Maß P([0,1]) -> {0,1} < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 23:10 So 28.11.2010 | | Autor: | sunsande |
| Aufgabe | [mm] \Omega [/mm] = [0,1] [mm] \subseteq \IR, \mu: \mathcal{P} (\Omega) \to [/mm] {0, 1}, wobei [mm] (\forall [/mm] A [mm] \subseteq \Omega)(|A|< \infty \Rightarrow \mu(A)= [/mm] 0).
Kann [mm] \mu [/mm] ein W-Maß sein? |
Die Antwort lautet: Nein.
Angenommen [mm] \mu [/mm] ist ein W-Maß.
[mm] \mathcal{P}(\Omega) [/mm] ist eine [mm] \sigma [/mm] - Algebra.
Die "standarte" Lösung führt man mit Hilfe einer Intervallschahtelung (Intervallfolge) von geschlossenen Intervallen [mm] I_i \subseteq \Omega [/mm] mit [mm] \mu(I_i) [/mm] = 1, und [mm] I_{i+1} \subseteq I_i. [/mm] Die Länge der Intervallen geht gegen 0 und so nach dem Satz von Cantor enthält ihrer Durchschnitt genau einen Punkt X. So ist [mm] \mu [/mm] ({X}) = 0 aber für alle Intervalle dieser Folge gilt [mm] \mu(I_i) [/mm] = 1 und so kommt man zu Widerspruch mit einer Eigenschaft des W-Maßes.
Ich wollte zu einem Beweis kommen, der ohne den Satz von Cantor läuft, und habe folgenden nachgedacht:
Vorkenntnisse: (ohne Beweis) Gegeben [mm] \mathcal{A} [/mm] - Algebra, [mm] \mu: \mathcal{A} \to [/mm] [0, [mm] \infty].
[/mm]
L1. [mm] \mu [/mm] ist Inhalt [mm] \Rightarrow (\forall [/mm] A, B [mm] \in \mathcal{A})(\mu(A \cup [/mm] B) + [mm] \mu(A \cap [/mm] B) = [mm] \mu(A) [/mm] + [mm] \mu(B).
[/mm]
L2. [mm] \mu [/mm] ist Prämaß [mm] (\mathcal{A} [/mm] ist [mm] \sigma-Algebra) \Rightarrow [/mm] ( [mm] (A_i)_{i \in \IN, A_i \in \mathcal{A}} [/mm] mit [mm] A_i \uparrow [/mm] A [mm] \in \mathcal{A} \gdw \mu(A_i) \to \mu [/mm] (A)) .
Behauptung: Sei I=[a,b] [mm] \subseteq [/mm] [0,1] ein geschlossenes Intervall mit [mm] \mu(I) [/mm] = 1 und seien [mm] I_1 [/mm] := [a, [mm] \bruch{b-a}{2}], I_2 [/mm] := [mm] [\bruch{b-a}{2}, [/mm] b]. Dann gilt [mm] \mu(I_1) [/mm] = 0 XOR [mm] \mu(I_2) [/mm] = 0 .
Beweis(zu der Beh.): Sei [mm] \mu(I_1) [/mm] = 0 = [mm] \mu(I_2) \stackrel{(L1.)}{\Rightarrow} [/mm] 1 = [mm] \mu(I) [/mm] = [mm] \mu(I_1 \cup I_2) [/mm] = [mm] \mu (I_1 \cup I_2) [/mm] + [mm] \stackrel{(= 0)}{\mu (\{ \bruch{b-a}{2} \} )} [/mm] = [mm] \mu (I_1 \cup I_2) [/mm] + [mm] \mu (I_1 \cap I_2) [/mm] = [mm] \mu (I_1) [/mm] + [mm] \mu(I_2) [/mm] = 0 + 0 = 0 - Widerspruch?!
Sei [mm] \mu(I_1) [/mm] = 1 = [mm] \mu(I_2) \Rightarrow \mu(I) [/mm] = 2 [mm] \Rightarrow [/mm] 1 = [mm] \mu(\Omega) [/mm] = [mm] \mu(I) [/mm] + [mm] \mu(I^c) \ge [/mm] 2 - Widerspruch ?!
Beweis (Aufgabe):
Teile das Intervall [0, 1] = [mm] \Omega [/mm] wie folgt:
Folge 1: [mm] A_1:=[0,1], A_2:=[0, \bruch{1}{2}], A_3:=[0, \bruch{1}{4}], A_4:=[0, \bruch{1}{8}], [/mm] ..., [mm] A_i:=[0, \bruch{1}{2^{i-1}}], [/mm] ...
Folge 2: [mm] B_1:= \emptyset, B_2:=[\bruch{1}{2},1], B_3:=[\bruch{1}{4}, \bruch{1}{2}], B_4:=[\bruch{1}{8}, \bruch{1}{4}], [/mm] ..., [mm] B_i:=[\bruch{1}{2^{i-1}}, \bruch{1}{2^{i-2}}], [/mm] ... (hier ist i [mm] \ge [/mm] 2)
[mm] \mu(A_1) [/mm] = [mm] \mu(\Omega) [/mm] = 1, [mm] \mu(B_1) [/mm] = [mm] \mu(\emptyset) [/mm] = 0
[mm] \mu(A_2) [/mm] = 0 XOR [mm] \mu(B_2) [/mm] = 0 (nach der Beh.)
Oder es muss auch [mm] \mu(A_2) [/mm] = 1 XOR [mm] \mu (B_2) [/mm] = 1 gelten.
Da die Intervallen [mm] A_i [/mm] und [mm] B_i [/mm] die symmetrische Hälfte des Intervalls [mm] A_i \cup B_i [/mm] sind, kann man o.B.d.A. [mm] (\forall [/mm] i [mm] \in \IN)(\mu(A_i) [/mm] = 1, bzw. [mm] \mu(B_i)=0) [/mm] annehmen. Bei anderer Annahme muss man die obigen Folgen so umformen [mm] (A_i [/mm] mit [mm] B_i [/mm] tauschen), dass es immer [mm] \mu(B_i)=0 [/mm] gelten.
Weiter gilt [mm] \bigcup_{i=1}^n B_i \stackrel{n \to \infty}{\to} [/mm] [0,1] = [mm] \Omega. (\bigcup_{i=1}^n B_i \in \mathcal{P}(\Omega) [/mm] und [mm] \mathcal{P}(\Omega) [/mm] ist [mm] \sigma-Algebra)
[/mm]
Aber [mm] (\forall [/mm] n [mm] \in \IN)(\mu(\bigcup_{i=1}^n B_i) [/mm] = 0) [mm] \nrightarrow [/mm] 1 = [mm] \mu([0,1]) [/mm] so nach L2. ist [mm] \mu [/mm] kein Prämaß und somit kein W-Maß [mm] \square
[/mm]
Ich habe die Aufgabe zwei Mal an unseren Korrektoren in der Uni gegeben aber leider immer falsch. Ich hoffe, dass der Beweis dieses Mal richtig ist.
Für alle Korrekturen/Ratschläge bin ich dankbar!
Beste Grüße,
Alex
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) noch nicht fertig  | | Datum: | 05:02 Mo 29.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin Alex!
> [mm]\Omega[/mm] = [0,1] [mm]\subseteq \IR, \mu: \mathcal{P} (\Omega) \to[/mm]
> {0, 1}, wobei [mm](\forall[/mm] A [mm]\subseteq \Omega)(\mu(A)=[/mm] 0 [mm]\gdw[/mm]
> |A|< [mm]\infty).[/mm]
>
> Kann [mm]\mu[/mm] ein W-Maß sein?
> Die Antwort lautet: Nein.
>
> Angenommen [mm]\mu[/mm] ist ein W-Maß.
> [mm]\mathcal{P}(\Omega)[/mm] ist eine [mm]\sigma[/mm] - Algebra.
>
> Die "standarte" Lösung führt man mit Hilfe einer
> Intervallschahtelung (Intervallfolge) von geschlossenen
> [...]
Inwiefern ist das eine Standard-Loesung? Das sehe ich ueberhaupt nicht.
Es geht doch sehr viel einfacher: man nimmt einfach zwei Teilmengen $A, B [mm] \subseteq \Omega$ [/mm] mit $A [mm] \cap [/mm] B = [mm] \emptyset$ [/mm] und $|A| = |B| = [mm] \infty$. [/mm] Solche kann man konkret angeben, etwa $A = [mm] \{ \frac{1}{2 n} \mid n \in \IN \}$ [/mm] und $B = [mm] \{ \frac{1}{2 n + 1} \mid n \in \IN \}$.
[/mm]
Da die [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] hier die Potenzmenge ist, sind $A$ und $B$ messbar. Damit gilt $2 = 1 + 1 = [mm] \mu(A) [/mm] + [mm] \mu(B) [/mm] = [mm] \mu(A [/mm] + B) = 1$, da $A [mm] \cup [/mm] B$ ebenfalls unendlich ist. Und schon hat man den Widerspruch.
> Ich habe die Aufgabe zwei Mal an unseren Korrektoren in der
> Uni gegeben aber leider immer falsch. Ich hoffe, dass der
> Beweis dieses Mal richtig ist.
Was war denn laut denen falsch?
Ich denke er ist schon richtig, allerdings sehr umstaendlich. Im Prinzip bist du mit der Behauptung schon fast fertig. Intervallschachtelung brauchst du ganz bestimmt nicht.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:58 Mo 29.11.2010 | | Autor: | sunsande |
Es sollte [mm] (\forall [/mm] A [mm] \subseteq \Omega)(|A|< \infty \Rightarrow \mu(A)= [/mm] 0) sein. Also es ist auch möglich |A| = [mm] \infty [/mm] und [mm] \mu(A)= [/mm] 0 für irgendeinige A [mm] \subseteq \Omega.
[/mm]
Ich habe die Aufgabenstellung oben falsch gegeben und jetzt schon korrigiert.
Mit [mm] (\forall [/mm] A [mm] \subseteq \Omega)(|A|< \infty \gdw \mu(A)= [/mm] 0) geht es ganz leicht wie du gezeigt hast!
Sorry und vielen Dank!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:20 Mo 29.11.2010 | | Autor: | fred97 |
Da die Aufgabenstellung nun klar ist, schau mal hier:
https://matheraum.de/read?t=723258
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:44 Mo 29.11.2010 | | Autor: | sunsande |
unter dem Link steht die Lösung mit der Intervallschachtellung und dem Satz von Cantor, die ich in meinem Post auch kurz am Anfang beschrieben habe und sie ist mir klar.
Ich wollte eine Korrektur für die alternative Lösung haben, da ich den Beweis schon zwei Mal falsch hatte ...
Gruß,
Alex
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