Masse Kreiskegel < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:56 Do 30.08.2012 | | Autor: | heinze |
| Aufgabe | Berechne die Masse des zur z-Achse symmetrischen Kreiskegels [mm] K\subset \IR^3 [/mm] mit Grundkreisradius a und Höhe h mit der Massedichte [mm] p:K\to \IR, (x,y,z)\mapsto y^2+z^2
[/mm]
Tipp: Verwenden sie Zylinderkoordinaten! |
Könnt ihr mir erklären wie man das macht? Noch besser wie man auf folgendes Ergebnis kommt?
[mm] m(K)=\bruch{\pi}{60}a^2h[2h^2+3a^2] [/mm]
LG
heinze
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Hallo heinze,
> Berechne die Masse des zur z-Achse symmetrischen
> Kreiskegels [mm]K\subset \IR^3[/mm] mit Grundkreisradius a und Höhe
> h mit der Massedichte [mm]p:K\to \IR, (x,y,z)\mapsto y^2+z^2[/mm]
>
> Tipp: Verwenden sie Zylinderkoordinaten!
> Könnt ihr mir erklären wie man das macht? Noch besser
> wie man auf folgendes Ergebnis kommt?
>
> [mm]m(K)=\bruch{\pi}{60}a^2h[2h^2+3a^2][/mm]
Man stellt ein Integral auf, das die Aufgabe gut modelliert. Hier empfiehlt sich ein Dreifachintegral...
Vielleicht stellst Du das erstmal auf, dann sehen wir weiter.
Irgendetwas zu dem Thema werdet Ihr ja gemacht haben, sonst wäre die Aufgabe sinnlos.
Denk an die Funktionaldeterminante.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:11 Do 30.08.2012 | | Autor: | heinze |
Nein, leider wurde kaum etwas zu diesem Thema gemacht. Da liegt der Haken.
Richtig, ich benötige ein Dreifachintegral. Dazu muss ich die Zylinderkoordinaten nutzen und die funktionaldeterminante bilden:
[mm] D_\phi=\pmat{ cost & -rsint & 0 \\ sint & rcost & 0 \\ 0 & 0 & 1 }
[/mm]
det [mm] D_\phi= [/mm] r
Da die Funktion [mm] y^2+z^2 [/mm] gegeben war muss ich das Integral von
[mm] r*(r^2sin^2t+z^2) [/mm] drdtdz bilden.
Ich weiß allerdings nicht wie ich auf die Integrationsgrenzen komme.
Dreifachintegral muss doch angewandt werden weil ich 3 Koordinaten habe oder woher kommt das Dreifachintegral?
LG
heinze
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> Richtig, ich benötige ein Dreifachintegral. Dazu muss ich
> die Zylinderkoordinaten nutzen und die
> Funktionaldeterminante bilden:
>
> [mm]D_\phi=\pmat{ cost & -rsint & 0 \\ sint & rcost & 0 \\ 0 & 0 & 1 }[/mm]
>
> det [mm]D_\phi=[/mm] r
>
> Da die Funktion [mm]y^2+z^2[/mm] gegeben war muss ich das Integral
> von
> [mm]r*(r^2sin^2t+z^2)[/mm] drdtdz bilden.
>
> Ich weiß allerdings nicht wie ich auf die
> Integrationsgrenzen komme.
> Dreifachintegral muss doch angewandt werden weil ich 3
> Koordinaten habe ...
Ja; es soll doch über das Volumen des Kegels integriert
werden, und dieses ist dreidimensional.
Für die Bestimmung der Integrationsgrenzen hat dir
MontBlanc eigentlich schon alles Nötige gesagt.
Zeichne dir in einem r-z-Koordinatensystem die
Mantellinie m ein, welche bei Drehung um die z-Achse
den Kegelmantel erzeugt.
Für jedes gegebene z muss die Integration nach r
von r=0 an so weit laufen, bis der Punkt (r|z) diese
Mantellinie erreicht.
Falls dir der Hinweis auf die "Strahlensätze" noch nicht
geholfen hat, kannst du auch mit der Gleichung der
Geraden m im r-z-Koordinatensystem arbeiten.
LG Al-Chw.
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Hallo,
als Ansatz bietet sich etwas in der folgenden Form an:
Sei $ [mm] \rho_{K}(y,z) [/mm] $ die gegebene Massedichte und $ M(K) $ die Masse des Kegels, dann ist $ [mm] \mathrm{d}M(K)=\rho_{K}(y,z)\mathrm{d}V [/mm] $. Das kannst du jetzt relativ simpel integrieren, vorausgesetzt, du machst Dir klar, welche Integrationsgrenzen Du zu benutzen hast! Dazu solltest Du dir eventuell mal ein Schaubild ein z-symmetrischen Kegels mit Radius $ a $ und Höhe $ h $ anschauen, damit sollte recht schnell klar werden, wie die Grenzen auszusehen haben.
LG
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:25 Do 30.08.2012 | | Autor: | heinze |
Eine Skizze habe ich angefertigt aber mit den Integrationgrenzen komme ich nicht klar. Wie erwähnt, zu partieller Integration habe ich kaum Vorwissen. a, z und h spielen für die Grenzen eine Rolle aber wie genau diese gebildet werden müssen, da kann ich nicht mal raten.
LG
heinze
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Hallo,
die Grenzen für den Winkel $ t $ und $ z $ sind easy, das kannst du selbst aus Deiner Zeichnung ablesen. Die Grenzen für den Radius sind etwas komplizierter, aber auch machbar. Denk mal an die Strahlensätze und versuche einen Zusammenhang zwischen Radius und Höhe des Kegels zu finden. Du wirst sehen, dass zwischen den beiden ein linearer Zusammenhang besteht. Das siehst du am Besten, wenn Du Dir einen Querschnitt des Kegels mit Höhe $ h $ und Radius $ a $ zeichnest. In diesem Dreieck (so sollte der Querschnitt jedenfalls aussehen...) zeichnest Du Dir nun eine zweite Linie parallel zu zum Radius in Höhe z ein. Jetzt lässt Du die Strahlensätze darauf los und du bist so gut wie durch.
Kommst Du damit weiter ?
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:27 Mo 03.09.2012 | | Autor: | heinze |
[mm] m(K)=\integral_{K}^{}{p(x,y,z) d(x,y,z)}=\integral_{0}^{h}{}\integral_{0}^{2\pi}{}\integral_{0}^{\bruch{a}{h}(h-z)}{(r*r^2sin^2t+z^2) drdtdz}
[/mm]
Die Integratuonsgrenzen müssten nun stimmen,damit kam ich immerhin auf das Ergebnis der Musterlösung!
Danke für die Hinweise! Mit etwas Nachdenken müsste das nun passen.
Allerdings komme ich mit den Integrationsgrenzen noch nicht ganz zurecht, wie bei folgendem Beispiel:
Berechne die Masse des Kreiszylinders (r>0,h>0) der Funktion 2x+y und verwende Zylinderkoordinaten!
[mm] m(K)=\integral_{K}^{}{p(x,y,z) d(x,y,z)}=\integral_{0}^{h}{}\integral_{0}^{2\pi}{}\integral_{0}^{?}
[/mm]
Hier fehlt mir wieder das letzte Integral. Kann ich das wie oben bilden auch wenn es kein z-achsensymmetrischer Kreiszylinder ist?Oder wie geht das in dem Fall?
LG
heinze
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Hallo,
bei einem Zylinder ist das doch einfach, der Radius verändert sich ja nicht mit der Höhe.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:26 Mo 03.09.2012 | | Autor: | heinze |
[mm] m(K)=\integral_{K}^{}{p(x,y,z) d(x,y,z)}=\integral_{0}^{h}{}\integral_{0}^{2\pi}{}\integral_{0}^{2\pi} [/mm]
Gedanklich war ich beim Kreiskegel ;) Habe ich ich jetzt das richtige Dreifachintegral zum weiterrechnen?
Noch eine Frage zum Kreiskegel: Ich hatte das Beispiel mit symmetrie an der z Achse. Angenommen es gibt keine angaben zur Symmetrie, bleibt das Integral trotzdem identisch wie bei vorheriger Aufgabe?
LG
heinze
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Hallo heinze,
> [mm]m(K)=\integral_{K}^{}{p(x,y,z) d(x,y,z)}=\integral_{0}^{h}{}\integral_{0}^{2\pi}{}\integral_{0}^{2\pi}[/mm]
>
> Gedanklich war ich beim Kreiskegel ;) Habe ich ich jetzt
> das richtige Dreifachintegral zum weiterrechnen?
Warum gehen die Grenzen zweimal von 0 bis [mm] 2\pi? [/mm] In Zylinderkoordinaten hast Du nur einen Winkel. Außerdem fehlt hier auch noch die Koordinatentransformation (samt Funktionaldeterminante).
Schreib das lieber mal vollständig auf.
> Noch eine Frage zum Kreiskegel: Ich hatte das Beispiel mit
> symmetrie an der z Achse. Angenommen es gibt keine angaben
> zur Symmetrie, bleibt das Integral trotzdem identisch wie
> bei vorheriger Aufgabe?
Na, die Symmetrieachse des Kegels muss man für die Integration wissen. Wenn sie nicht gegeben ist, würde man sie wohl selbst so festlegen wie in Deiner Aufgabe; alles andere ist ziemlich unpraktisch.
Wenn aber die Dichtefunktion als [mm] \rho(x,y,z) [/mm] gegeben ist, verändert sich das Integral natürlich je nach Lage der Kegelachse.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:52 Mo 03.09.2012 | | Autor: | heinze |
Zylinderkorrdinaten [mm] (r,t,z)\mapsto \vektor{rcost \\ rsint \\ z }det D_\phi=r
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{h}{}\integral_{0}^{2\pi}{}\integral_{?}^{?}{r*(2rcost+rsint)drdtdz}
[/mm]
Mir fehlt nun das dritte Integral noch.
LG
heinze
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Hallo nochmal,
> Zylinderkorrdinaten [mm](r,t,z)\mapsto \vektor{rcost \\
rsint \\
z }det D_\phi=r[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]\integral_{0}^{h}{}\integral_{0}^{2\pi}{}\integral_{?}^{?}{r*(2rcost+rsint)drdtdz}[/mm]
>
> Mir fehlt nun das dritte Integral noch.
Gings nicht um einen Zylinder? Wenn der den Radius R hat, dann sind die Integrationsgrenzen natürlich 0 bis R.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:00 Mo 03.09.2012 | | Autor: | heinze |
Es ging um einen Kreiszylinder.Richtig!
Nun bin ich aber absolut irritiert was die Grenzen des Dreifachintegral betrifft. Sind alle 3 Intergralgrenzen von 0 bis R? Muss nicht mindestens eine davon [mm] 2\pi [/mm] sein?
LG
heinze
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:06 Mo 03.09.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo heinze,
> Es ging um einen Kreiszylinder.Richtig!
> Nun bin ich aber absolut irritiert was die Grenzen des
> Dreifachintegral betrifft. Sind alle 3 Intergralgrenzen von
> 0 bis R?
Nein. Nur die des letzten. Die anderen beiden hattest Du ja schon.
Gruß,
Wolfgang
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