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| Aufgabe | | Sei µ ein Maß auf einer [mm]\sigma[/mm]-Algebra A und [mm]\{A_k\}_k[/mm] eine Folge von Mengen in A. Es gebe eine Zahl [mm]k\in\IN[/mm] derart, daß die Mengen [mm]A_m[/mm] und [mm]A_n[/mm] für zwei Indizes [mm]m,n\in\IN[/mm] mit [mm]\left|m-n\right| \ge k[/mm] disjunkt sind. Zeige, daß [mm]\sum_{k=1}^{\infty} µ(A_n) \le k*µ(\bigcup_{k=1}^{\infty} A_n)[/mm]. |
Hallo!
ich hab leider keine Ahnung wie ich da rangehen soll. Da die [mm] A_n [/mm] an sich nicht disjunkt sind, gilt ja [mm]\sum_{k=1}^{\infty} µ(A_n) \ge µ(\bigcup_{k=1}^{\infty} A_n)[/mm]. Vielleicht kann man die Folge irgendwie in disjunkte Mengen zerlegen, das klappt zwar mit z.B. [mm]B_1=A_1, B_2=A_2\setminus A_1, B_3=A_3\setminus (A_1\cup A_2)[/mm] usw. , bringt mich aber nicht weiter. Dann hätte ich ja nur [mm]\sum_{k=1}^{\infty} µ(A_n) = µ(\bigcup_{k=1}^{\infty} A_n)[/mm]. Gibt es eine Aufteilung innerhalb des Indexabstands k so, daß man eine Unterteilung in Pakete solcher "Abstände" hat?
Ist sicher etwas ungeschickt formuliert, ich hoffe ihr versteht was ich meine...vielen Dank für eure Hilfe!
Grüße
couldbeworse
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:53 Mi 31.10.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo couldbeworse,
> Vielleicht kann man die Folge irgendwie in disjunkte Mengen
> zerlegen, das klappt zwar mit z.B. [mm]B_1=A_1, B_2=A_2\setminus A_1, B_3=A_3\setminus (A_1\cup A_2)[/mm]
> usw. , bringt mich aber nicht weiter. Dann hätte ich ja
> nur [mm]\sum_{k=1}^{\infty} µ(A_n) = µ(\bigcup_{k=1}^{\infty} A_n)[/mm].
> Gibt es eine Aufteilung innerhalb des Indexabstands k so,
> daß man eine Unterteilung in Pakete solcher "Abstände"
> hat?
Die Idee ist gut!
Betrachte mal [mm] $A_1,A_{k+1},A_{2k+1},A_{3k+1},\ldots$.
[/mm]
Dann betrachte [mm] $A_2,A_{k+2},A_{2k+2},A_{3k+2},\ldots$.
[/mm]
Usw.
Schließlich [mm] $A_k,A_{k+k},A_{2k+k},A_{3k+k},\ldots$.
[/mm]
In jeder der k Zeilen stehen paarweise disjunkte Mengen. Jedes [mm] $A_n$ [/mm] taucht in genau einer Zeile auf.
Kommst du damit schon alleine weiter?
Viele Grüße
Tobias
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Hallo Tobias!
> Die Idee ist gut!
>
> Betrachte mal [mm]A_1,A_{k+1},A_{2k+1},A_{3k+1},\ldots[/mm].
> Dann betrachte [mm]A_2,A_{k+2},A_{2k+2},A_{3k+2},\ldots[/mm].
> Usw.
> Schließlich [mm]A_k,A_{k+k},A_{2k+k},A_{3k+k},\ldots[/mm].
>
> In jeder der k Zeilen stehen paarweise disjunkte Mengen.
> Jedes [mm]A_n[/mm] taucht in genau einer Zeile auf.
Mal sehen: also ich hab k solcher Zeilen, das ist schon mal nicht schlecht, ich brauch ja den Faktor k. Für jede dieser Zeilen ist das Maß der Vereinigung über alle Folgenglieder gleich der Summe über die Maße der einzelnen Folgenglieder, da diese ja disjunkt sind. Aber zusammenbasteln kann ich es leider nicht...das Maß müßte ja für jede Zeile gleich sein, oder? Wie bekommt man das hin?
EDIT: Kann ich nicht einfach so argumentieren:
[mm]\sum_{n=1}^{\infty} \mu (A_n)=\sum_{i=0}^{\infty} \mu (A_{ik+1}) + \sum_{i=0}^{\infty} \mu (A_{ik+2}) + ... + \sum_{i=0}^{\infty} \mu (A_{ik+k}) = \mu (\bigcup_{i=0}^{\infty} A_{ik+1}) + \mu (\bigcup_{i=0}^{\infty} A_{ik+2}) + ... + \mu (\bigcup_{i=0}^{\infty} A_{ik+k}) \le k*\mu (\bigcup_{i=0}^{\infty} A_n)[/mm],
denn die Folgen in sich sind disjunkt, µ ist monoton und jede der k Folgen eine Teilfolge von [mm](A_n)[/mm], also das Maß über die einzelnen Teilfolgen immer [mm]\le[/mm] dem Maß über die ganze Folge und das k-mal?
Danke für deine Hilfe!
couldbeworse
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:56 Mi 31.10.2012 | | Autor: | tobit09 |
> > Betrachte mal [mm]A_1,A_{k+1},A_{2k+1},A_{3k+1},\ldots[/mm].
> > Dann betrachte [mm]A_2,A_{k+2},A_{2k+2},A_{3k+2},\ldots[/mm].
> > Usw.
> > Schließlich [mm]A_k,A_{k+k},A_{2k+k},A_{3k+k},\ldots[/mm].
> >
> > In jeder der k Zeilen stehen paarweise disjunkte Mengen.
> > Jedes [mm]A_n[/mm] taucht in genau einer Zeile auf.
>
> Mal sehen: also ich hab k solcher Zeilen, das ist schon mal
> nicht schlecht, ich brauch ja den Faktor k. Für jede
> dieser Zeilen ist das Maß der Vereinigung über alle
> Folgenglieder gleich der Summe über die Maße der
> einzelnen Folgenglieder, da diese ja disjunkt sind.
Genau. Damit hast du schon einen Teil des Beweises!
> Aber
> zusammenbasteln kann ich es leider nicht...das Maß müßte
> ja für jede Zeile gleich sein, oder? Wie bekommt man das
> hin?
Du kannst das Maß der Vereinigung einer einzelnen Zeile jeweils nach oben abschätzen durch [mm] $\mu(\bigcup_{n=1}^\infty A_n)$. [/mm] Und dieser Wert hängt nicht mehr von k ab.
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