehen.
>
> Oh nein! Es ist [mm](16E+N)^0=[/mm] ...
>
>
> > Bei dem 2.
> > nochmals 16E+N
>
> Ja.
>
> > bei dem 3. [mm]\bruch{16E^{2}+32E*N}{2!}[/mm] aber
>
> [mm](16E+N)^2=\bruch{16^2E+2*16N}{2!}=[/mm] so, wie Du sagst, aber
> meine Darstellung ist günstiger.
>
> > wie das allgemein weiter geht ;(
>
> Ich gab Dir den Hinweis mit dem Binomischen Lehrsatz. Er
> lautet wie?
ja der binomische Lehrsatz ist:
[mm] (x+y)^{n}=\summe_{i=0}^{n}\vektor{n \\ i}*x^{n-i}*y^{i}
[/mm]
hier steht ja quasi:
[mm] (16E+N)^{\infy} [/mm] oder ?
tut mir leid ich weiß einfach nicht so recht weiter
>
> Gruß v. Angela
> >
> > >
> > > Gruß v. Angela
> > > >
> > > > >
> > > > >
> > > > > > das zweite Beispiel ist eines bei uns aus der Vorlesung:
> > > > >
> > > > > das gucken wir später an.
> > > > >
> > > > > Gruß v. Angela
> > > > >
> > > > >
> > > > > > [mm]J=\pmat{ 0 & 0 & 0 \\
0 & -6 & 1 \\
0 & 0 & -6 }*t[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > > >
> > > > > nun
> > > > > > hier ebenfalls [mm]e^{J}=\pmat{ e^{0} & 0 & 0 \\
0 & e^{-6t} & t*e^{-6t} \\
0 & 0 & e^{-6t} }[/mm]
>
> >
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> > > >
> > > > >
> > > > > >
> > > > > > kann mir jemand erklären wieso hier in der 2.Zeile
> > > > > > 3.Spalte [mm]t*e^{-6t}[/mm] steht?
> > > > > >
> > > > > > wäre wirklich sehr dankbar!
> > > > > >
> > > > > > Gruß Albert
> > > > >
> > > >
> > >
> >
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> > > > > [mm]e^{X}=\summe_{i=0}^{\infty}\bruch{X^{i}}{i!}[/mm]
> > > >
> > > > Hallo,
> > > >
> > > > ja, genau das meinte ich. Das ist doch ganz super.
> > > >
> > > > Den ersten Schritt des Einsetzens wirst Du ja wohl auch
> > > > noch schaffen:
> > > >
> > > > [mm]e^{X}=\summe_{i=0}^{\infty}\bruch{(D+N)^{i}}{i!}[/mm]
> > > >
> > > >
> > >
> >
> [mm]=\bruch{(D+N)^{0}}{0!}+\bruch{(D+N)^{1}}{1!}+\bruch{(D+N)^{2}}{2!}+\bruch{(D+N)^{3}}{3!}+...[/mm]
> > > >
> > > > Ich springe jetzt mal zu dem Beispiel unten.
> > > >
> > > > >
> > > > >
> > > > >
> > > > > Dann schauen wir mal weiter.
> > > > > >
> > > > > > Oder mach es wie in dem Wikipediaartikel und berechne nach
> > > > > > der Definition
> > > > > >
> > > > >
> > > > > Mit der Definition von Wikipedia habe ich so meine
> > > > > Probleme. Also lieber oben das.
> > > > >
> > > > > > [mm]exp(\pmat{ 16 & 1 \\
0 & 16 }=exp(16*E+\underbrace{\pmat{0&1\\
0&0}}_{:=N}).[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > >
> > > > Wir haben also
> > > >
> > > > [mm]exp(\pmat{ 16 & 1 \\
0 & 16 }[/mm]
> > > >
> > > >
> > >
> >
> [mm]=\bruch{(16E+N)^{0}}{0!}+\bruch{(16E+N)^{1}}{1!}+\bruch{(16E+N)^{2}}{2!}+\bruch{(16E+N)^{3}}{3!}+...[/mm]
> > > >
> > > > Denke nun über die Potenzen von [mm]\pmat{0&1\\
0&0}[/mm]
> nach
> > und verwende dann den binomischen Satz.
> > >
> > > Die Potenzen von [mm]\pmat{0&1\\
0&0}[/mm] sind alle
> [mm]\pmat{0&0\\
0&0}[/mm]
> >
> > Hallo,
> >
> > nein, nicht ganz. Es ist [mm]N^0=E[/mm] und [mm]N^1=N,[/mm] für [mm]k\ge[/mm] 2 ist
> > dann aber in der Tat [mm]N^k=0.[/mm]
> >
> >
> > > mit dem Binomischen Lehrsatz:
> > > aber irgendwie hängt es da bei mir gerade noch.
> > > 16E+N bleibt von dem ersten Summanden stehen.
> >
> > Oh nein! Es ist [mm](16E+N)^0=[/mm] ...
> >
> >
> > > Bei dem 2.
> > > nochmals 16E+N
> >
> > Ja.
> >
> > > bei dem 3. [mm]\bruch{16E^{2}+32E*N}{2!}[/mm] aber
> >
> > [mm](16E+N)^2=\bruch{16^2E+2*16N}{2!}=[/mm] so, wie Du sagst, aber
> > meine Darstellung ist günstiger.
> >
> > > wie das allgemein weiter geht ;(
> >
> > Ich gab Dir den Hinweis mit dem Binomischen Lehrsatz. Er
> > lautet wie?
>
>
> ja der binomische Lehrsatz ist:
> [mm](x+y)^{n}=\summe_{i=0}^{n}\vektor{n \\
i}*x^{n-i}*y^{i}[/mm]
>
> hier steht ja quasi:
> [mm](16E+N)^{\infy}[/mm] oder ?
>
> tut mir leid ich weiß einfach nicht so recht weiter
Hallo,
das verstehe ich jetzt nicht so recht.
Stellen wir mal zusammen, was wir aktuell tun:
Berechnet werden soll
[mm] $exp(\pmat{ 16 & 1 \\ 0 & 16 }=exp(N+16E) [/mm] mit [mm] N:=\pmat{0&1\\ 0&0}.
[/mm]
Wir hatten aufgrund der Definitionvon [mm] e^X [/mm] (=exp(X)) festgestellt ,
daß [mm] exp(\pmat{ 16 & 1 \\ 0 & 16 }=\summe_{i=0}^{\infty}\bruch{(N+16E)^i}{i!}=$=\bruch{(N+D)^{0}}{0!}+\bruch{(N+D)^{1}}{1!}+\bruch{(N+D)^{2}}{2!}+\bruch{(N+D)^{3}}{3!}+...$
[/mm]
Daher muß man sich nun zunächst einmal Gedanken machen über [mm] (N+D)^{0}, (N+D)^{1}, (N+D)^{2}, (N+D)^{3}, (N+D)^{4} [/mm] usw.
Nicht ausdrücklich erwähnt hatten wir bisher, daß N*16E=16E*N ist, denn das brauchen wir, um den binomischen Lehrsatz $ [mm] (x+y)^{n}=\summe_{i=0}^{n}\vektor{n \\ i}\cdot{}x^{n-i}\cdot{}y^{i} [/mm] $ verwenden zu können.
Du hattest ja selbst festgestellt, daß [mm] N^k=0 [/mm] für [mm] k\ge [/mm] 2 gilt.
Nun kannst Du doch die Potenzen von (N+16E) hinschreiben:
[mm] (N*16E)^0=E
[/mm]
[mm] (N+16E)^1=N+16E
[/mm]
[mm] (N+16E)^2= N^2+2*16EN+16^2E^2=2*16N*16^2E
[/mm]
[mm] (N+16E)^3= [/mm] was sagt der binomische Lehrsatz hierzu?
[mm] (N+16E)^4=..
[/mm]
[mm] (N+16E)^5= [/mm] ...
Wenn Du nicht klarkommst, mußt Du Dein Problem genauer erklären.
Ich weiß nicht, ob Du das Summenzeichen nicht verstehst, keine Binomialkoeffizienten kennst, oder, oder oder.
Gruß v. Angela
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>
> > >
> > > > > > [mm]e^{X}=\summe_{i=0}^{\infty}\bruch{X^{i}}{i!}[/mm]
> > > > >
> > > > > Hallo,
> > > > >
> > > > > ja, genau das meinte ich. Das ist doch ganz super.
> > > > >
> > > > > Den ersten Schritt des Einsetzens wirst Du ja wohl auch
> > > > > noch schaffen:
> > > > >
> > > > > [mm]e^{X}=\summe_{i=0}^{\infty}\bruch{(D+N)^{i}}{i!}[/mm]
> > > > >
> > > > >
> > > >
> > >
> >
> [mm]=\bruch{(D+N)^{0}}{0!}+\bruch{(D+N)^{1}}{1!}+\bruch{(D+N)^{2}}{2!}+\bruch{(D+N)^{3}}{3!}+...[/mm]
> > > > >
> > > > > Ich springe jetzt mal zu dem Beispiel unten.
> > > > >
> > > > > >
> > > > > >
> > > > > >
> > > > > > Dann schauen wir mal weiter.
> > > > > > >
> > > > > > > Oder mach es wie in dem Wikipediaartikel und berechne nach
> > > > > > > der Definition
> > > > > > >
> > > > > >
> > > > > > Mit der Definition von Wikipedia habe ich so meine
> > > > > > Probleme. Also lieber oben das.
> > > > > >
> > > > > > > [mm]exp(\pmat{ 16 & 1 \\
0 & 16 }=exp(16*E+\underbrace{\pmat{0&1\\
0&0}}_{:=N}).[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > >
> > > > >
> > > > > Wir haben also
> > > > >
> > > > > [mm]exp(\pmat{ 16 & 1 \\
0 & 16 }[/mm]
> > > > >
> > > > >
> > > >
> > >
> >
> [mm]=\bruch{(16E+N)^{0}}{0!}+\bruch{(16E+N)^{1}}{1!}+\bruch{(16E+N)^{2}}{2!}+\bruch{(16E+N)^{3}}{3!}+...[/mm]
> > > > >
> > > > > Denke nun über die Potenzen von [mm]\pmat{0&1\\
0&0}[/mm]
> > nach
> > > und verwende dann den binomischen Satz.
> > > >
> > > > Die Potenzen von [mm]\pmat{0&1\\
0&0}[/mm] sind alle
> > [mm]\pmat{0&0\\
0&0}[/mm]
> > >
> > > Hallo,
> > >
> > > nein, nicht ganz. Es ist [mm]N^0=E[/mm] und [mm]N^1=N,[/mm] für [mm]k\ge[/mm] 2 ist
> > > dann aber in der Tat [mm]N^k=0.[/mm]
> > >
> > >
> > > > mit dem Binomischen Lehrsatz:
> > > > aber irgendwie hängt es da bei mir gerade noch.
> > > > 16E+N bleibt von dem ersten Summanden stehen.
> > >
> > > Oh nein! Es ist [mm](16E+N)^0=[/mm] ...
> > >
> > >
> > > > Bei dem 2.
> > > > nochmals 16E+N
> > >
> > > Ja.
> > >
> > > > bei dem 3. [mm]\bruch{16E^{2}+32E*N}{2!}[/mm] aber
> > >
> > > [mm](16E+N)^2=\bruch{16^2E+2*16N}{2!}=[/mm] so, wie Du sagst, aber
> > > meine Darstellung ist günstiger.
> > >
> > > > wie das allgemein weiter geht ;(
> > >
> > > Ich gab Dir den Hinweis mit dem Binomischen Lehrsatz. Er
> > > lautet wie?
> >
> >
> > ja der binomische Lehrsatz ist:
> > [mm](x+y)^{n}=\summe_{i=0}^{n}\vektor{n \\
i}*x^{n-i}*y^{i}[/mm]
>
> >
> > hier steht ja quasi:
> > [mm](16E+N)^{\infy}[/mm] oder ?
> >
> > tut mir leid ich weiß einfach nicht so recht weiter
>
> Hallo,
>
> das verstehe ich jetzt nicht so recht.
>
> Stellen wir mal zusammen, was wir aktuell tun:
>
> Berechnet werden soll
>
> [mm]$exp(\pmat{ 16 & 1 \\ 0 & 16 }=exp(N+16E)[/mm] mit
> [mm]N:=\pmat{0&1\\ 0&0}.[/mm]
>
> Wir hatten aufgrund der Definitionvon [mm]e^X[/mm] (=exp(X))
> festgestellt ,
>
> daß [mm]exp(\pmat{ 16 & 1 \\ 0 & 16 }=\summe_{i=0}^{\infty}\bruch{(N+16E)^i}{i!}=[/mm]
> [mm]=\bruch{(N+D)^{0}}{0!}+\bruch{(N+D)^{1}}{1!}+\bruch{(N+D)^{2}}{2!}+\bruch{(N+D)^{3}}{3!}+...[/mm]
>
> Daher muß man sich nun zunächst einmal Gedanken machen
> über [mm](N+D)^{0}, (N+D)^{1}, (N+D)^{2}, (N+D)^{3}, (N+D)^{4}[/mm]
> usw.
>
> Nicht ausdrücklich erwähnt hatten wir bisher, daß
> N*16E=16E*N ist, denn das brauchen wir, um den binomischen
> Lehrsatz [mm](x+y)^{n}=\summe_{i=0}^{n}\vektor{n \\ i}\cdot{}x^{n-i}\cdot{}y^{i}[/mm]
> verwenden zu können.
>
> Du hattest ja selbst festgestellt, daß [mm]N^k=0[/mm] für [mm]k\ge[/mm] 2
> gilt.
>
> Nun kannst Du doch die Potenzen von (N+16E) hinschreiben:
>
> [mm](N*16E)^0=E[/mm]
>
> [mm](N+16E)^1=N+16E[/mm]
>
> [mm](N+16E)^2= N^2+2*16EN+16^2E^2=2*16N*16^2E[/mm]
>
> [mm](N+16E)^3=[/mm] was sagt der binomische Lehrsatz hierzu?
>
> [mm](N+16E)^4=..[/mm]
>
> [mm](N+16E)^5=[/mm] ...
>
> Wenn Du nicht klarkommst, mußt Du Dein Problem genauer
> erklären.
> Ich weiß nicht, ob Du das Summenzeichen nicht verstehst,
> keine Binomialkoeffizienten kennst, oder, oder oder.
>
> Gruß v. Angela
>
Ich probier es einfach mal ;)
also der Binomische Lehrsatz: $ [mm] (x+y)^{n}=\summe_{i=0}^{n}\vektor{n \\ i}\cdot{}x^{n-i}\cdot{}y^{i} [/mm] $
und jetzt ist in diesem Fall x=N und y=16E
dann steht da $ [mm] (N+16E)^{n}=\summe_{i=0}^{n}\vektor{n \\ i}\cdot{}N^{n-i}\cdot{}16E^{i} [/mm] $
für n=3 folgt also:
[mm] N^{3}+3*N^{2}*16E+3*N*(16E)^{2}+(16E)^{3}
[/mm]
da aber wie festgestellt die Potenzen für k>1 gleich 0 sind (für N) folgt:
[mm] 3*N*(16E)^{2}+(16E)^{3}
[/mm]
für n=4 müsste dann:
[mm] N^{4}+4*N^{3}*16E+6*N^{2}*(16E)^{2}+4*N*(16E)^{3}+(16E)^{4}
[/mm]
gelten.
hier ebenfalls:
[mm] 4*N*(16E)^{3}+(16E)^{4}
[/mm]
dann gilt generell:
[mm] n*N*(16E)^{n-1}+(16E)^{n}
[/mm]
und das jeweils noch dividiert durch n! also:
[mm] \bruch{n*N*(16E)^{n-1}+(16E)^{n}}{n!}
[/mm]
???
ich hoffe mal ich liege damit nicht so falsch.
>
>
>
>
>
>
>
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> > Stellen wir mal zusammen, was wir aktuell tun:
> >
> > Berechnet werden soll
> >
> > [mm]$exp(\pmat{ 16 & 1 \\
0 & 16 }=exp(N+16E)[/mm] mit
> > [mm]N:=\pmat{0&1\\
0&0}.[/mm]
> >
> > Wir hatten aufgrund der Definitionvon [mm]e^X[/mm] (=exp(X))
> > festgestellt ,
> >
> > daß [mm]exp(\pmat{ 16 & 1 \\
0 & 16 }=\summe_{i=0}^{\infty}\bruch{(N+16E)^i}{i!}=[/mm]
> >
> [mm]=\bruch{(N+D)^{0}}{0!}+\bruch{(N+D)^{1}}{1!}+\bruch{(N+D)^{2}}{2!}+\bruch{(N+D)^{3}}{3!}+...[/mm]
> >
> > Daher muß man sich nun zunächst einmal Gedanken machen
> > über [mm](N+D)^{0}, (N+D)^{1}, (N+D)^{2}, (N+D)^{3}, (N+D)^{4}[/mm]
> > usw.
> >
> > Nicht ausdrücklich erwähnt hatten wir bisher, daß
> > N*16E=16E*N ist, denn das brauchen wir, um den binomischen
> > Lehrsatz [mm](x+y)^{n}=\summe_{i=0}^{n}\vektor{n \\
i}\cdot{}x^{n-i}\cdot{}y^{i}[/mm]
> > verwenden zu können.
> >
> > Du hattest ja selbst festgestellt, daß [mm]N^k=0[/mm] für [mm]k\ge[/mm] 2
> > gilt.
> >
> > Nun kannst Du doch die Potenzen von (N+16E) hinschreiben:
> >
> > [mm](N*16E)^0=E[/mm]
> >
> > [mm](N+16E)^1=N+16E[/mm]
> >
> > [mm](N+16E)^2= N^2+2*16EN+16^2E^2=2*16N*16^2E[/mm]
> >
> > [mm](N+16E)^3=[/mm] was sagt der binomische Lehrsatz hierzu?
> >
> > [mm](N+16E)^4=..[/mm]
> >
> > [mm](N+16E)^5=[/mm] ...
> >
>
>
> Ich probier es einfach mal ;)
Hallo,
genau! Das ist die richtige Einstellung! So geht's voran.
> also der Binomische Lehrsatz:
> [mm](x+y)^{n}=\summe_{i=0}^{n}\vektor{n \\
i}\cdot{}x^{n-i}\cdot{}y^{i}[/mm]
>
> und jetzt ist in diesem Fall x=N und y=16E
> dann steht da [mm](N+16E)^{n}=\summe_{i=0}^{n}\vektor{n \\
i}\cdot{}N^{n-i}\cdot{}\red{(}16E\red{)}^{i}[/mm]
>
> für n=3 folgt also:[mm](N+16E)^{n}=\summe_{i=0}^{n}\vektor{n \\
i}\cdot{}N^{n-i}\cdot{}16E^{i}[/mm]
> [mm]N^{3}+3*N^{2}*16E+3*N*(16E)^{2}+(16E)^{3}[/mm]
> da aber wie festgestellt die Potenzen für k>1 gleich 0
> sind (für N) folgt:
> [mm]3*N*(16E)^{2}+(16E)^{3}[/mm]
=3*16^2N+16^3E
>
> für n=4 müsste dann:
>
> [mm]N^{4}+4*N^{3}*16E+6*N^{2}*(16E)^{2}+4*N*(16E)^{3}+(16E)^{4}[/mm]
> gelten.
> hier ebenfalls:
> [mm]4*N*(16E)^{3}+(16E)^{4}[/mm]
=4*16^3N+16^4E
>
>
> dann gilt generell:
> [mm]n*N*(16E)^{n-1}+(16E)^{n}[/mm]
Ja.
>
>
> und das jeweils noch dividiert durch n! also:
>
> [mm]\bruch{n*N*(16E)^{n-1}+(16E)^{n}}{n!}[/mm]
[mm] =\bruch{16^{n-1}N}{(n-1)!}+\bruch{16^nE}{n!}.
[/mm]
Von dieser Gestalt ist der n-te Summand, [mm] n\in \IN_{+}.
[/mm]
>
>
> ???
>
> ich hoffe mal ich liege damit nicht so falsch.
Du liegst gut.
Jetzt wird summiert.
Wir haben uns jetztmühsam erobert:
[mm] $exp(\pmat{ 16 & 1 \\ 0 & 16 }
[/mm]
[mm] =$=\bruch{(N+D)^{0}}{0!}+\bruch{(N+D)^{1}}{1!}+\bruch{(N+D)^{2}}{2!}+\bruch{(N+D)^{3}}{3!}+...$
[/mm]
[mm] =E+(N+D)+(\bruch{16^{1}N}{1!}+\bruch{16^2E}{2!})+(\bruch{16^{2}N}{2!}+\bruch{16^3E}{3!})+(\bruch{16^{3}N}{3!}+\bruch{16^4E}{4!})+...
[/mm]
=
Jetzt sortiere mal nach Vielfachen von N und von E, schreib es also als
(...+...+...+...+...)N+(...+...+...+...+...)E, und denk dann darüber nach, wie e^16 definiert ist.
Gruß v. Angela
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> > > Stellen wir mal zusammen, was wir aktuell tun:
> > >
> > > Berechnet werden soll
> > >
> > > [mm]$exp(\pmat{ 16 & 1 \\
0 & 16 }=exp(N+16E)[/mm] mit
> > > [mm]N:=\pmat{0&1\\
0&0}.[/mm]
> > >
> > > Wir hatten aufgrund der Definitionvon [mm]e^X[/mm] (=exp(X))
> > > festgestellt ,
> > >
> > > daß [mm]exp(\pmat{ 16 & 1 \\
0 & 16 }=\summe_{i=0}^{\infty}\bruch{(N+16E)^i}{i!}=[/mm]
> > >
> >
> [mm]=\bruch{(N+D)^{0}}{0!}+\bruch{(N+D)^{1}}{1!}+\bruch{(N+D)^{2}}{2!}+\bruch{(N+D)^{3}}{3!}+...[/mm]
> > >
> > > Daher muß man sich nun zunächst einmal Gedanken machen
> > > über [mm](N+D)^{0}, (N+D)^{1}, (N+D)^{2}, (N+D)^{3}, (N+D)^{4}[/mm]
> > > usw.
> > >
> > > Nicht ausdrücklich erwähnt hatten wir bisher, daß
> > > N*16E=16E*N ist, denn das brauchen wir, um den binomischen
> > > Lehrsatz [mm](x+y)^{n}=\summe_{i=0}^{n}\vektor{n \\
i}\cdot{}x^{n-i}\cdot{}y^{i}[/mm]
> > > verwenden zu können.
> > >
> > > Du hattest ja selbst festgestellt, daß [mm]N^k=0[/mm] für [mm]k\ge[/mm] 2
> > > gilt.
> > >
> > > Nun kannst Du doch die Potenzen von (N+16E) hinschreiben:
> > >
> > > [mm](N*16E)^0=E[/mm]
> > >
> > > [mm](N+16E)^1=N+16E[/mm]
> > >
> > > [mm](N+16E)^2= N^2+2*16EN+16^2E^2=2*16N*16^2E[/mm]
> > >
> > > [mm](N+16E)^3=[/mm] was sagt der binomische Lehrsatz hierzu?
> > >
> > > [mm](N+16E)^4=..[/mm]
> > >
> > > [mm](N+16E)^5=[/mm] ...
>
> > >
> >
> >
> > Ich probier es einfach mal ;)
>
> Hallo,
>
> genau! Das ist die richtige Einstellung! So geht's voran.
>
>
> > also der Binomische Lehrsatz:
> > [mm](x+y)^{n}=\summe_{i=0}^{n}\vektor{n \\
i}\cdot{}x^{n-i}\cdot{}y^{i}[/mm]
>
> >
> > und jetzt ist in diesem Fall x=N und y=16E
> > dann steht da [mm](N+16E)^{n}=\summe_{i=0}^{n}\vektor{n \\
i}\cdot{}N^{n-i}\cdot{}\red{(}16E\red{)}^{i}[/mm]
>
> >
> > für n=3 folgt also:[mm](N+16E)^{n}=\summe_{i=0}^{n}\vektor{n \\
i}\cdot{}N^{n-i}\cdot{}16E^{i}[/mm]
>
> > [mm]N^{3}+3*N^{2}*16E+3*N*(16E)^{2}+(16E)^{3}[/mm]
> > da aber wie festgestellt die Potenzen für k>1 gleich 0
> > sind (für N) folgt:
> > [mm]3*N*(16E)^{2}+(16E)^{3}[/mm]
> =3*16^2N+16^3E
>
> >
> > für n=4 müsste dann:
> >
> >
> [mm]N^{4}+4*N^{3}*16E+6*N^{2}*(16E)^{2}+4*N*(16E)^{3}+(16E)^{4}[/mm]
> > gelten.
> > hier ebenfalls:
> > [mm]4*N*(16E)^{3}+(16E)^{4}[/mm]
>
> =4*16^3N+16^4E
>
> >
> >
> > dann gilt generell:
> > [mm]n*N*(16E)^{n-1}+(16E)^{n}[/mm]
>
> Ja.
> >
> >
> > und das jeweils noch dividiert durch n! also:
> >
> > [mm]\bruch{n*N*(16E)^{n-1}+(16E)^{n}}{n!}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{16^{n-1}N}{(n-1)!}+\bruch{16^nE}{n!}.[/mm]
>
> Von dieser Gestalt ist der n-te Summand, [mm]n\in \IN_{+}.[/mm]
> >
> >
> > ???
> >
> > ich hoffe mal ich liege damit nicht so falsch.
>
> Du liegst gut.
>
> Jetzt wird summiert.
>
> Wir haben uns jetztmühsam erobert:
>
> [mm]$exp(\pmat{ 16 & 1 \\ 0 & 16 }[/mm]
>
> =[mm]=\bruch{(N+D)^{0}}{0!}+\bruch{(N+D)^{1}}{1!}+\bruch{(N+D)^{2}}{2!}+\bruch{(N+D)^{3}}{3!}+...[/mm]
>
> [mm]=E+(N+D)+(\bruch{16^{1}N}{1!}+\bruch{16^2E}{2!})+(\bruch{16^{2}N}{2!}+\bruch{16^3E}{3!})+(\bruch{16^{3}N}{3!}+\bruch{16^4E}{4!})+...[/mm]
>
> =
>
> Jetzt sortiere mal nach Vielfachen von N und von E, schreib
> es also als
>
> (...+...+...+...+...)N+(...+...+...+...+...)E, und denk
> dann darüber nach, wie e^16 definiert ist.
>
> Gruß v. Angela
>
erstmal sortieren ;)
[mm] (1+\bruch{16^{1}}{1!}+\bruch{16^{2}}{2!}+...+\bruch{16^{n}}{n!})*N+(1+\bruch{16^{2}}{2!}+...+\bruch{16^{n}}{n!})*E
[/mm]
hier geht [mm] n=>\infty
[/mm]
stimmt das ?
und [mm] exp(x)=\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{x^{n}}{n!}
[/mm]
d.h. da steht immer [mm] e^{16}*N [/mm] + [mm] e^{16}* [/mm] E
?
gruß
Albert
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> > > > Stellen wir mal zusammen, was wir aktuell tun:
> > > >
> > > > Berechnet werden soll
> > > >
> > > > [mm]$exp(\pmat{ 16 & 1 \\
0 & 16 }=exp(N+16E)[/mm] mit
> > > > [mm]N:=\pmat{0&1\\
0&0}.[/mm]
> > > >
> > > > Wir hatten aufgrund der Definitionvon [mm]e^X[/mm] (=exp(X))
> > > > festgestellt ,
> > > >
> > > > daß [mm]exp(\pmat{ 16 & 1 \\
0 & 16 }=\summe_{i=0}^{\infty}\bruch{(N+16E)^i}{i!}=[/mm]
> > > >
> > >
> >
> [mm]=\bruch{(N+D)^{0}}{0!}+\bruch{(N+D)^{1}}{1!}+\bruch{(N+D)^{2}}{2!}+\bruch{(N+D)^{3}}{3!}+...[/mm]
> > > >
> > > > Daher muß man sich nun zunächst einmal Gedanken machen
> > > > über [mm](N+D)^{0}, (N+D)^{1}, (N+D)^{2}, (N+D)^{3}, (N+D)^{4}[/mm]
> > > > usw.
> > > >
> > > > Nicht ausdrücklich erwähnt hatten wir bisher, daß
> > > > N*16E=16E*N ist, denn das brauchen wir, um den binomischen
> > > > Lehrsatz [mm](x+y)^{n}=\summe_{i=0}^{n}\vektor{n \\
i}\cdot{}x^{n-i}\cdot{}y^{i}[/mm]
> > > > verwenden zu können.
> > > >
> > > > Du hattest ja selbst festgestellt, daß [mm]N^k=0[/mm] für [mm]k\ge[/mm] 2
> > > > gilt.
> > > >
> > > > Nun kannst Du doch die Potenzen von (N+16E) hinschreiben:
> > > >
> > > > [mm](N*16E)^0=E[/mm]
> > > >
> > > > [mm](N+16E)^1=N+16E[/mm]
> > > >
> > > > [mm](N+16E)^2= N^2+2*16EN+16^2E^2=2*16N*16^2E[/mm]
> > > >
> > > > [mm](N+16E)^3=[/mm] was sagt der binomische Lehrsatz hierzu?
> > > >
> > > > [mm](N+16E)^4=..[/mm]
> > > >
> > > > [mm](N+16E)^5=[/mm] ...
> >
> > > >
> > >
> > >
> > > Ich probier es einfach mal ;)
> >
> > Hallo,
> >
> > genau! Das ist die richtige Einstellung! So geht's voran.
> >
> >
> > > also der Binomische Lehrsatz:
> > > [mm](x+y)^{n}=\summe_{i=0}^{n}\vektor{n \\
i}\cdot{}x^{n-i}\cdot{}y^{i}[/mm]
>
> >
> > >
> > > und jetzt ist in diesem Fall x=N und y=16E
> > > dann steht da [mm](N+16E)^{n}=\summe_{i=0}^{n}\vektor{n \\
i}\cdot{}N^{n-i}\cdot{}\red{(}16E\red{)}^{i}[/mm]
>
> >
> > >
> > > für n=3 folgt also:[mm](N+16E)^{n}=\summe_{i=0}^{n}\vektor{n \\
i}\cdot{}N^{n-i}\cdot{}16E^{i}[/mm]
>
> >
> > > [mm]N^{3}+3*N^{2}*16E+3*N*(16E)^{2}+(16E)^{3}[/mm]
> > > da aber wie festgestellt die Potenzen für k>1
> gleich 0
> > > sind (für N) folgt:
> > > [mm]3*N*(16E)^{2}+(16E)^{3}[/mm]
> > =3*16^2N+16^3E
> >
> > >
> > > für n=4 müsste dann:
> > >
> > >
> >
> [mm]N^{4}+4*N^{3}*16E+6*N^{2}*(16E)^{2}+4*N*(16E)^{3}+(16E)^{4}[/mm]
> > > gelten.
> > > hier ebenfalls:
> > > [mm]4*N*(16E)^{3}+(16E)^{4}[/mm]
> >
> > =4*16^3N+16^4E
> >
> > >
> > >
> > > dann gilt generell:
> > > [mm]n*N*(16E)^{n-1}+(16E)^{n}[/mm]
> >
> > Ja.
> > >
> > >
> > > und das jeweils noch dividiert durch n! also:
> > >
> > > [mm]\bruch{n*N*(16E)^{n-1}+(16E)^{n}}{n!}[/mm]
> >
> > [mm]=\bruch{16^{n-1}N}{(n-1)!}+\bruch{16^nE}{n!}.[/mm]
> >
> > Von dieser Gestalt ist der n-te Summand, [mm]n\in \IN_{+}.[/mm]
> >
> >
> > >
> > > ???
> > >
> > > ich hoffe mal ich liege damit nicht so falsch.
> >
> > Du liegst gut.
> >
> > Jetzt wird summiert.
> >
> > Wir haben uns jetztmühsam erobert:
> >
> > [mm]$exp(\pmat{ 16 & 1 \\
0 & 16 }[/mm]
> >
> >
> =[mm]=\bruch{(N+D)^{0}}{0!}+\bruch{(N+D)^{1}}{1!}+\bruch{(N+D)^{2}}{2!}+\bruch{(N+D)^{3}}{3!}+...[/mm]
> >
> >
> [mm]=E+(N+D)+(\bruch{16^{1}N}{1!}+\bruch{16^2E}{2!})+(\bruch{16^{2}N}{2!}+\bruch{16^3E}{3!})+(\bruch{16^{3}N}{3!}+\bruch{16^4E}{4!})+...[/mm]
> >
> > =
> >
> > Jetzt sortiere mal nach Vielfachen von N und von E, schreib
> > es also als
> >
> > (...+...+...+...+...)N+(...+...+...+...+...)E, und denk
> > dann darüber nach, wie e^16 definiert ist.
> >
> > Gruß v. Angela
> >
>
> erstmal sortieren ;)
>
> [mm](1+\bruch{16^{1}}{1!}+\bruch{16^{2}}{2!}+...+\bruch{16^{n}}{n!})*N+(1+\bruch{16^{2}}{2!}+...+\bruch{16^{n}}{n!})*E[/mm]
>
> hier geht [mm]n=>\infty[/mm]
>
> stimmt das ?
Hallo,
ja, wir haben es mit unendlichen Summen zu tun.
>
> und [mm]exp(x)=\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{x^{n}}{n!}[/mm]
> d.h. da steht immer [mm]e^{16}*N[/mm] + [mm]e^{16}*[/mm] E
Ja. Und damit hast Du die Matrix, an welche Du ursprünglich nicht recht geglaubt hast.
Gruß v. Angela
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ach herje :D
gibt es da nichts einfacheres, um aus der Jacobi-Matrix das Matrix-Exponential zu bekommen ?
dann setz ich mich die Tage mal noch an das 2. beispiel :/
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> ach herje :D
> gibt es da nichts einfacheres, um aus der Jacobi-Matrix
> das Matrix-Exponential zu bekommen ?
Hallo,
welche Jacobi-Matrix?
Ich glaube nicht, daß es einen einfacheren Weg zum Verständnis dessen, was am Ende herauskommt, gibt.
Ansonsten: wenn Du den wikipedia-Artikel durcharbeitest, weißt Du, wie Du schnell das Exponential von diagonalisierbaren Matrizen berechnen kannst, auch das für nilpotente Matrizen steht dort, und weiter ist angegeben, wie Du auf das Exponential einer JNF kommst.
Wenn Du das alles weißt, bist Du natürlich schneller.
Gruß v. Angela
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tut mir leid.
ich meinte natürlich das Exponential einer Jordan-Normal-Form.
das hier war ja das andere beispiel:
das zweite Beispiel ist eines bei uns aus der Vorlesung:
$ [mm] J=\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & 1 \\ 0 & 0 & -6 }\cdot{}t [/mm] $
nun hier ebenfalls $ [mm] e^{J}=\pmat{ e^{0} & 0 & 0 \\ 0 & e^{-6t} & t\cdot{}e^{-6t} \\ 0 & 0 & e^{-6t} } [/mm] $
kann mir jemand erklären wieso hier in der 2.Zeile 3.Spalte $ [mm] t\cdot{}e^{-6t} [/mm] $ steht?
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Hallo AlbertKeinstein,
> tut mir leid.
> ich meinte natürlich das Exponential einer
> Jordan-Normal-Form.
>
> das hier war ja das andere beispiel:
>
> das zweite Beispiel ist eines bei uns aus der Vorlesung:
> [mm]J=\pmat{ 0 & 0 & 0 \\
0 & -6 & 1 \\
0 & 0 & -6 }\cdot{}t[/mm]
>
> nun hier ebenfalls [mm]e^{J}=\pmat{ e^{0} & 0 & 0 \\
0 & e^{-6t} & t\cdot{}e^{-6t} \\
0 & 0 & e^{-6t} }[/mm]
>
> kann mir jemand erklären wieso hier in der 2.Zeile
> 3.Spalte [mm]t\cdot{}e^{-6t}[/mm] steht?
Na, das steht doch auf wikipedia bestens erklärt, du musst nur nachrechnen:
Es ist [mm]J=\pmat{0&0&0\\
0&-6t&t\\
0&0&-6t}=\underbrace{\pmat{0&0&0\\
0&-6t&0\\
0&0&-6t}}_{A}+\underbrace{\pmat{0&0&0\\
0&0&t\\
0&0&0}}_{N}[/mm]
[mm]A[/mm] ist diagonalisierbar, also [mm]e^{A}=\pmat{e^0&0&0\\
0&e^{-6t}&0\\
0&0&e^{-6t}}[/mm]
[mm]N[/mm] ist nilpotent, denn [mm]N^2=\pmat{0&0&0\\
0&0&0\\
0&0&0}[/mm]
Also [mm]e^N=\mathbb{E}_3+N+\frac{1}{2!}N^2+\frac{1}{3!}N^3\ldots=\mathbb{E}_3+N=\pmat{1&0&0\\
0&1&0\\
0&0&1}+\pmat{0&0&0\\
0&0&t\\
0&0&0}=\pmat{1&0&0\\
0&1&t\\
0&0&1}[/mm]
Weiter gilt [mm]A\cdot{}N=N\cdot{}A}[/mm] (nachrechnen)
Also [mm]e^J=e^{A+N}=e^{A}\cdot{}e^N=\pmat{e^0&0&0\\
0&e^{-6t}&0\\
0&0&e^{-6t}}\cdot{}\pmat{1&0&0\\
0&1&t\\
0&0&1}=\ldots[/mm]
Gruß
schachuzipus
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Vielen danke euch beiden !
So langsam wird es heller im dunklen Wald der Numerik ;)
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