Maß und Mengensystem < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Für jedes $ [mm] n=1,2,\ldots$ [/mm] und jede Folge $ [mm] A_1,\ldots,A_n\in\mathcal{F}$ [/mm] gilt
[mm] $\displaystyle P\bigl(\bigcup\limits_{i=1}^n A_i\bigr)=\sum_{i=1}^n (-1)^{i-1}\sum\limits_{1\le k_1<\ldots |
Ich raff net ganz wie die Summe hier aussehen soll wg den Summationsindizes. Sollen die [mm] k_{i} [/mm] 's eine Teilmenge von der Menge {1,...,n} darstellen?
Und wie läuft das mit der Austauschbarkeit von Ereignissen?
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Hallo und guten Morgen,
> Für jedes [mm]n=1,2,\ldots[/mm] und jede Folge
> [mm]A_1,\ldots,A_n\in\mathcal{F}[/mm] gilt
>
> [mm]\displaystyle P\bigl(\bigcup\limits_{i=1}^n A_i\bigr)=\sum_{i=1}^n (-1)^{i-1}\sum\limits_{1\le k_1<\ldots
>
gemeint ist die Summe über alle geordneten Tupel [mm] (k_1,\ldots k_i) [/mm] mit der Eigenschaft [mm] 1\leq k_1 <\ldots [/mm] < [mm] k_i\leq [/mm] n,
also zB für n=3 und i= 2 die Tupel
(1,2)
(1,3)
(2,3)
und zB für n=4 und i=3 die Tupel
(1,2,3)
(1,2,4)
(1,3,4)
(2,3,4)
Gruss,
Mathias
> Ich raff net ganz wie die Summe hier aussehen soll wg den
> Summationsindizes. Sollen die [mm]k_{i}[/mm] 's eine Teilmenge von
> der Menge {1,...,n} darstellen?
>
> Und wie läuft das mit der Austauschbarkeit von Ereignissen?
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| Aufgabe | | [mm] $\displaystyle P(A_{n+1})-\sum_{i=1}^n (-1)^{i-1}\sum\limits_{1\le k_1<\ldots
[mm] $\displaystyle \hspace{3cm} +\sum_{i=1}^n (-1)^{i-1}\sum\limits_{1\le k_1<\ldots
[mm] $\displaystyle [/mm] =$ $ [mm] \displaystyle \sum_{i=1}^{n+1} (-1)^{i-1}\sum\limits_{1\le k_1<\ldots |
wie rechnet man das?
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Hallo nochmal,
was heisst ''wie rechnet man das'' ? Ist die Aufgabe diejenige, die Gleichung zu beweisen ? Nun, das ist nicht schwer: Die Summe rechts
lässt sich ja zerlegen in eine Summe, in der das [mm] A_{n+1} [/mm] vorkommt und eine Summe, in der es nicht vorkommt, richtig ? Und nichts anderes steht auf der linken Seite.
Gruss,
Mathias
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:35 Do 14.09.2006 | | Autor: | DirkG |
Nochmal: Gehe von der Summe rechts aus, und trenne all die Wahrscheinlichkeiten ab, wo [mm]A_{n+1}[/mm] als Bestandteil der Durchschnitte auftaucht - da heißt es natürlich sorgfältig arbeiten, indem man die Indextupel [mm](k_1,k_2,\ldots,k_i)[/mm] in die Fälle [mm]k_i=n+1[/mm] und [mm]k_i\leq n[/mm] unterteilt.
P.S.: Der Threadtitel "Beweis der Siebformel" wäre passender gewesen. 
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ok, jetzt nach den hinweisen bin ich mittlerweile auch auf die gleichheit gekommen. vielen dank
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:12 Do 14.09.2006 | | Autor: | JannisCel |
danke für den support
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 So 17.09.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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