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| Aufgabe | | Ist [mm]\mathcal F_n=\sigma(X_1,\ldots, X_n)[/mm], so ist die Definition des Martingals nach Satz 19.11 äquivalent zu [mm]E(X_{n+1}\mid X_1=x_1,\ldots, X_n=x_n)=x_n[/mm] für [mm]P^{X_1\ldots X_n}[/mm]-f.a. [mm]x_1,\ldots x_n[/mm] |
Hallo zusammen,
wir haben folgende Definition:
Seien [mm]\mathcal F_1\subset\mathcal F_2\subset\ldots[/mm] Sub-[mm]\sigma[/mm]-Algebren von [mm]\mathcal F[/mm] und seinen [mm]X_1, X_2,\ldots[/mm] integrierbare Zufallsvariablen, [mm]X_n[/mm] jeweils [mm]\mathcal F_n[/mm]-messbar.
Dann heißt die Folge [mm](X_n,\mathcal F_n)[/mm] ein Martingal, wenn [mm]E(X_{n+1}\mid\mathcal F_n)=X_n[/mm] f.s.
Weiter lautet Satz 19.11:
Sei [mm]Y[/mm] unabh. von [mm]X[/mm], dann gilt [mm]E(X\mid Y)=EX[/mm] f.s.
Soweit so schlecht.
Ich sehe in keiner Weise die im Aufgabenfeld erwähnte Äquivalenz.
Kann mich bitte jemand dahingehend erleuchten?
Besten Dank vorab!
Liebe Grüße
schachuzipus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:59 So 13.05.2012 | | Autor: | Blech |
Hi,
> Dann heißt die Folge $ [mm] (X_n,\mathcal F_n) [/mm] $ ein Martingal, wenn $ [mm] E(X_{n+1}\mid\mathcal F_n)=X_n [/mm] $ f.s.
Ich nehm an, Du sollst die Äquivalenz dazu zeigen, denn
> Weiter lautet Satz 19.11:
> Sei $ Y $ unabh. von $ X $, dann gilt $ [mm] E(X\mid [/mm] Y)=EX $ f.s.
das definiert kein Martingal, also wird es schwer zu zeigen, daß die
> Definition des Martingals nach Satz 19.11
äquivalent dazu ist.
Oder mail dem Assi, was er meint.
ciao
Stefan
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Hallo Stefan,
> Hi,
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> > Dann heißt die Folge [mm](X_n,\mathcal F_n)[/mm] ein Martingal,
> wenn [mm]E(X_{n+1}\mid\mathcal F_n)=X_n[/mm] f.s.
>
> Ich nehm an, Du sollst die Äquivalenz dazu zeigen,
Ja, dazu
> denn
>
> > Weiter lautet Satz 19.11:
> > Sei [mm]Y[/mm] unabh. von [mm]X [/mm], dann gilt [mm]E(X\mid Y)=EX[/mm] f.s.
>
> das definiert kein Martingal, also wird es schwer zu
> zeigen, daß die
>
> > Definition des Martingals nach Satz 19.11
>
> äquivalent dazu ist.
>
> Oder mail dem Assi, was er meint.
Gemeint ist, dass man die Eigenschaft des bed. EW in Satz 19.11 verwenden soll, um zu zeigen
[mm]E(X_{n+1}\mid\sigma(X_1,\ldots, X_n))=X_n \ \gdw \ E(X_n\mid X_1=x_1,\ldots, X_n=x_n)=x_n[/mm]
>
> ciao
> Stefan
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:22 So 13.05.2012 | | Autor: | Blech |
Hi,
auch im harschen Licht des Tages find ich die Formulierung nicht weniger dämlich. =P
Ich seh auch nicht, was er bringen sollte, weil man beide Richtungen ziemlich straightforward (d.h. nach Definition des bedingten EW) durchrechnen kann.
ciao
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:20 Di 15.05.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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