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| Aufgabe | a)
[mm] -x_{1} [/mm] + [mm] 4x_{2} [/mm] = 2
[mm] 2x_{1}- 9x_{2} +x_{3}=-2
[/mm]
[mm] 3x_{1} [/mm] + [mm] x_{3}= [/mm] 9
b)
[mm] 2x_{1}-3x_{2}+x_{3} [/mm] =1
[mm] 3x_{1}+2x_{2}-x_{3} [/mm] = 0
"Lösen sie die LGS und Deuten sie die Lösungen geometrisch" |
bei a) hatte ich die richtigen lösungen raus [mm] (x_{1}=2, x_{2}=1, x_{3}=3) [/mm] hab aber null geometrisches verständnis.
in der lösung stand irgendwas davon, dass die 3 ordinaten einen punkt ergeben, in dem sich die "3 ebenen" schneiden. wie gehe ich an so eine aufgabe ran, wie sehe ich, was ich vor mir habe?
zu b)
ich habe zuerst die beiden terme voneinander abgezogen, damit [mm] x_{3} [/mm] rausfällt. dann habe ich nicht mehr weitergewusst. die lösung hat [mm] x_{1}=t [/mm] gesetzt ich verstehe aber nicht wieso und für was :(
kann mir vllt jmd helfen? ich versteh nix. wie kann ich mir für sowas n grundverständnis aneignen?
nen schönen abend noch
lg
headbanger
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:45 Di 25.03.2008 | | Autor: | maddhe |
hi!
da es 3 koordinaten sind, bewegen wir uns im 3-dimensionalen raum und haben hier ebenen gegeben.
bei a) ist in der ersten Gleichung steht kein [mm] x_3, [/mm] d.h. die ebene steht senkrecht auf der [mm] x_1-x_2-Ebene [/mm] (wie ein Blatt Papier, das du "hinstellst")
Wie man das sieht? Eine möglichkeit, die ebenengleichung zu lesen, ist, aus ihr den Normalenvektor [mm] \vektor{-1\\4\\0} [/mm] zu nehmen, welcher immer senkrecht auf der ebene steht. Er bewegt sich aber nur in [mm] x_1-x_2-Richtung, [/mm] d.h. die ebene ist nicht "gekippt".
in der dritten gleichung ist der normalenvektor [mm] \vektor{3\\0\\1}, [/mm] d.h. die ebene ist senkrecht auf der [mm] x_1-x_3-Ebene [/mm] (gleiche argumentation wie oben)
die zweite gleichung zeigt eine ebene, die ganz schief im raum steht, nichts besonderes also...
dass sich alle drei in einem punkt schneiden (deshalb hast du auch EINEN punkt raus), ist eine seltenheit, wenn man sich überlegt, dass es unendlich viele lagen von ebenen gibt und sie sich nur in einem fall in einem PUNKT schneiden.
b) zwei ebenen allerdings sind entweder parallel oder schneiden sich in einer geraden. deshalb hast du auch eine variable, die nicht wegfällt: sie ist "frei", denn es gibt mehr variablen als gleichungen. hier findest du also unendlich viele punkte. nun gilt es aber, dein ergebnis trotzdem zu interpretieren... setze die freie variable (wir nehmen [mm] x_3) x_3=t [/mm] und liest die geradengleicung zeilenweise, also [mm] \vektor{x_1=\bruch{2}{13}+t*\bruch{1}{13}\\x_2=-\bruch{3}{13}+t*\bruch{5}{13}\\x_3=0+t*1}
[/mm]
und wenn du das auseinanderziehst, hast du die parametergleichung der schnittgeraden: [mm] s:\vec{x}=\vektor{\bruch{2}{13}\\-\bruch{3}{13}\\0}+t*\vektor{\bruch{1}{13}\\\bruch{5}{13}\\1}
[/mm]
es gibt mit sicherheit noch eine schönere parameterdarstellung... du darfst zumindest den richtungsvektor verändern (da dieser ja nur für die richtung zuständig ist und daher seine länge egal ist) und kommst auf [mm] s:\vec{x}=\vektor{\bruch{2}{13}\\-\bruch{3}{13}\\0}+t*\vektor{1\\5\\13}
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:56 Di 25.03.2008 | | Autor: | headbanger |
Danke für die Mühe und die anschauliche Erklärung!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:05 Di 25.03.2008 | | Autor: | crashby |
Hey headbanger ( Hardcore junky ;) )?
Eigentlich wurde alles schon gesagt aber ich wollte noch folgendes hinzufügen. Nimm dir mal zwei Dünne Bücher und schau dir mal genau an was passsiert wenn sich zwei Ebenen schneiden indem Fall die Bücher.
Du kannst immer parameter freiwählen, wenn dein LGS unter oder überbestimmt ist, sprich es hat unendlich viele Lösungen.
Anschaulich entsteht eine Gerade, wenn sich zwei Ebenen schneiden. Da eine Gerade ja kein einzelner Punkt ist gibt es unendlich viele Punkte. Zwei Üunkte beschreiben eine Gerade und diese besteht ja aus einen Richtungs und Orts-bzw Stützvektors.
Wenn man dann eben eine Variable freiwählt also eben x=t und dann weiterrechnet bekommt man eben eine Gerade raus. Wenn du aber für t=1,2,3,...,n Zahlen nimmst dann bekommst für jedes t eine Punkt der garantiert auf dieser Geraden liegt raus. Deswegen gibt es unendlich viele davon.
Eine Strategie gibt es denke ich nicht, dass macht die Gewohnheit :).
Aber wenn du zwei Ebenen gegeben hast mit drei Variablen also x,y,z dann ist das LGS nicht eindeutig lösbar, da du ja 2 Gleichungen mit 3 Variablen hast.
Ich hoffe ich konnte noch ein wenig helfen.
lg George
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:54 Di 25.03.2008 | | Autor: | headbanger |
ne hardcorejunky leider nich - muss die zeit in der ich mir drogen spritzen könnte etc... leider fürs mathelernen entbehren ;) danke
gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:48 Di 25.03.2008 | | Autor: | crashby |
hey da headbanger,
ach son quatsch bin auch mathestudent und höre only the harder styles like Hardstyle and Hardcore.
NL for ever ...smoking dutch green stuff ;)
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