Maß nicht subadditiv < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:14 Do 10.11.2011 | | Autor: | Teufel |
| Aufgabe | Für $A [mm] \subseteq [0,1]^2$ [/mm] definiere
[mm] \mu(A)=inf\{\summe_{i=1}^{n}m(R_i)| n \in \IN, R_i \in G, A \subseteq \bigcup_{i=1}^{n}R_i\}, [/mm] wobei G die Menge der achsenparallelen Rechtecke ist und [mm] $m((a,b]\times [/mm] (c,d])=(b-a)*(d-c)$.
Zeige: [mm] \mu [/mm] ist nicht subadditiv.
Hinweis: Betrachte die Menge [mm] $M=[0,1]^2 \cap \IQ^2$ [/mm] |
Hi!
Mir fällt nicht ein, wie ich das zeigen kann. Ich weiß nur, dass
[mm] $\mu(\{x\})=0$ [/mm] für alle Punkte x
$0 [mm] \le \mu(M) \le [/mm] 1$
Zeigen muss ich ja, dass es [mm] A_i \in \mathcal{P}([0,1]^2) [/mm] gibt, sodass
[mm] \mu(\bigcup_{i=1}^{n}A_i)>\summe_{i=1}^{n}\mu(A_i) [/mm] gilt für ein n.
Aber mir will nicht einfallen, wie solche [mm] A_i [/mm] aussehen sollen.
Kann mir jemand einen Tipp geben?
Danke.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:12 Fr 11.11.2011 | | Autor: | donquijote |
Zunächst einmal fehlt bei der Definition von [mm] \mu(A) [/mm] vermutlich ein Infimum.
Kann es sein, dass es hier um [mm] \sigma-Subadditivität [/mm] statt endliche Subadditivität geht?
Dann ist mit der oben definierten Menge M [mm] \mu(M)=1
[/mm]
(die Rechtecke müssen ganz [0,1] überdecken und haben damit in der Summe Maß [mm] \ge [/mm] 1),
während M abzählbare Vereinigung von Punkten mit Maß 0 ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:17 Fr 11.11.2011 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Genau, das inf fehlte, sorry. Die endliche Subadditivität stimmt aber.
Ok, also [mm] \mu(M)=1, [/mm] das ergibt Sinn. Hm ja, wenn es sich um [mm] \sigma-Subadditivität [/mm] handeln würde, würde ich M als disjunkte Vereinigung seiner Punkte (einelementige Mengen) schreiben, die alle Maß 0 haben. Aber leider geht das hier nicht.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:38 Fr 11.11.2011 | | Autor: | donquijote |
> Hi!
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> Genau, das inf fehlte, sorry. Die endliche Subadditivität
> stimmt aber.
> Ok, also [mm]\mu(M)=1,[/mm] das ergibt Sinn. Hm ja, wenn es sich um
> [mm]\sigma-Subadditivität[/mm] handeln würde, würde ich M als
> disjunkte Vereinigung seiner Punkte (einelementige Mengen)
> schreiben, die alle Maß 0 haben. Aber leider geht das hier
> nicht.
>
>
Es würde mich aber ehrlich gesagt sehr wundern, wenn dein [mm] \mu [/mm] nicht endlich subadditiv wäre. Denn:
Für [mm] A=\cup_{i=1}^nA_i [/mm] können endliche Überdeckungen der einzelnen [mm] A_i [/mm] zu einer endlichen Überdeckung von A zusammengefügt werden. Die Subadditivität müsste dann durch Betrachtung des Infimums folgen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:00 Fr 11.11.2011 | | Autor: | Teufel |
Mich wundert das auch. Ich kann mir auch nicht vorstellen, dass es nicht subadditiv sein sollte. Aber die Aufgabe ist anscheinend sehr beliebt (im Internet habe ich noch 2 andere Übungsblätter mit der Aufgabe gefunden), von daher glaube ich schon, dass das auch so mit der endlichen Subadditivität stimmt.
Na ja, ich bleib dran, vielleicht fällt mir ja noch etwas ein.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:21 Di 15.11.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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