Maße bzw. Maßerweiterung < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:38 Mi 24.02.2010 | | Autor: | AndyK |
| Aufgabe | §5 Aufgabe 3:
Es seien [mm] $\mu$ [/mm] und [mm] $\nu$ [/mm] Maße auf einer [mm] $\sigma$-Algebra $\mathcal [/mm] A$ in einer Menge [mm] $\Omega$, [/mm] wobei [mm] $\mathcal [/mm] A$ von einer Algebra [mm] $\mathcal A_0$ [/mm] in [mm] $\Omega$ [/mm] erzeugt werde. Man zeige: Aus der Gültigkeit von [mm] $\mu(A) \le \nu(A)$ [/mm] für alle $A [mm] \in \mathcal A_0$ [/mm] folgt die Gültigkeit dieser Ungleichung für alle $A [mm] \in \mathcal [/mm] A$.
(Quelle: Heinz Bauer, Maß- und Integrationstheorie, 1992) |
Hallo,
ich arbeite gerade als Wiederholung das Buch (siehe Quellenangabe in der Aufgabenstellung) durch und betrachte zu den einzelnen Abschnitten ein paar der Aufgaben. Bei obiger Aufgabe komme ich aber irgendwie nicht weiter. Wäre das Maß [mm] $\sigma$-Endlich, [/mm] so wäre die Aufgabe kein Problem. Auch der Ansatz die Aufgabe über ein Dynkin-System anzugehen (ähnlich dem Beweis von Satz 5.4) hat mich nicht weiter gebracht. Meine Versuche dabei waren:
[mm] [center]$\mathcal [/mm] D := [mm] \{\ D \in \mathcal A\ |\ \mu(D) \le \nu(D)\ \}$[/center]
[/mm]
bzw.
[mm] [center]$\mathcal D_A [/mm] := [mm] \{\ D \in \mathcal A\ |\ \mu(A \cap D) \le \nu(A \cap D)\ \}$ [/mm] für $A [mm] \in \mathcal A_0$.[/center]
[/mm]
Beide sind meiner Erkenntnis nach keine Dynkin-Systeme. Zumindest bin ich jeweils beim Komplement gescheitert. Mitlerweile hab ich diesen Weg erstmal beiseite gelegt.
Ich hoffe jemand kann mir einen kleinen Hinweis geben wie ich die Aufgabe am besten angehen sollte. Vielleicht erfolgt der Beweis doch über ein Dynkin-System?
Gruß,
AndyK
(Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:59 Mi 24.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> §5 Aufgabe 3:
> Es seien [mm]\mu[/mm] und [mm]\nu[/mm] Maße auf einer [mm]\sigma[/mm]-Algebra
> [mm]\mathcal A[/mm] in einer Menge [mm]\Omega[/mm], wobei [mm]\mathcal A[/mm] von
> einer Algebra [mm]\mathcal A_0[/mm] in [mm]\Omega[/mm] erzeugt werde.
Was hat die Algebra in diesem Kontext nochmal für Eigenschaften?
> Wäre
> das Maß [mm]\sigma[/mm]-Endlich, so wäre die Aufgabe kein Problem.
Wie löst man denn das in dem Fall? Vielleicht kann man es ja abändern, dass es immer gilt.
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:07 Do 25.02.2010 | | Autor: | tobit09 |
> Was hat die Algebra in diesem Kontext nochmal für
> Eigenschaften?
Da ich den Bauer besitze, kann ich das beantworten:
[mm] $\emptyset\in\mathcal{A}_0$ [/mm] und [mm] $\Omega\in\mathcal{A}_0$,
[/mm]
[mm] $A\setminus B\in\mathcal{A}_0$ [/mm] und [mm] $A\cup B\in\mathcal{A}_0$ [/mm] für alle [mm] $A,B\in\mathcal{A}_0$.
[/mm]
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Hiho,
nimm mal an, es wuerde nicht [mm] \mu(A) \le \nu(A) [/mm] fuer alle A gelten und fuehre das zum Widerspruch, d.h es gibt ein A fuer das > gilt, dann...
1. Fall $A [mm] \in \mathcal{A_0}$ [/mm] trivial
2. Fall $A [mm] \not\in\mathcal{A_0}$ [/mm] dann gibt es eine Darstellung.... Hier machst du mal weiter.
Mfg
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:02 Do 25.02.2010 | | Autor: | tobit09 |
Hallo,
vielen Dank für deine Antwort!
> 2. Fall [mm]A \not\in\mathcal{A_0}[/mm] dann gibt es eine
> Darstellung.... Hier machst du mal weiter.
Wirklich? Lässt sich irgendwie konstruktiv angeben, wie die Elemente von [mm] $\mathcal{A}$ [/mm] mit Elementen von [mm] $\mathcal{A}_0$ [/mm] zusammenhängen? Zumindest für den Fall, dass [mm] $\mathcal{A}_0$ [/mm] keine Algebra ist, habe ich mal gelernt, dass das i.A. nicht der Fall sei.
Viele Grüße
Tobias
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:10 Do 25.02.2010 | | Autor: | pelzig |
> > 2. Fall [mm]A \not\in\mathcal{A_0}[/mm] dann gibt es eine
> > Darstellung.... Hier machst du mal weiter.
> Wirklich? Lässt sich irgendwie konstruktiv angeben, wie
> die Elemente von [mm]\mathcal{A}[/mm] mit Elementen von
> [mm]\mathcal{A}_0[/mm] zusammenhängen?
Naja in der Aufgabe steht doch aber, dass [mm]\mathcal{A}_0[/mm] eine Algebra sein soll. Dann gilt (wissen oder [mm] nachprüfen!)$$\sigma(\mathcal{A}_0)=\left\{\bigcup_{i\in\IN}A_i\ \bigg|\left(A_i\right)_{i\in\IN}\subset\mathcal{A}_0\right\}.$$ [/mm] Edit: Das war Unfug...!
Mit dieser Darstellung sollte die Aufgabe leicht sein, und zwar direkt, ohne Widerspruchsbeweis und Fallunterscheidungen.
> Zumindest für den Fall,
> dass [mm]\mathcal{A}_0[/mm] keine Algebra ist, habe ich mal gelernt,
> dass das i.A. nicht der Fall sei.
Das ist richtig. Wenn [mm]\mathcal{A}_0[/mm] ne komische Menge ist, dann ist es überhaupt nicht klar welche Mengen in [mm]\sigma(\mathcal{A}_0)[/mm] liegen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:19 Do 25.02.2010 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Robert,
vielen Dank für deine Antwort!
> Naja in der Aufgabe steht doch aber, dass [mm]\mathcal{A}_0[/mm]
> eine Algebra sein soll. Dann gilt (wissen oder
> nachprüfen!)[mm]\sigma(\mathcal{A}_0)=\left\{\bigcup_{i\in\IN}A_i\ \bigg|\left(A_i\right)_{i\in\IN}\subset\mathcal{A}_0\right\}.[/mm]
Da meine ich ein Gegenbeispiel zu haben. Wo ist mein Denkfehler?
Sei [mm] $\Omega$ [/mm] eine beliebige überabzählbare Menge.
Sei [mm] $\mathcal{A}_0$ [/mm] die Algebra (!) [mm] $\{A\subset\Omega\;|\;A\mbox{ oder }A^c\mbox{ ist endlich}\}$.
[/mm]
[mm] $\sigma(\mathcal{A}_0)$ [/mm] enthält alle Einpunkt-Teilmengen von [mm] $\Omega$, [/mm] damit auch alle abzählbar unendlichen Teilmengen von [mm] $\Omega$ [/mm] und damit auch deren Komplemente. Sei A so ein Komplement einer abzählbar unendlichen Teilmenge.
Nach deiner Behauptung gilt [mm] $A=\bigcup_{i\in\IN}A_i$ [/mm] für gewisse [mm] $A_i\in\mathcal{A}_0$.
[/mm]
Würde für eines der [mm] $A_i$ [/mm] gelten, dass [mm] $A_i^c$ [/mm] endlich ist, so wäre erst recht [mm] $A^c$ [/mm] endlich. Also sind alle [mm] $A_i$ [/mm] endlich. Dann ist aber [mm] $\Omega=\bigcup_{i\in\IN}A_i\cup A^c$ [/mm] als abzählbare Vereinigung abzählbarer Mengen selbst wieder abzählbar, Widerspruch.
> Mit dieser Darstellung sollte die Aufgabe leicht sein, und
> zwar direkt, ohne Widerspruchsbeweis und
> Fallunterscheidungen.
Mit dieser Darstellung würde ich es hinkriegen!
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:08 Do 25.02.2010 | | Autor: | AndyK |
Hallo Robert! Hallo Tobias!
Mein Prof. meinte damals in der Maßtheorie-Vorlesung ebenfalls, dass sich eine Sigma-Algebra nicht aus der erzeugenden Menge konstruieren lässt. Er hat damals keine Einschränkung bezüglich der erzeugenden Menge gemacht. Was natürlich nicht heißt, dass es vielleicht doch möglich wäre. Ich konnte aber keinen Fehler in dem Gegenbeispiel von Tobias finden.
Gruß,
AndyK
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:53 Fr 26.02.2010 | | Autor: | pelzig |
> Da meine ich ein Gegenbeispiel zu haben. Wo ist mein
> Denkfehler? [...]
Ich sehe keinen Fehler. Dein Gegenbeispiel ist sicher richtig, und meine kühne Behauptung damit grandios wiederlegt. Ich hätte besser den "Beweis" den ich mir damals gedacht habe auch mal hinschreiben sollen, dann hätte ich bemerkt dass das Komplement einer Vereinigung ein Schnitt ist... sorry!
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:09 Fr 26.02.2010 | | Autor: | tobit09 |
Alles klar, kein Problem! Dann hat sich das ja geklärt.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:02 Do 25.02.2010 | | Autor: | gfm |
Zu [mm] \sigma(\mathcal{A}_0)=\{\cup A_i|(A_i)\subseteq \mathcal{A}_0\}:
[/mm]
[mm] \sigma(\mathcal{A}_0) [/mm] enthält [mm] \mathcal{A}_0, [/mm] da es per Definition der Schnitt über alle [mm] \sigma-Algebren [/mm] ist, die [mm] \mathcal{A}_0 [/mm] enthalten.
Dann aber enthält [mm] \sigma(\mathcal{A}_0) [/mm] auch abzählbare Vereinigungen von Mengen aus [mm] \mathcal{A}_0, [/mm] da [mm] \sigma(\mathcal{A}_0) [/mm] eine [mm] \sigma-Algebra [/mm] ist.
Wenn man jetzt behaupten könnte, dass alle abzählbaren Vereinigungen von Mengen einer Algebra selber eine [mm] \sigma-Algebra [/mm] bilden, wär man fertig.
Ich bekommen aber nur das hin: Abzählbare Vereinigungen von abzählbaren Vereinigungen sind abzählbare Vereinigungen. Mit dem Komplement tue ich mich schwer.
Wenn [mm] B\in\{\cup A_i|(A_i)\subseteq \mathcal{A}_0\}, [/mm] also [mm] B=\cup A_i, [/mm] wie kommt man dann darauf, dass [mm] B^C [/mm] auch enthalten ist?
LG
gfm
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:55 Fr 26.02.2010 | | Autor: | pelzig |
Was du geschrieben hast ist genau der Beweis den ich im Kopf hatte als ich diese Behauptung aufgestellt habe. Der Teil mit den Komplementen ist genau der Knackpunkt, den ich übersehen habe. Und Tobias Beispiel zeigt, dass man diese Lücke wohl auch nicht schließen kann.
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:01 Do 25.02.2010 | | Autor: | gfm |
Ich habe mal gelernt [mm] (\rightarrow [/mm] "Transfinite Induktion"):
Sei [mm] \mathcal{M}\subseteq\mathcal{P}(\Omega) [/mm] und [mm] S(\mathcal{M}):=\{\cup_{i\in\IN}\ A_i:A_i\in\mathcal{M}\vee A_i^C\in\mathcal{M}\} [/mm] sowie [mm] \mathcal{M}_0:= \mathcal{M} \cup\emptyset [/mm] und [mm] \mathcal{C} [/mm] eine überabzählbare Ordinalzahl
dann gilt
[mm] \sigma(\mathcal{M})=\bigcup_{0\le c <\mathcal{C}}\mathcal{M}_c [/mm]
wobei
[mm] \mathcal{M}_c:=S(\bigcup_{0\le b
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:40 Do 25.02.2010 | | Autor: | gfm |
Folgt dann daraus, dass eine [mm] \sigma-Algebra [/mm] endweder endlich oder überabzählbar ist?
LG
gfm
Hab die Frage nirgendswo anders gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:13 Fr 26.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> Ich sehe zwar nicht, wie man das daraus folgern kann, aber
> die Aussage, dass jede Sigma-Algebra entweder endlich oder
> überabzählbar ist, stimmt, wie man unter
> ![[]](/images/popup.gif) http://www.math.uni-rostock.de/~evers/Verschiedenes/Kardinalit%E4t_von_Sigma_Algebra.pdf,
> Satz 3, nachlesen kann.
Ich kenne mich mit transfiniter Induktion wahrlich kaum aus - aber im obigen wird ja die [m]\sigma-[/m]Algebra per t.Ind. konstruiert. Kann man jetzt nicht entlang dieser Konstruktion die Behauptung mittels eben t.Ind. beweisen? ZB der Ind.anfang: Es gilt für alle endliche Vereinigungen [m]\nu(\bigcup A_i)\le \mu(\bigcup A_i)[/m]. Für i gegen uneldich also auch abzählbare Vereinigungen. Für Komplemente gilt es, da es eine Algebra ist. Mir scheint, dass in jedem Konstrukltionsschritt die Eignschaft "Algebra" erhalten bleibt, und damit in jedem (endlichen) Konstruktionsschrit die Ungleichung erhalten bleibt. Ob das im Limes auch geht, weiß/seh ich nicht.
Ich habe das auch deswegen als Frage gestellt, damit die Leute drauf aufmerksam werden. Leute, die transifnite Induktion beherrschen, vor! ;)
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:11 Fr 26.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> Ich denke aber, dass die Diskussion hier etwas an der
> Aufgabe vorbei geht. Zumindest kann ich mir nicht
> vorstellen, dass man solch einen "Aufwand" betreiben muss
> um diese zu lösen. Immerhin ist das Buch, aus dem die
> Aufgabe stammt, auch keine hochkomplexe Monographie sondern
> nur ein Lehrbuch für die Einführung in die Maß- und
> Integrationstheorie. Da kann ich mir schwer vorstellen,
> dass man den transfinite-Induktions-Werkzeugkasten aus dem
> Keller holen muss. 
Wobei in Wahrhheit das eigentlich sehr intuitiv ist, das war auch fast mein erster Gedanke: wenn ich aus dem Erzeugendnesystem konstruktiv die [m]\sigma-[/m]Algebra bastele, kann ich die Abschätzung hoffentlich weiterzeigen.
SEcki
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:21 Fr 26.02.2010 | | Autor: | tobit09 |
Hallo zusammen,
jetzt habe ich des Rätsels Lösung: Du bist hier auf einen Fehler im Bauer gestoßen!
Nach mehreren Fehlversuchen habe ich nun ein (hoffentlich) korrektes Gegenbeispiel:
Sei wieder [mm] $\Omega$ [/mm] eine beliebige überabzählbare Menge, [mm] $\mathcal{A}_0:=\{A\subset\Omega\;|\;A\mbox{ oder }A^c\mbox{ endlich}\}$ [/mm] und [mm] $\mathcal{A}:=\sigma(\mathcal{A}_0)$.
[/mm]
Sei [mm] $N\subset\Omega$ [/mm] eine beliebige abzählbar unendliche Teilmenge.
Wir erklären Maße [mm] $\mu$ [/mm] und [mm] $\nu$ [/mm] auf [mm] $\mathcal{A}$ [/mm] durch:
[mm] $\mu(A)=\begin{cases} \infty, & \mbox{falls } A \mbox{ überabzählbar} \\ 0, & \mbox{sonst}\end{cases}$
[/mm]
[mm] $\nu(A)=|A\cap [/mm] N|$.
Dann gilt [mm] $\mu(A)\le\nu(A)$ [/mm] für alle [mm] $A\in\mathcal{A}_0$.
[/mm]
Aber es gilt [mm] $N^c\in\mathcal{A}$ [/mm] und [mm] $\mu(N^c)=\infty>0=\nu(N^c)$.
[/mm]
Vielleicht hat Bauer nur an endliche oder sigma-endliche Maße gedacht. Und dafür scheint dir ja ein Beweis gelungen zu sein. Ich nehme mal an mithilfe von Bauers Approximationseigenschaft 5.7, oder?
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:35 Fr 26.02.2010 | | Autor: | tobit09 |
Danke für deine Lösung!
> Schritt 1: Sei [mm]\nu(\Omega) < \infty \ ( \Rightarrow \mu(\Omega) < \infty ) [/mm].
>
> Definiere [mm]\tau_0 := \nu - \mu[/mm]. Dann ist [mm]\tau_0[/mm] ein
> [mm]\sigma[/mm]-endliches Prämaß auf [mm]\mathcal{A}_0[/mm].
> Wegen dem Eindeutigkeitssatz 5.4 (bzw. 5.6) ex. genau eine
> Fortsetzung zu einem Maß [mm]\tau[/mm] auf [mm]\mathcal{A}[/mm].
> Wegen der Eindeutigkeit gilt: [mm]\forall A \in \mathcal{A}:\ \tau(A) = \nu(A) - \mu(A)[/mm].
> [mm]\Rightarrow\ \forall A \in \mathcal{A}:\ \mu(A) \le \nu(A)[/mm].
Leider halte ich deine Argumentation im 1. Schritt für fehlerhaft (oder ich habe sie nicht richtig verstanden). Warum sollte [mm]\forall A \in \mathcal{A}:\ \tau(A) = \nu(A) - \mu(A)[/mm] gelten? Schließlich ist ja, solange wir noch nicht [mm] $\nu(A)\ge\mu(A)$ [/mm] für alle [mm] $A\in\mathcal{A}$ [/mm] wissen, nicht klar, dass durch [mm] $A\mapsto\nu(A) [/mm] - [mm] \mu(A)$ [/mm] ein Maß auf [mm] $\mathcal{A}$ [/mm] erklärt wird.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:23 Sa 27.02.2010 | | Autor: | tobit09 |
> Sei [mm]\nu(\Omega) < \infty \ ( \Rightarrow \mu(\Omega) < \infty ) [/mm].
>
> Es sind in diesem Fall also [mm]\mu[/mm] und [mm]\nu[/mm] endliche Maße.
>
> Sei nun [mm]A \in \mathcal{A}[/mm].
> [mm]\Rightarrow \exists\ (M_n)_{n\in\IN}, (N_n)_{n\in\IN} \subseteq \mathcal{A}_0:\ \limes_{n\rightarrow\infty} \mu(M_n) = \mu(A), \limes_{n\rightarrow\infty} \nu(N_n) = \nu(A)[/mm]
(Kleinigkeit: Offensichtlich sollen die Folgen der [mm] $M_n$ [/mm] und [mm] $N_n$ [/mm] wie im Approximationssatz gewählt werden. Z.B. aus [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} \mu(M_n) [/mm] = [mm] \mu(A)$ [/mm] folgt dagegen noch nicht [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} \mu(M_n\Delta [/mm] A) = 0$.)
> oBdA: [mm]\forall\ n \in \IN:\ M_n, N_n \subseteq A[/mm]. Denn:
> [mm]\forall\ n \in \IN:\ M_n \cap A \subseteq A[/mm].
> Außerdem gilt für bel. Mengen C und D: [mm]|\ \mu(C) - \mu(D)\ | \le \mu(D\ \Delta\ C)[/mm].
>
> [mm]\Rightarrow 0 \le \mu(A) - \mu(M_n \cap A) \le \mu((M \cap A)\ \Delta\ A) = \mu(A \setminus M) \le \mu(M\ \Delta\ A) \to 0[/mm].
Das funktioniert so leider nicht: I.A. liegt [mm] $M_n\cap [/mm] A$ nicht in [mm] $\mathcal{A}_0$.
[/mm]
Wahrscheinlich war meine Idee, den Approximationssatz anzuwenden, irreführend. Zumindest habe ich noch keine Möglichkeit gefunden, damit die Behauptung zu zeigen. Wenn man aber den Beweis des Approximationssatzes durchgeht und die dortigen [mm] $A_n$ [/mm] dabei für beide Maße gleichzeitig passend wählt, sollte es möglich sein, mit leichter Abänderung des Beweises, an Mengen aus [mm] $\mathcal{A}_0$ [/mm] zu gelangen, die im Sinne beider Maße gleichzeitig unsere Ausgangsmenge [mm] $A\in\mathcal{A}_0$ [/mm] approximieren.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:56 So 28.02.2010 | | Autor: | AndyK |
Wie in meinem letzten Posting erwähnt wollte ich noch zeigen, dass das dort formulierte System [mm] $\mathcal{D}$ [/mm] ein Dynkinsystem ist.
(i) Es gilt dass [mm] $\Omega \in \mathcal{D}$, [/mm] da [mm] $\Omega \in \mathcal{A}_0 \subseteq \mathcal{D}.
[/mm]
(ii) Sei $D [mm] \in \mathcal{D}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \tau(D^c) [/mm] = [mm] \tau(\Omega) [/mm] - [mm] \tau(D)
[/mm]
= [mm] \nu(\Omega) [/mm] - [mm] \mu(\Omega) [/mm] - [mm] \nu(D) [/mm] + [mm] \mu(D)
[/mm]
= [mm] \nu(\Omega) [/mm] - [mm] \nu(D) [/mm] - [ [mm] \mu(\Omega) [/mm] - [mm] \mu(D) [/mm] ]
= [mm] \nu(D^c) -\mu(D^c)
[/mm]
[mm] \Rightarrow D^c \in \mathcal{D}$
[/mm]
(Man beachte, dass alle auftretenden Werte nach Voraussetzung endlich sind.)
(iii) Seien [mm] $(D_n)_{n\in\IN} \subseteq \mathcal{D}$ [/mm] p.w. disjunkt.
[mm] \Rightarrow \tau(\bigcup_{n\in\IN} D_n) [/mm] = [mm] \summe_{n\in\IN} \tau(D_n)
[/mm]
= [mm] \summe_{n\in\IN}{\nu(D_n) - \mu(D_n)}
[/mm]
= [mm] \summe_{n\in\IN} \nu(D_n) [/mm] - [mm] \summe_{n\in\IN} \mu(D_n)
[/mm]
= [mm] \nu(\bigcup_{n\in\IN} D_n) [/mm] - [mm] \mu(\bigcup_{n\in\IN} D_n)
[/mm]
[mm] \Rightarrow \bigcup_{n\in\IN} D_n \in \mathcal{D}$
[/mm]
(Man beachte, dass [mm] $\tau, \nu$ [/mm] und [mm] $\mu$ [/mm] Maße auf [mm] $\mathcal{A} [/mm] sind.)
Also ist [mm] $\mathcal{D}$ [/mm] ein Dynkinsystem.
Okay...wo ist der Fehler?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:04 Mo 01.03.2010 | | Autor: | tobit09 |
> Okay...wo ist der Fehler?
Nirgendwo! Und dein Beweis ist ungleich schöner als meine Idee! Ideenreicher und viel einfacher und kürzer in der Umsetzung!
(Bei meinem letzten Post hatte ich übersehen, dass du ja ein anders erklärtes Dynkinsystem betrachtest als am Anfang.)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:36 Fr 26.02.2010 | | Autor: | tobit09 |
> Ich habe das auch deswegen als Frage gestellt, damit die
> Leute drauf aufmerksam werden. Leute, die transifnite
> Induktion beherrschen, vor! ;)
Hätte nicht gedacht, dass meine Kenntnisse über Ordinalzahlen aus einer Mengenlehre-Vorlesung mal für eine Frage aus der Maß- und Integrationstheorie interessant sein könnten...
> Ich kenne mich mit transfiniter Induktion wahrlich kaum aus
> - aber im obigen wird ja die [m]\sigma-[/m]Algebra per t.Ind.
> konstruiert. Kann man jetzt nicht entlang dieser
> Konstruktion die Behauptung mittels eben t.Ind. beweisen?
> ZB der Ind.anfang: Es gilt für alle endliche Vereinigungen
> [m]\nu(\bigcup A_i)\le \mu(\bigcup A_i)[/m]. Für i gegen uneldich
> also auch abzählbare Vereinigungen. Für Komplemente gilt
> es, da es eine Algebra ist. Mir scheint, dass in jedem
> Konstrukltionsschritt die Eignschaft "Algebra" erhalten
> bleibt, und damit in jedem (endlichen) Konstruktionsschrit
> die Ungleichung erhalten bleibt. Ob das im Limes auch geht,
> weiß/seh ich nicht.
Wären alle [mm] $\mathcal{M}_c$ [/mm] Algebren, würde das tatsächlich mit transfiniter Induktion hinhauen. Aber schon [mm] $\mathcal{M}_1$ [/mm] ist i.A. keine Algebra, wie man sich ähnlich zu dem Gegenbeispiel hier mit [mm] $\mathcal{M}_1$ [/mm] anstelle von [mm] $\sigma(\mathcal{A}_0)$ [/mm] überlegen kann.
Die Untersuchung deiner Idee war übrigens der Schlüssel für die Idee, wo ich mit meinem Gegenbeispiel zur Behauptung der Aufgabe ansetzen musste. Danke für diesen Impuls!
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