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| Aufgabe | Hallo Zusammen,
Mich würde folgendes interessieren:
Wir haben Martingale folgendermassen definiert:
Ein Prozess X = [mm] (X_{n}) [/mm] heisst Martingal bzgl. [mm] ({F_{n}},P), [/mm] falls:
1) [mm] X_{n} [/mm] ist angepasst an [mm] {F_{n}}
[/mm]
2) [mm] E[X_{n}] [/mm] < [mm] \infty [/mm] für alle n
3) [mm] E[X_{n}|F_{n-1}] [/mm] = [mm] X_{n-1} [/mm] P f.s. (n>=1)
Jetzt haben wir bewiesen, dass auch gilt:
[mm] E[X_{s}|F_{n}] [/mm] = [mm] X_{n} [/mm] für alle s>=n
Dazu haben wir folgende Umformung gemacht:
[mm] E[X_{s}|F_{n}]=E[E[X_{s}|F_{s-1}]|F_{n}]=E[X_{s-1}|F_{n}] [/mm] = ... = [mm] E[X_{n+1}|F_{n}]=X_{n}
[/mm]
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Wieso kann ich denn in der Umformung einfach den Audruck [mm] X_{s} [/mm] (Term ganz links) durch [mm] E[X_{s}|F_{s-1}] [/mm]
(2. Term von links) ersetzen?
Viele Grüsse,
Thomas
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:07 Fr 05.10.2007 | | Autor: | Blech |
> [mm]E[X_{s}|F_{n}]=E[E[X_{s}|F_{s-1}]|F_{n}]=E[X_{s-1}|F_{n}][/mm] =
> ... = [mm]E[X_{n+1}|F_{n}]=X_{n}[/mm]
>
> Wieso kann ich denn in der Umformung einfach den Audruck
> [mm]X_{s}[/mm] (Term ganz links) durch [mm]E[X_{s}|F_{s-1}][/mm]
> (2. Term von links) ersetzen?
Für [mm] $\mathcal{A} \subseteq \mathcal{B}$ [/mm] gilt
[mm] $E(X|\mathcal{A})=E(E(X|\mathcal{B})|\mathcal{A})$
[/mm]
Euer [mm] $\mathcal{F}_n$ [/mm] sollte so definiert sein, daß [mm] $\mathcal{F}_{s-1} \supseteq \mathcal{F}_n$ [/mm] für s>n. Für s=n ist die urspr. Aussage trivial.
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