Maßraum zeigen < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm] (A,\mathcal{A},\mu) [/mm] ein Maßraum und [mm] f:A\rightarrow \IR [/mm] messbar. Sei [mm] \nu [/mm] das Bildmaß von [mm] \mu [/mm] bzgl. f.
Zeigen Sie, dass [mm] (\IR, \mathcal{B(\IR)}, \nu) [/mm] ein Maßraum ist.
(Mit [mm] \mathcal{B} [/mm] ist die Borel- [mm] \sigma- [/mm] Algebra gemeint.) |
Ich weiß nicht genau, was zu zeigen ist. [mm] (\IR, \mathcal{B(\IR)}) [/mm] bildet einen Messraum und das Bildmaß ist doch immer ein Maß, oder nicht?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:46 Di 12.06.2012 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Ja, das Bildmaß ist ein Maß. Habt ihr das schon in der Vorlesung gezeigt?
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Gut.
Ich weiß es nicht. Nehmen wir an, es ist bereits gezeigt worden.
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Hallo,
> Gut.
> Ich weiß es nicht. Nehmen wir an, es ist bereits gezeigt worden.
Dann wäre die Aufgabe ziemlich witzlos, weil nichts mehr zu zeigen wäre.
Es ist aber auch nicht schwer zu zeigen, dass das Bildmaß tatsächlich ein Maß ist.
Man hat nur zu beachten, dass mit einer Folge paarweise disjunkter Mengen [mm] (A_n)_{n\in\IN} [/mm] auch die Folge [mm] (f^{-1}(A_n))_{n\in\IN} [/mm] aus p.d. Mengen in [mm] \mathcal{A} [/mm] besteht.
Die [mm] \sigma- [/mm] Additivität folgt dann wegen
[mm] f^{-1}(\bigcup_{n=1}^\infty A_n)=\bigcup_{n=1}^\infty f^{-1}(A_n).
[/mm]
LG
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> Die [mm] \sigma- [/mm] Additivität folgt dann wegen
> [mm] f^{-1}(\bigcup_{n=1}^\infty A_n)=\bigcup_{n=1}^\infty f^{-1}(A_n).
[/mm]
Wie zeige ich das eigentlich? Erst mal gilt diese Eigenschaft ja nur für endliche Vereinigungen.
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> > Die [mm]\sigma-[/mm] Additivität folgt dann wegen
> > [mm]f^{-1}(\bigcup_{n=1}^\infty A_n)=\bigcup_{n=1}^\infty f^{-1}(A_n).[/mm]
>
> Wie zeige ich das eigentlich? Erst mal gilt diese
> Eigenschaft ja nur für endliche Vereinigungen.
Das ist hier einfach: Z.z. A=B.
Nimm [mm] x\in [/mm] A, dann siehst du [mm] x\in [/mm] B und dann andersrum.
LG
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