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Forum "Uni-Stochastik" - Markovketten: Matrizenrechnung
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Markovketten: Matrizenrechnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:06 Mi 20.07.2011
Autor: el_grecco

Aufgabe
Herr Meier liest die Süddeutsche Zeitung jeden Tag und steckt diese dann in einen Zeitungsständer. Frau Meier hat gelegentlich einen Putzanfall (jeden Tag mit W'keit 1/3) und wirft alle Zeitungen am Abend weg. Wenn fünf oder mehr Zeitungen im Ständer sind, wirft Herr Meier die Zeitungen eigenhändig am Abend weg.

1. Beschreiben Sie die Anzahl der Zeitungen im Zeitungsstapel (nachdem die Meiers zu Bett gegangen sind) mit Hilfe einer Markov-Kette.

2. Angenommen, es sind vier Ausgaben im Zeitungsständer. Wie lang ist die erwartete Zeit, bis wieder vier Zeitungen im Ständer stecken?

Hallo,

eine Sache vorweg: es handelt sich bei meinem Problem nicht um ein stochastisches, sondern um ein allgemein mathematisches (Matrizenrechnung).

Zunächst die komplette Lösung:


1. [mm] $P=\pmat{ 1/3 & 2/3 & 0 & 0 & 0 \\ 1/3 & 0 & 2/3 & 0 & 0 \\ 1/3 & 0 & 0 & 2/3 & 0 \\ 1/3 & 0 & 0 & 0 & 2/3 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 }$ [/mm]

2.

[mm] $E(T_{5})=1/\pi_{5}$ [/mm]

[mm] $\pi [/mm] = [mm] 1(I-P+U)^{-1}$ [/mm]

[mm] $\pi [/mm] = (1 1 1 1 [mm] 1)*[\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 }-\pmat{ 1/3 & 2/3 & 0 & 0 & 0 \\ 1/3 & 0 & 2/3 & 0 & 0 \\ 1/3 & 0 & 0 & 2/3 & 0 \\ 1/3 & 0 & 0 & 0 & 2/3 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 }+\pmat{ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 }]^{-1}=(\pi_{1}\pi_{2}\pi_{3}\pi_{4}\pi_{5}=\bruch{16}{211})$ [/mm]

[mm] $\Rightarrow E(T_{5})=\bruch{1}{\pi_{5}} \approx [/mm] 13,18$ Tage


Ich kann leider nicht erkennen, auf welchem Weg in 2. der Wert [mm] $\bruch{16}{211}$ [/mm] ermittelt wurde. [verwirrt]

Ich hoffe, jemand erkennt den Rechenweg und verrät ihn mir...


Vielen Dank für die Mühe!

Gruß
el_grecco


        
Bezug
Markovketten: Matrizenrechnung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:24 Do 21.07.2011
Autor: Stoecki

ich habe erstmal ein paar verständnisfrgen.

zu:
$ [mm] \pi [/mm] = (1 1 1 1 [mm] 1)\cdot{}[\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 }-\pmat{ 1/3 & 2/3 & 0 & 0 & 0 \\ 1/3 & 0 & 2/3 & 0 & 0 \\ 1/3 & 0 & 0 & 2/3 & 0 \\ 1/3 & 0 & 0 & 0 & 2/3 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 }+\pmat{ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 }]^{-1}=(\pi_{1}\pi_{2}\pi_{3}\pi_{4}\pi_{5}=\bruch{16}{211}) [/mm] $

weißt du wieso diese drei matrizen summiert (bzw von einander abgezogen) werden? vor allem weiß ich persönlich nicht viel mit der letzten matrix anzufangen. die aussage der ersten beiden matrizen ist mir klar (die zeitungen, die hinzu kommen und die stochastische matrix). vielleicht könntest du schon mal schreiben, worüber du bisher nachgedacht hast. (bin leider selber kein stochastik-crack)

Bezug
                
Bezug
Markovketten: Matrizenrechnung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:44 Do 21.07.2011
Autor: el_grecco

Hallo Stoecki,

das ist die Anwendung des Satzes über die stationäre Verteilung. Es hieß, nachdem wir keine Statistiker sind, müssen wir nicht verstehen, was damit gemeint ist...

Auf Seite 105 im Skript findet sich dieser Satz und gleich darunter ist auch ein Beispiel:

[]Skript S. 105

Ich habe zuerst die Matrizen in den eckigen Klammern addiert/subtrahiert, dann über den Gauß-Jordan-Algorithmus das Inverse der Matrix ermittelt und die Werte der fünften Spalte addiert. Allerdings komme ich nicht auf das Ergebnis...

ABER: ich habe mich erkundigt und es hieß, dass so eine Aufgabe nicht in der Klausur vorkommen wird, da das eher eine Aufgabe für die Vorlesung Lineare Algebra ist. Außerdem habe ich einige Altklausuren entdeckt und die Aufgaben bzgl. Markov-Ketten sind wesentlich einfacher.

Von daher: Bitte den Thread als erledigt markieren. ;-)


Vielen Dank an alle!

Gruß
el_grecco


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