Maß, integral < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:18 Do 30.10.2014 | | Autor: | knowhow |
| Aufgabe | Sei f:X [mm] \rightarrow [0,\infty] [/mm] messba bezüglich eines Maßes [mm] \mu. [/mm] Für t>0 zeige:
[mm] \mu(\{f \ge t\}) \le t^{-1}\integral_{X} fd\mu [/mm] |
hallo,
kann mir da jemand einen tipp geben was ich da machen muss.
in der vorlesung haben wir folg def.
[mm] \integral_{X}f(x)d\mu(x)=sup \integral_{X}s(x)d\mu(x) [/mm] wobei [mm] s\le [/mm] f. kann man es anwenden? wie kann ich ein maß dann mit einen integral abschätzen?kann mir jemand weiterhelfen, weiß leider nicht wirklich weiter.
dankeschön im voraus
gruß,
knowhow
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:14 Fr 31.10.2014 | | Autor: | tobit09 |
Hallo knowhow!
> Sei f:X [mm]\rightarrow [0,\infty][/mm] messba bezüglich eines
> Maßes [mm]\mu.[/mm] Für t>0 zeige:
>
> [mm]\mu(\{f \ge t\}) \le t^{-1}\integral_{X} fd\mu[/mm]
> kann mir da jemand einen tipp geben was ich da machen muss.
> in der vorlesung haben wir folg def.
>
> [mm]\integral_{X}f(x)d\mu(x)=sup \integral_{X}s(x)d\mu(x)[/mm] wobei
> [mm]s\le[/mm] f.
Mit $s$ was für eine Funktion?
> kann man es anwenden?
Das braucht man hier je nach bekannten Eigenschaften des Integrals nicht explizit.
> wie kann ich ein maß dann
> mit einen integral abschätzen?
Stichworte:
[mm] $\mu(A)=\integral_X 1_A\;dP=\integral_Xt^{-1}*t*1_A\;dP=t^{-1}\integral_X t*1_A\;dP
[/mm]
(Welche Eigenschaft des Integrals habe ich im letzten Schritt benutzt?), Monotonie des Integrals.
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:32 So 02.11.2014 | | Autor: | knowhow |
nochmals vielen dank. hat mir wirklich weitergeholfen, da es nicht in unseren skript stand, dass das Integral der charakt. Fkt als Maß schreiben kann.
als ich habe dann mit hilfe von deinen Hinweis folg. gemacht:
Sei [mm] A={f\ge t} [/mm] dann
[mm] \mu(A)=\integral_{X}1_A d\mu=\integral_{X}t^{-1}t\cdot 1_A d\mu=t^{-1}\integral t\cdot 1_A d\mu \le t^{-1} \integral_{X} f\cdot 1_A d\mu=t^{-1}\integral_{X}f d\mu
[/mm]
ist es soweit richtig? ist damit der Beiweis fertig?
kann man [mm] t^{-1} [/mm] herausziehern aus dem Integral weil es eine Konstante ist? aber das kann ja auch nciht sein, da t auch eine fkt wie f ist, oder?
Dankeschön im voraus.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:51 So 02.11.2014 | | Autor: | tobit09 |
> nochmals vielen dank. hat mir wirklich weitergeholfen, da
> es nicht in unseren skript stand, dass das Integral der
> charakt. Fkt als Maß schreiben kann.
Das sollte aus eurer Definition des Integrals für "einfachere" Funktionen als beliebige nichtnegative messbare numerische Funktionen folgen.
> als ich habe dann mit hilfe von deinen Hinweis folg.
> gemacht:
> Sei [mm]A=\{f\ge t\}[/mm]
Guter Ansatz!
> dann
>
> [mm]\mu(A)=\integral_{X}1_A d\mu=\integral_{X}t^{-1}t\cdot 1_A d\mu=t^{-1}\integral t\cdot 1_A d\mu \le t^{-1} \integral_{X} f\cdot 1_A d\mu=t^{-1}\integral_{X}f d\mu[/mm]
Das Zeichen [mm] $\le$ [/mm] gilt wegen [mm] $t*1_A\le f*1_A$ [/mm] (Warum?) und der Monotonie des Integrals.
Das letzte Gleichheitszeichen ist im Allgemeinen falsch.
Du kannst es aber durch [mm] $\le$ [/mm] ersetzen.
Warum? (Hier geht u.a. [mm] $f\ge [/mm] 0$ ein.)
> ist damit der Beiweis fertig?
Bis auf die obigen Hinweise ja.
> kann man [mm]t^{-1}[/mm] herausziehern aus dem Integral weil es
> eine Konstante ist?
Ja, nach der Linearität des Integrals.
> aber das kann ja auch nciht sein, da t
> auch eine fkt wie f ist, oder?
Nein, $t$ ist eine reelle Zahl $>0$.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:08 So 02.11.2014 | | Autor: | knowhow |
danke nochmals für kontrollieren.
das 1. ungleichzeichen ensteht aufgrund f [mm] \ge [/mm] t.
aber ich verstehe nicht warum beim letzten = ein [mm] \le [/mm] hinkommt. Was bewirkt diese charaktische funktion bzw. was ist diese charakteristische Funktion? darunter verstehe ich eine funktion die nur die werte 1 und 0 annimmt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:07 So 02.11.2014 | | Autor: | tobit09 |
> danke nochmals für kontrollieren.
> das 1. ungleichzeichen ensteht aufgrund f [mm]\ge[/mm] t.
Hm, es gilt im Allgemeinen nicht [mm] $f\ge [/mm] t$ (was [mm] $f(x)\ge [/mm] t$ für alle [mm] $x\in [/mm] X$ bedeuten würde).
> aber ich verstehe nicht warum beim letzten = ein [mm]\le[/mm]
> hinkommt.
Warum sollte Gleichheit gelten?
Wegen [mm] $f*1_A\le [/mm] f$ und der Monotonie des Integrals gilt
[mm] $\integral_X f*1_A\;dP\le\integral_X f\;dP$.
[/mm]
> Was bewirkt diese charaktische funktion bzw. was
> ist diese charakteristische Funktion? darunter verstehe ich
> eine funktion die nur die werte 1 und 0 annimmt.
Die Frage ist essentiell: Ohne zu wissen, was [mm] $1_A$ [/mm] bedeutet, kannst du natürlich meine Schritte nicht verstehen.
[mm] $1_A$ [/mm] für [mm] $A\subseteq [/mm] X$ ist eine bestimmte Funktion, die nur die Werte 1 und 0 annimmt, und zwar die Funktion
[mm] $1_A\colon X\to\IR,\quad x\mapsto\begin{cases}1\text{ für }x\in A\\0\text{ für }x\notin A\end{cases}$.
[/mm]
Warum gilt nun [mm] $t*1_A\le f*1_A$ [/mm] für [mm] $A=\{f\ge t\}=\{x\in X\;|\;f(x)\ge t\}$?
[/mm]
Also warum gilt [mm] $t*1_A(x)\le f(x)*1_A(x)$ [/mm] für alle [mm] $x\in [/mm] X$?
Unterscheide dazu die Fälle:
1. [mm] $x\in [/mm] A$ (Das bedeutet wegen [mm] $A=\{f\ge t\}$?)
[/mm]
2. [mm] $x\notin [/mm] A$.
Überlege dir danach auf ähnliche Weise, dass tatsächlich [mm] $f*1_A\le [/mm] f$ gilt (hier benötigst du [mm] $f\ge0$).
[/mm]
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