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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:49 Mo 14.11.2011 | | Autor: | jebote |
| Aufgabe 1 | Satz 2.12 sagt, dass zwei Maße [mm] \mu [/mm] und [mm] \nu [/mm] auf einem messbaren Raum [mm] (X,\mathcal{F}) [/mm] bereits dann übereinstimmen, wenn sie auf einem [mm] \cap [/mm] -stabilen Erzeuger [mm] \mathcal{G} [/mm] der [mm] \sigma [/mm] -Algebra [mm] \mathcal{F} [/mm] übereinstimmen, bei dem es zudem [mm] G_{n} \in \mathcal{G}, [/mm] n [mm] \in \IN, [/mm] mit [mm] \bigcup_{}^{} G_{n} [/mm] = X und [mm] \mu (G_{n}) [/mm] < [mm] \infty [/mm] für jedes n [mm] \in \IN [/mm] gibt.
Zeigen Sie, dass schon für endliche Maße [mm] \mu [/mm] und [mm] \nu
[/mm]
1. die Voraussetzung der Durchschnittsstabilität an [mm] \mathcal{G} [/mm] nicht verzichtbar ist
2. auf die Existenz der Folge [mm] (G_{n}) [/mm] ebenfalls nicht verzichtet werden kann.
Hinweis: Für 1. betrachte etwa [mm] \mathcal{G} [/mm] = [mm] \{F, G\} [/mm] mit F [mm] \cup [/mm] G = X, für 2. etwa einen geeigneten Erzeuger [mm] \mathcal{G} [/mm] für ein [mm] \mathcal{F} [/mm] wie aus Aufgabe 6 [mm] (\mathcal{F} [/mm] = [mm] \{F \subset \IR^{N}: F \mbox{abzählbar oder } F^{c} \mbox{abzählbar}\}) [/mm] |
| Aufgabe 2 | Es sei X = [0,1]. Zeigen Sie: Es gibt kein Maß [mm] \mu [/mm] auf [mm] (X,\mathcal{B} [/mm] (X)) mit [mm] \mu [/mm] (X)=1, welches nur die Werte 0 und 1 annimt, und welches auf allen endlichen Teilmengen von X verschwindet.
Welche Maße auf [mm] (X,\mathcal{B} [/mm] (X)) nehmen nur die Werte 0 und 1 an?
Hinweis: Indirekt, durch Konstruktion einer fallenden Folge abgeschlossener Teilintervalle [mm] I_{n} [/mm] der Länge [mm] 2^{-n} [/mm] mit [mm] \mu (I_{n}) [/mm] = 1 über sukzessive Halbierung von [0,1]. |
Zu 1.) Soll ich dort annehmen, dass die Durchschnittstabilität und die entsprechende Folge nicht gegeben sind, und dann zum Widerspruch führen?
Gibt es etwas zu beachten noch?
Zu 2.)Ehrlich gesagt habe ich hier keine Ahnung wie ich an die Aufgabe rangehen soll.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:03 Mi 16.11.2011 | | Autor: | jebote |
Hat niemand eine Idee für mich?
Grüße,
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> Satz 2.12 sagt, dass zwei Maße [mm]\mu[/mm] und [mm]\nu[/mm] auf einem
> messbaren Raum [mm](X,\mathcal{F})[/mm] bereits dann
> übereinstimmen, wenn sie auf einem [mm]\cap[/mm] -stabilen Erzeuger
> [mm]\mathcal{G}[/mm] der [mm]\sigma[/mm] -Algebra [mm]\mathcal{F}[/mm]
> übereinstimmen, bei dem es zudem [mm]G_{n} \in \mathcal{G},[/mm] n
> [mm]\in \IN,[/mm] mit [mm]\bigcup_{}^{} G_{n}[/mm] = X und [mm]\mu (G_{n})[/mm] <
> [mm]\infty[/mm] für jedes n [mm]\in \IN[/mm] gibt.
> Zeigen Sie, dass schon für endliche Maße [mm]\mu[/mm] und [mm]\nu[/mm]
> 1. die Voraussetzung der Durchschnittsstabilität an
> [mm]\mathcal{G}[/mm] nicht verzichtbar ist
> 2. auf die Existenz der Folge [mm](G_{n})[/mm] ebenfalls nicht
> verzichtet werden kann.
> Hinweis: Für 1. betrachte etwa [mm]\mathcal{G}[/mm] = [mm]\{F, G\}[/mm] mit
> F [mm]\cup[/mm] G = X, für 2. etwa einen geeigneten Erzeuger
> [mm]\mathcal{G}[/mm] für ein [mm]\mathcal{F}[/mm] wie aus Aufgabe 6
> [mm](\mathcal{F}[/mm] = [mm]\{F \subset \IR^{N}: F \mbox{abzählbar oder } F^{c} \mbox{abzählbar}\})[/mm]
>
> Es sei X = [0,1]. Zeigen Sie: Es gibt kein Maß [mm]\mu[/mm] auf
> [mm](X,\mathcal{B}[/mm] (X)) mit [mm]\mu[/mm] (X)=1, welches nur die Werte 0
> und 1 annimt, und welches auf allen endlichen Teilmengen
> von X verschwindet.
> Welche Maße auf [mm](X,\mathcal{B}[/mm] (X)) nehmen nur die Werte
> 0 und 1 an?
> Hinweis: Indirekt, durch Konstruktion einer fallenden
> Folge abgeschlossener Teilintervalle [mm]I_{n}[/mm] der Länge
> [mm]2^{-n}[/mm] mit [mm]\mu (I_{n})[/mm] = 1 über sukzessive Halbierung von
> [0,1].
> Zu 1.) Soll ich dort annehmen, dass die
> Durchschnittstabilität und die entsprechende Folge nicht
> gegeben sind, und dann zum Widerspruch führen?
> Gibt es etwas zu beachten noch?
Hier geht es ja nur um ein Gegenbeispiel.
Mit dem gegebenen Hinweis musst du nur begründen, dass ein Maß auf der von [mm] \mathcal{G} [/mm] erzeugten [mm] \sigma-Algebra [/mm] durch [mm] \mu(F) [/mm] und [mm] \mu(G) [/mm] noch nicht eindeutig festgelegt ist.
>
> Zu 2.)Ehrlich gesagt habe ich hier keine Ahnung wie ich an
> die Aufgabe rangehen soll.
Es ist [mm] \mu([0,\frac{1}{2}])+\mu([\frac{1}{2},1])=\mu([0,1])=1.
[/mm]
Da [mm] \mu [/mm] nur die Werte 0 und 1 annimmt, muss eines der beiden Teilintervalle Maß 1 haben. Dieses unterteilst du wieder in zwei Hälften, von denen eine wiederum Maß 1 haben muss usw.
Am Ende bekommst du den Durchschnitt einer fallenden Folge von Intervallen der Länge [mm] 2^{-n}, [/mm] die alle Maß 1 haben ....
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:26 Fr 18.11.2011 | | Autor: | jebote |
Danke für deine Hilfe. 
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