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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:39 So 25.03.2012 | | Autor: | fe11x |
| Aufgabe | Sei [mm] \Omega [/mm] = [0,1] [mm] \cap~~ \IQ [/mm] , T.... Semiring
T = {(a,b] [mm] \cap ~~\IQ [/mm] : 0 [mm] \le [/mm] a [mm] \le [/mm] b [mm] \le [/mm] 1}
[mm] \mu [/mm] ((a,b] [mm] \cap ~~\IQ) [/mm] = b - a
Zeigen sie das [mm] \mu [/mm] auf T additiv und stetig von oben und unten ist, aber kein Maß |
hallo
bin gerade am Maß1 lernen und brauche dringend hilfe bei diesem beispiel.
1) additiv. additiv ist [mm] \mu [/mm] doch einfach aus dem grund, weil man in einem semiring, wenn A Teilmenge von B ist, A mit disjunkten [mm] C_i [/mm] erweitern kann. das heißt [mm] \mu [/mm] (B) = [mm] \mu [/mm] (A) + [mm] \mu (C_i) [/mm] oder?
aber ich weiß nicht wie ich das bei der stetigkeit angehen soll und warum das kein maß sein soll.
bitte um hilfe.
danke im voraus.
grüße fe11x
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:46 So 25.03.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo fe11x,
> Sei [mm]\Omega[/mm] = [0,1] [mm]\cap \IQ[/mm] , T.... Semiring
>
> $T = [mm] \{(a,b] \cap \IQ |0\le a \le b \le 1\}$
[/mm]
>
> [mm]\mu[/mm] ((a,b] [mm]\cap\IQ)[/mm] = b - a
>
> Zeigen sie das [mm]\mu[/mm] auf T additiv und stetig von oben und
> unten ist, aber kein Maß
Sollen in der Definition von T die Zahlen [mm] a,b\in\IQ [/mm] oder [mm] a,b\in\IR [/mm] sein?
> 1) additiv. additiv ist [mm]\mu[/mm] doch einfach aus dem grund,
> weil man in einem semiring, wenn A Teilmenge von B ist, A
> mit disjunkten [mm]C_i[/mm] erweitern kann. das heißt [mm]\mu[/mm] (B) = [mm]\mu[/mm]
> (A) + [mm]\mu (C_i)[/mm] oder?
Ich kann dir nicht folgen. Irgendwie scheinst du die Additivität von [mm] \mu, [/mm] die du ja erst beweisen willst, bereits zu benutzen.
> aber ich weiß nicht wie ich das bei der stetigkeit angehen
> soll und warum das kein maß sein soll.
Zur Additivität und den beiden Stetigkeitsaussagen: Poste erst einmal die genaue Definition von [mm] \mu [/mm] additiv bzw. stetig von unten/oben. Obiger Versuch zur Additivität lässt nämlich vermuten, dass die Definition nicht klar ist.
Zur nicht vorhandenen Maßeigenschaft: Ein Maß ist per Definition auf einer Sigma-Algebra definiert. Ist T eine Sigma-Algebra auf [mm] \Omega?
[/mm]
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:23 So 25.03.2012 | | Autor: | fe11x |
> Hallo fe11x,
>
>
> > Sei [mm]\Omega[/mm] = [0,1] [mm]\cap \IQ[/mm] , T.... Semiring
> >
> > [mm]T = \{(a,b] \cap \IQ |0\le a \le b \le 1\}[/mm]
> >
> > [mm]\mu[/mm] ((a,b] [mm]\cap\IQ)[/mm] = b - a
> >
> > Zeigen sie das [mm]\mu[/mm] auf T additiv und stetig von oben und
> > unten ist, aber kein Maß
> Sollen in der Definition von T die Zahlen [mm]a,b\in\IQ[/mm] oder
> [mm]a,b\in\IR[/mm] sein?
das geht nicht aus der angabe hervor. tut mir leid das kann ich nicht beantworten
>
> Zur nicht vorhandenen Maßeigenschaft: Ein Maß ist per
> Definition auf einer Sigma-Algebra definiert. Ist T eine
> Sigma-Algebra auf [mm]\Omega?[/mm]
naja auf [0,1] bräuchte ich die potenzmenge von [mm] \Omega [/mm] um eine sigma algebra zu bekommen oder? also in diesem fall kann man T nicht zu einer sigmaalgebra fortsetzen oder?
zur additivität:
es muss gelten:
[mm] \mu (\bigcup_{i=1}^{n} A_i) [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n} \mu(A_i)
[/mm]
der semiring ist aber nicht abgeschlossen gegenüber endlicher vereinigung. wie kann ich das angehen?
ich weiß ja nur, dass wenn A teilmenge von B ist, es disjunkte [mm] C_i [/mm] gibt sodass ich A zu B erweritern kann.
für die stetigkeit von oben sowie von unten brauch ich ja die sigma additivität da ich ja unendlich oft vereinige. so is es jedenfalls in meinem buch definiert.
>
>
> Viele Grüße
> Tobias
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:39 So 25.03.2012 | | Autor: | tobit09 |
> > Zur nicht vorhandenen Maßeigenschaft: Ein Maß ist per
> > Definition auf einer Sigma-Algebra definiert. Ist T eine
> > Sigma-Algebra auf [mm]\Omega?[/mm]
>
> naja auf [0,1] bräuchte ich die potenzmenge von [mm]\Omega[/mm] um
> eine sigma algebra zu bekommen oder?
Warum das?
> also in diesem fall
> kann man T nicht zu einer sigmaalgebra fortsetzen oder?
Jedes Mengensystem [mm] S\subseteq\mathcal{P}(\Omega) [/mm] lässt sich zu einer Sigma-Algebra auf [mm] \Omega [/mm] fortsetzen, z.B. zu der von S erzeugten Sigma-Algebra [mm] \sigma(S).
[/mm]
Darum geht es aber hier gar nicht: In der üblichen Definition eines Maßes steht, dass ein Maß stets auf einer Sigma-Algebra definiert ist. Unser T ist aber gar keine Sigma-Algebra (warum?). Also kann [mm] \mu [/mm] kein Maß sein. Oder lautet eure Definition eines Maßes anders? (Nämlich wie?)
> zur additivität:
>
> es muss gelten:
>
> [mm]\mu (\bigcup_{i=1}^{n} A_i)[/mm] = [mm]\summe_{i=1}^{n} \mu(A_i)[/mm]
für alle PAARWEISE DISJUNKTEN [mm] $A_1,\ldots,A_n\in [/mm] T$ mit [mm] $\bigcup_{i=1}^{n} A_i\in [/mm] T$.
> der semiring ist aber nicht abgeschlossen gegenüber
> endlicher vereinigung. wie kann ich das angehen?
Daher verlangt die Definition von "additiv" ja auch nur, dass dies für solche paarweise disjunkten [mm] $A_1,\ldots,A_n\in [/mm] T$ gilt, die [mm] $\bigcup_{i=1}^{n} A_i\in [/mm] T$ erfüllen.
> für die stetigkeit von oben sowie von unten brauch ich ja
> die sigma additivität da ich ja unendlich oft vereinige.
> so is es jedenfalls in meinem buch definiert.
Stetigkeit von oben oder unten wird wohl kaum als Sigma-Additivität definiert sein. Wie lautet die korrekte Definition?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:52 So 25.03.2012 | | Autor: | fe11x |
> > > Zur nicht vorhandenen Maßeigenschaft: Ein Maß ist per
> > > Definition auf einer Sigma-Algebra definiert. Ist T eine
> > > Sigma-Algebra auf [mm]\Omega?[/mm]
> >
> > naja auf [0,1] bräuchte ich die potenzmenge von [mm]\Omega[/mm] um
> > eine sigma algebra zu bekommen oder?
> Warum das?
okay ich hab mir gedacht ich schaff es sonst nicht, alle kriterien zu erfüllen in diesem fall. aber gut, wie du gesagt hast, darum gehts nicht
> > zur additivität:
> >
> > es muss gelten:
> >
> > [mm]\mu (\bigcup_{i=1}^{n} A_i)[/mm] = [mm]\summe_{i=1}^{n} \mu(A_i)[/mm]
>
> für alle PAARWEISE DISJUNKTEN [mm]A_1,\ldots,A_n\in T[/mm] mit
> [mm]\bigcup_{i=1}^{n} A_i\in T[/mm].
ah okay stimmt. gut das ist dann in diesem beispiel natürlich erfüllt wenn ichs mir recht überlege.
>
> > der semiring ist aber nicht abgeschlossen gegenüber
> > endlicher vereinigung. wie kann ich das angehen?
> Daher verlangt die Definition von "additiv" ja auch nur,
> dass dies für solche paarweise disjunkten
> [mm]A_1,\ldots,A_n\in T[/mm] gilt, die [mm]\bigcup_{i=1}^{n} A_i\in T[/mm]
> erfüllen.
>
> > für die stetigkeit von oben sowie von unten brauch ich ja
> > die sigma additivität da ich ja unendlich oft vereinige.
> > so is es jedenfalls in meinem buch definiert.
> Stetigkeit von oben oder unten wird wohl kaum als
> Sigma-Additivität definiert sein. Wie lautet die korrekte
> Definition?
stetigkeit von unten.
hier steht: ist [mm] \mu [/mm] ein maß auf einem Semiring( wieso gibt es hier ein maß auf einem semiring, ich dachte das geht nicht????) und [mm] A_n [/mm] eine monoton steigende Folge von mengen aus T(Semiring) wobei gilt [mm] \bigcup_{i=1}^{\infty} A_n \in [/mm] T.
so gilt: [mm] \mu (\bigcup_{i=1}^{n} A_n) [/mm] = [mm] \mu(lim_{n\to\infty} A_n) [/mm] = [mm] (lim_{n\to\infty} \mu(A_n)
[/mm]
ist dies erfüllt ist [mm] \mu [/mm] stetig von unten.
okay so ist es in meinem buch definiert
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:29 So 25.03.2012 | | Autor: | tobit09 |
> > > zur additivität:
> > >
> > > es muss gelten:
> > >
> > > [mm]\mu (\bigcup_{i=1}^{n} A_i)[/mm] = [mm]\summe_{i=1}^{n} \mu(A_i)[/mm]
>
> >
> > für alle PAARWEISE DISJUNKTEN [mm]A_1,\ldots,A_n\in T[/mm] mit
> > [mm]\bigcup_{i=1}^{n} A_i\in T[/mm].
>
> ah okay stimmt. gut das ist dann in diesem beispiel
> natürlich erfüllt wenn ichs mir recht überlege.
Wobei der Beweis etwas frickelig ist.
> > > für die stetigkeit von oben sowie von unten brauch ich ja
> > > die sigma additivität da ich ja unendlich oft vereinige.
> > > so is es jedenfalls in meinem buch definiert.
> > Stetigkeit von oben oder unten wird wohl kaum als
> > Sigma-Additivität definiert sein. Wie lautet die korrekte
> > Definition?
>
>
> stetigkeit von unten.
>
> hier steht: ist [mm]\mu[/mm] ein maß auf einem Semiring( wieso gibt
> es hier ein maß auf einem semiring, ich dachte das geht
> nicht????)
Nach der üblichen Definition eines Maßes geht das tatsächlich so i.A. nicht. Anscheinend ist in diesem Buch eine andere Definition eines Maßes gewählt. Dann funktioniert mein Argument, dass [mm] \mu [/mm] kein Maß ist, natürlich nicht mehr. Ich denke gerade noch darüber nach, ob [mm] \mu [/mm] sigma-additiv ist.
> und [mm]A_n[/mm] eine monoton steigende Folge von mengen
> aus T(Semiring) wobei gilt [mm]\bigcup_{i=1}^{\infty} A_n \in[/mm]
> T.
> so gilt: [mm]\mu (\bigcup_{i=1}^{\red{\infty}} A_n)[/mm] =
> [mm]\mu(lim_{n\to\infty} A_n)[/mm] = [mm](lim_{n\to\infty} \mu(A_n)[/mm]
> ist
> dies erfüllt ist [mm]\mu[/mm] stetig von unten.
>
> okay so ist es in meinem buch definiert
So passt es. Zu zeigen ist also, dass für alle Folgen [mm] $A_1\subseteq A_2\subseteq A_3\subseteq\ldots$ [/mm] von Mengen aus T mit [mm] $\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i\in [/mm] T$ gilt:
(*) [mm] $\lim_{i\to\infty}\mu(A_i)=\mu(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i)$.
[/mm]
Nach Definition von T gilt [mm] $A_i=(a_i,b_i]\cap\IQ$ [/mm] für gewisse [mm] $0\le a_i\le b_i\le [/mm] 1$ für alle [mm] i\in\IN [/mm] sowie [mm] \bigcup_{i=1}^{\infty}A_i=(a,b]\cap\IQ [/mm] für gewisse [mm] $0\le a\le b\le [/mm] 1$.
1. Fall: [mm] a_i=b_i [/mm] für alle [mm] i\in\IN. [/mm] Dann ist [mm] \bigcup_{i=1}^{\infty}A_i=\bigcup_{i=1}^{\infty}\emptyset=\emptyset=(0,0]\cap\IQ [/mm] und somit wie gewünscht
[mm] $\lim_{i\to\infty}\mu(A_i)=0=\mu(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i)$.
[/mm]
2. Fall: [mm] a_i
Zeige nun:
1. [mm] $a_i\ge a_{i+1}\ge a_{i+2}\ge\ldots\ge [/mm] a$ und [mm] $b_i\le b_{i+1}\le b_{i+2}\le\ldots\le [/mm] b$
2. [mm] \lim_{i\to\infty}a_i=a [/mm] und [mm] \lim_{i\to\infty}b_i=b
[/mm]
3. (*)
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| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:45 So 25.03.2012 | | Autor: | fe11x |
okay danke.
hab jetzt alles so halbwegs hinbekommen, fehlt mir nur noch der beweis das es kein maß ist.
ich weiß nicht wieso es keines sein sollte. es sieht so aus als wäre es auch sigma additiv oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Di 27.03.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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