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| Aufgabe | Aus einer unbegrenzten Anzahl von Ziegelsteinen soll durch Übereinanderlegen - oder auch durch Untereinanderlegen
- ein Turm gebaut werden. Dabei darf in jeder Etage nur ein Stein verwandt werden.
Wie weit kann maximal seitwärts gebaut werden, ohne dass der Turm kippt?
Hinweis: Jeder Stein kann jeweils nur soviel seitlich verschoben werden, dass der Schwerpunkt des darüberliegenden
Turmes auf dem Rand des Steins liegt. Finden Sie eine Rekursionsformel für die Schwerpunkte. |
Hab leider keinen Ansatz-wie geht das??
(in keinem anderen Forum!)
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> Aus einer unbegrenzten Anzahl von Ziegelsteinen soll durch
> Übereinanderlegen - oder auch durch Untereinanderlegen
> - ein Turm gebaut werden. Dabei darf in jeder Etage nur
> ein Stein verwandt werden.
> Wie weit kann maximal seitwärts gebaut werden, ohne dass
> der Turm kippt?
> Hinweis: Jeder Stein kann jeweils nur soviel seitlich
> verschoben werden, dass der Schwerpunkt des
> darüberliegenden
> Turmes auf dem Rand des Steins liegt. Finden Sie eine
> Rekursionsformel für die Schwerpunkte.
> Hab leider keinen Ansatz-wie geht das??
Hallo David,
zuerst solltest du dir eine Zeichnung machen. Dabei
fängst du am besten mit dem obersten Stein an und
schichtest dann die anderen darunter. Nimm z.B. an,
dass jeder Backstein die Höhe 1 und die Länge 2 hat.
Nummeriere die Steine: k=1,2,3,... , bezeichne die
Schwerpunkte (=Mittelpunkte) der einzelnen Steine
z.B. mit [mm] M_k(x_k/y_k) [/mm] und die Schwerpunkte der
"Teiltürme" (Turm aus den obersten k Steinen) mit [mm] S_k(s_k/...).
[/mm]
Dann überlegst du dir erst mal die allerersten Schritte,
nämlich wie die Werte [mm] x_1, s_1, x_2, s_2, x_3, s_3, [/mm] ...
nach der Reihe berechnet werden können. Das ist
dann wohl schon fast mehr als die halbe Miete ...
LG Al-Chw.
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| Aufgabe | Dann überlegst du dir erst mal die allerersten Schritte,
nämlich wie die Werte $ [mm] x_1, s_1, x_2, s_2, x_3, s_3, [/mm] $ ...
nach der Reihe berechnet werden können |
...aber das ist ja genau mein Problem, Zeichnung und Benennung hatte ich--aber wie berechnet man denn diese Werte?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:58 So 03.01.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
leg die obersten 2 Steine.
Wo liegt ihr gemeinsamer Schwerpunkt?
wohin legst du dann den dritten drunter? wo liegt der gemeinsame schwerpunkt.
dann den 4 ten und schon hast du den Anfang der Rekursion.
Im Notfall staple Taschenbuecher!
Gruss leduart
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| Aufgabe | Naja, der Schwerpunkt liegt in der Mitte der beiden einzelnen Schwerpunkte...
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Ist es richtig, dass der Turm genau dann ( und nur dann) kippt , wenn der Gesamtschwerpunkt über dem Rand des untersten Steines liegt?
Aber auf die Rekursion komm´ich leider trotzdem nicht....
lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:12 So 03.01.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du machst dirs zu einfach! hast du die von mir vorgeschlagenen 4 Schritte gemacht? in den 2 Minuten, die du fuer die Antwort gebraucht hast?
Wir haben heute keinen ausverkauf, es gibt nix fuer nix.
gruss leduart
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| Aufgabe | Lieber leduart,
ich beschäftige mich mittlerweile mehrere STUNDEN mit dieser Aufgabe, mein Problem ist die mathematische Umsetzung!
Insegesamt kann man den Turm doch nur so weit schräg bauen , das der Gesamtschwerpunkt nicht über die Standfläche rausragt, oder?
Wie komme ich vom Steinelegen zur Rekursion??? Das war ja die Frage...
Aber danke trotzdem! |
Wie komme ich vom Steinelegen zur Rekursion?
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> Lieber leduart,
> ich beschäftige mich mittlerweile mehrere STUNDEN mit
> dieser Aufgabe, mein Problem ist die mathematische
> Umsetzung!
> Insegesamt kann man den Turm doch nur so weit schräg bauen
> , das der Gesamtschwerpunkt nicht über die Standfläche
> rausragt, oder?
> Wie komme ich vom Steinelegen zur Rekursion??? Das war ja
> die Frage...
> Aber danke trotzdem!
> Wie komme ich vom Steinelegen zur Rekursion?
Hallo.
wenn du die Bezeichnungen aus meiner ersten Antwort
benützt und z.B. [mm] x_1=y_1=0 [/mm] setzt, hast du:
[mm] x_1=0
[/mm]
[mm] s_1=0
[/mm]
[mm] x_2=s_1+1
[/mm]
Auf die y-Koordinaten kommt es gar nicht an, darum
darf man diese auch einfach weglassen. Wenn du dann
schon k Steine auf- bzw. untereinander geschichtet hast,
ist der Schwerpunkt des Turms aus diesen k Steinen an
der Stelle [mm] x=s_k [/mm] . Diesen Wert kannst du aus den Werten
[mm] x_1, x_2,\,.....\,, x_k [/mm] leicht berechnen bzw. formal darstellen.
[mm] s_k [/mm] gibt an, an welcher Stelle der Rand des Steines
Nr. $n+1$ liegen muss. Der Mittelpunkt dieses Steines
Nr. $n+1$ liegt um eine halbe Steinlänge rechts davon,
also bei [mm] x_{k+1}=s_k+1 [/mm] .
Rechne dies mal ein Stück weit konkret durch !
LG Al-Chw.
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> Naja, der Schwerpunkt liegt in der Mitte der beiden
> einzelnen Schwerpunkte...
Als Formel ausgedrückt also: [mm] s_2=\frac{x_1+x_2}{2}
[/mm]
Wenn du für [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] schon konkrete Werte hast
(nachdem du ein Koordinatensystem definiert hast -
hast du das ?), kannst du [mm] s_2 [/mm] auch hinschreiben und
daraus auf den Wert von [mm] x_3 [/mm] schließen.
> Ist es richtig, dass der Turm genau dann ( und nur dann)
> kippt , wenn der Gesamtschwerpunkt über dem Rand des
> untersten Steines liegt?
Wenn die Gravitation überall exakt parallel zur y-Achse
wirkt (dies ist eigentlich bei einem beliebig hohen Turm
nicht selbstverständlich), ist der Turm genau dann stabil,
wenn jeweils der Schwerpunkt des "Überturms" jedes
Steines über dem Inneren des Steines liegt. Liegt er
außerhalb, fällt der Turm notgedrungen zusammen.
Der Fall, wo der Schwerpunkt des "Überturms" jedes
Turmes genau über dem Rand des ihn tragenden Steines
liegt, ist natürlich der extreme Grenzfall, bei dem der
Turm gerade noch stehen bleiben könnte. Diese Situa-
tion ist dann allerdings nicht mehr stabil, sondern könnte
durch den leisesten Schubs ins Ungleichgewicht geraten.
Wenn du [mm] x_3 [/mm] berechnet hast: mach dir klar, wie du dann
aus [mm] x_1, x_2 [/mm] und [mm] x_3 [/mm] den Wert [mm] s_3 [/mm] und daraus [mm] x_4 [/mm] berechnest.
LG Al-Chw.
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die rekursion ist anscheinend [mm] \summe_{i=1}^{ \infty} \bruch{1}{2i}
[/mm]
...aber ob das stimmt?? denn dann könnte man ja unendlich weit "rausbauen" mit unendlich vielen steinen.....
kein plan echt
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> die rekursion ist anscheinend [mm]\summe_{i=1}^{ \infty} \bruch{1}{2i}[/mm]
Und was wäre die genaue Bedeutung dieses Terms ?
> ...aber ob das stimmt?? denn dann könnte man ja unendlich
> weit "rausbauen" mit unendlich vielen steinen.....
> kein plan echt
Es ist so, dass der Turm theoretisch beliebig weit seitlich
ausladen könnte. Das scheint zwar paradox, ist aber
mathematisch korrekt. Über die notwendige Physik für
eine reale Überprüfung müsste man sich allerdings
noch unterhalten ...
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:48 Mi 06.01.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Das ist keine Rekursionsformel. eine Rekursionsformel rechnet aus k Steinen die lage des (k+1)ten aus.
Damit kannst du dann deine Summe, von der du nicht sagst, was sie angeben soll beweisen. (mit Induktion wahrscheinlich).
Gruss leduart
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