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| Aufgabe | Sei [mm] \mathcal{A} [/mm] eine [mm] \sigma- [/mm] Algebra über [mm] \Omega. [/mm] Eine [mm] \sigma- [/mm] additive Funktion [mm] $\mu:\mathcal{A}\to \IR$ [/mm] heißt endliches signiertes Maß. Zeige:
Für jedes endliche signierte Maß [mm] \mu [/mm] gilt: [mm] $||\mu||_{TV} [/mm] := [mm] \sup_{A\in\mathcal{A}}|\mu(A)| [/mm] < [mm] \infty$ [/mm] |
Hallo!
Bei obiger Aufgabe habe ich das Problem, dass ich überhaupt nicht weiß, was zu zeigen ist!
Die Definition von [mm] \mu [/mm] besagt doch, dass [mm] $\forall A\in\mathcal{A}: |\mu(A)| [/mm] < [mm] \infty$.
[/mm]
Ist dann nicht automatisch auch das Supremum beschränkt?
Es muss irgendeine Ungenauigkeit in meinen kurzen Überlegungen geben, denn uns wurde gesagt, man sollte das Maß in einen negativen und positiven Teil zerlegen...
Was mache ich falsch?
Grüße,
Stefan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:52 Mi 28.04.2010 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Stefan,
leider habe ich diese Aufgabe bisher nicht lösen können und möchte mich auch nicht näher damit auseinandersetzen.
Aber zumindest deine konkrete Frage kann ich beantworten:
> Bei obiger Aufgabe habe ich das Problem, dass ich
> überhaupt nicht weiß, was zu zeigen ist!
>
> Die Definition von [mm]\mu[/mm] besagt doch, dass [mm]\forall A\in\mathcal{A}: |\mu(A)| < \infty[/mm].
>
> Ist dann nicht automatisch auch das Supremum beschränkt?
Nein. Z.B. gilt für alle [mm] $a\in\IR$, [/mm] dass [mm] $a<\infty$, [/mm] aber [mm] $\sup_{a\in\IR}=\infty$.
[/mm]
(Im Grunde analog zu endlichen Suprema: Aus $a<K$ für alle [mm] $a\in [/mm] M$ [mm] ($K\in\IR$, $M\subset\IR$) [/mm] folgt noch lange nicht [mm] $\sup [/mm] M<K$, wie das Beispiel $M=(0,1)$, $K=1$ zeigt.)
Viele Grüße
Tobias
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Hallo,
danke Tobias für die Antwort!
Ich werde nochmal drüber nachdenken 
Grüße,
Stefan
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