Markovkette Rückkehrzeit < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:10 Fr 24.02.2012 | | Autor: | Fry |
Huhu zusammen,
habe folgendes Problem:
Sei [mm] (X_n)_n [/mm] eine Markovkette mit endlichem Zustandsraum [mm] \{s_1,...,s_k\}
[/mm]
Die Markovkette starte nun in [mm] s_1
[/mm]
[mm] T_{11} [/mm] sei die erste Rückkehrzeit zu [mm] s_1
[/mm]
Gilt nun:
[mm] ET_{11}<\infty \Rightarrow P(T_{11}<\infty)=1
[/mm]
?
Falls ja, warum. Würde mich über eure Hilfe freuen.
Viele Grüße
Fry
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Hallo Fry,
die Fragestellung hat letztendlich nichts mit Markovketten zu tun.
Es gilt doch allgemein für Zufallsvariablen X:
E[X] existiert => $P(X < [mm] \infty) [/mm] = 1$, d.h. X ist fast sicher endlich.
Beweis ganz einfach per Kontradiktion.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:44 Fr 24.02.2012 | | Autor: | Fry |
Hey Gono,
danke :). Du hast meine Frage gleich vorweggenommen.
Wie würdest du das denn mit Widerspruch machen?
Hab nur in einem WT-Buch einen Beweis gefunden,der sich drauf stützt,dass
[mm] $|X|\ge a*1_{\{|X|=\infty\}}$ [/mm] für alle [mm] $a\in(0,\infty)$
[/mm]
Verstehe aber nicht, warum das gilt.
LG
Fry
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:54 Fr 24.02.2012 | | Autor: | Fry |
Ah ok, Ungleichung ist klar ;)
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hiho,
das ist eine einfache Umformung 
$|X| = |X|*1_{\{|X| \not=\infty\}} + |X|*1_{\{|X| =\infty\}} \ge 0*1_{\{|X| \not=\infty\}} + |X|*1_{\{|X| =\infty\}} = |X|*1_{\{|X| =\infty\}}$
Und auf $\{|X| = \infty\}}$ gilt nunmal:
$|X| = \infty > a, a\in\IR$ und damit insgesamt:
$|X| \ge |X|*1_{\{|X| =\infty\}} > a*1_{\{|X| =\infty\}}$
MFG,
Gono.
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