Maß konvergenter Funktion < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [mm] $(X,\mathcal{A},\mu)$ [/mm] sei ein endlicher Maßraum, [mm] $\alpha [/mm] > 0$ und für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] sei [mm] $f_n [/mm] : X -> [mm] \IC$ [/mm] messbar und [mm] $|f_n| [/mm] <= [mm] \alpha [/mm] \ [mm] \mu$-fast [/mm] überall. Z.z.: Konvergiert [mm] $f_n [/mm] \ [mm] \mu$-fast [/mm] überall gegen eine messbare Funktion $f : X -> [mm] \IC$ [/mm] dann gilt [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} \integral_{X}^{}{|f_n - f| d\mu} [/mm] = 0$ |
Meine Idee war jetzt folgende: Konvergenz bedeutet in dem Fall ja gerade, dass [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} |f_n [/mm] - f| = 0$. Da nun [mm] $|f_n| [/mm] <= [mm] \alpha$ [/mm] werden die [mm] $f_n$ [/mm] durch eine messbare Funktion beschränkt und sind damit selbst messbar (finde allerdings den genauen Satz dazu nicht mehr, welcher wars?) und mit dem Satz von Beppo-Levi weiß ich dann, dass [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} \integral_{X}^{}{f_n d\mu} [/mm] = [mm] \integral_{X}^{}{f d\mu}$. [/mm] Somit kann ich [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} \integral_{X}^{}{|f_n - f| d\mu} [/mm] = 0$ umschreiben zu [mm] $\integral_{X}^{}{|f - f| d\mu} [/mm] = 0$ und die Behauptung ist offensichtlich.
Ist das so richtig?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:02 Fr 09.12.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
die [mm] $f_n$ [/mm] sind gemäß Angabe meßbar. Daß sie durch eine meßbare Funktion beschränkt sind, reicht nicht. [mm] ($g(x)=1_V(x)$, [/mm] wobei V die Vitalimenge ist, ist nicht meßbar, weil V nicht meßbar ist)
Du weißt, daß [mm] $|f_n|$ [/mm] fast überall beschränkt ist. Du hast aber noch nicht begründet, daß auch f beschränkt ist, und damit [mm] $|f_n-f|$ [/mm] eine integrierbare Majorante hat.
ciao
Stefan
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> Du weißt, daß [mm]|f_n|[/mm] fast überall beschränkt ist. Du
> hast aber noch nicht begründet, daß auch f beschränkt
> ist, und damit [mm]|f_n-f|[/mm] eine integrierbare Majorante hat.
Reicht die Beschränktheit hier denn aus? Wenn ich zeige, dass f beschränkt ist (ich nehme mal an von g(x) = [mm] \alpha), [/mm] dann ist f doch nicht zwangsläufig integrierbar, denn z.B. [mm] \integral_{\IR}^{}{g(x) d\mu} [/mm] = [mm] \infty
[/mm]
Wie man die Beschränktheit von f zeigt, wüsste ich jetzt sowieso nicht sicher. Ich kann mir vorstellen, dass es einen Satz gibt, der aus der Beschränktheit der Funktionenfolge auch die Beschränktheit von f folgert.
Die andere Möglichkeit wäre, dass man aus [mm] |f_n| [/mm] < [mm] \alpha [/mm] auch |f| < [mm] \alpha [/mm] folgern kann und daraus die Beschränktheit erhält.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:46 Fr 09.12.2011 | | Autor: | Blech |
> denn z.B. $ [mm] \integral_{\IR}^{}{g(x) d\mu} [/mm] $ = $ [mm] \infty [/mm] $
[mm] $\mu$ [/mm] ist nach Voraussetzung endlich. Jedenfalls nehm ich an, daß das mit "endlicher Maßraum" gemeint ist.
> Die andere Möglichkeit wäre, dass man aus $ [mm] |f_n| [/mm] $ < $ [mm] \alpha [/mm] $ auch |f| < $ [mm] \alpha [/mm] $ folgern kann und daraus die Beschränktheit erhält.
$|f| [mm] \leq \alpha [/mm] $
ciao
Stefan
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> [mm]\mu[/mm] ist nach Voraussetzung endlich. Jedenfalls nehm ich an,
> daß das mit "endlicher Maßraum" gemeint ist.
Ich bin überzeugt 
> [mm]|f| \leq \alpha[/mm]
Wie heißt der entsprechende Satz oder müsste ich das dann noch beweisen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 Mo 09.01.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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