Massenschwerpunkt < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
|
Hallo!
Bin grad dabei die Rechnung für den Massenschwerpunkt einer homogenen Halbkugel nachzuvollziehen. Rauskommen müsste 3/8 r wenn die Kugel den Radius r hat.
Allerdings steht in meinem Lehrbuch nur:
[mm] z_{s} [/mm] = [mm] \bruch{1}{M} [/mm] * [mm] \integral_{V}^{} [/mm] {z (rho) dV} = [mm] \bruch{1}{V}* \integral_{V}^{} [/mm] {z dV}.
Mit z=r*cos [mm] \nu [/mm] und dV=r² dr sin [mm] \nu d\nu [/mm] d(phi) wird dies zu:
[mm] r_{s}= \bruch{1}{V} [/mm] * [mm] \integral_{r=0}^{R} \integral_{\nu=0}^{\pi/2} \integral_{(phi)=0}^{2* \pi} [/mm] * r³ cos [mm] \nu [/mm] sin [mm] \nu [/mm] dr [mm] \nu [/mm] d(phi)
.
.
.
=3/8 *R
Tja, leider kann ich das ... nicht nachvollziehen! Kann mir vielleicht jemand die einzelnen Zwischenschritten erklären? Bin mit Kugelkoordinaten leider nicht so bewandert!
Vielen Dank!
lg
SirBigMac
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:21 Sa 10.12.2005 | | Autor: | woti79 |
Hier die Antwort:
Du musst erst die Integration über d(phi) durchführen. da in der Funktion aber kein phi vorkommt, ist die Funktion konstant in Bezug auf Phi. Somit wird durch dieses Integral die Funktion um ein 2*pi bereichert.
Als nächstes kommt die integration über [mm] \nu [/mm] dran. Der relevante Teil der in der Funktion ist der sin(nu)*cos(nu). Die Stammfunktion hiervon ist: [mm] 1/2*sin(alpha)^2. [/mm] Setzt man die grenzen hier ein, so erhält man ein zusätzliches 1/2 in der Funktion. Zulettz erfolgt die Integration über r. Die Stammfunktion von [mm] r^3 [/mm] ist [mm] 1/4*r^4. [/mm] Setzt man die Grenzen ein, so erhält man: [mm] 1/4*R^4.
[/mm]
Alles in allem kommt man auf: [mm] 1/V*1/4*R^4*1/2*2*\pi. [/mm] Und das ergibt wenn man [mm] V=1/2*3/4*R^3*\pi [/mm] einsetzt, genau das Ergebnis das du suchst.
|
|
|
|
