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| Aufgabe | | Seien [mm] $\var{I}$ [/mm] und [mm] $\var{J}$ [/mm] abzählbare Mengen und sei [mm] $f\colon I\times J\to [/mm] I$ eine Abbildung. Sei weiter [mm] $(Y_n)_{n\in\mathbb{N}}$ [/mm] eine Folge unabhängiger, identisch verteilter Zufallsvariablen mit Werten in [mm] $\var{J}$. [/mm] Mit einem [mm] $i_0\in [/mm] I$ definieren wir eine Folge von Zufallsvariablen [mm] $(X_n)_{n\in\mathbb{N}_0}$ [/mm] durch [mm] $X_0=x$ [/mm] und [mm] $X_{n+1}=f\big(X_n,Y_{n+1}\big)$ [/mm] für [mm] $n\in\mathbb{N}$. [/mm] Beweisen Sie, dass [mm] $(X_n)_{n\in\mathbb{N}_0}$ [/mm] eine Markovkette ist und bestimmen Sie die Übergangsmatrix. |
Hallo Leute,
der gesuchte Beweis bereitet mir Probleme. Ich will zeigen, dass für alle [mm] $n\in\mathbb{N}$ [/mm] und für alle [mm] $i_1,\ldots,i_n\in [/mm] I$ gilt:
[mm] $P\big(X_{n+1}=i_{n+1}|X_n=i_n,\ldots,X_0=i_0\big)\quad=\quad P\big(X_{n+1}=i_{n+1}|X_n=i_n\big)$.
[/mm]
Also:
[mm] $P\big(X_{n+1}=i_{n+1}|X_n=i_n,\ldots,X_0=i_0\big)\quad=\quad P\big(f(X_n,Y_{n+1})=i_{n+1}|X_n=i_n,\ldots,X_0=i_0\big) \quad\stackrel{?}{=}\quad P\big(f(X_n,Y_{n+1})=i_{n+1}|X_n=i_n\big)$
[/mm]
Aber was ist nun das genaue, mathematisch exakte Argument für das letzte Gleichheitszeichen? Der Ausdruck [mm] $f(X_n,Y_{n+1})$ [/mm] ist zwar irgendwie unabhängig von der von [mm] $X_0,\ldots,X_{n-1}$ [/mm] erzeugten [mm] $\sigma$-Algebra $\sigma(X_0,\ldots,X_{n-1})$ [/mm] aber ich habe auch noch nicht den Fakt verwendet, dass die [mm] $Y_i$ [/mm] i. i. d. sind. Für eine exaktere Erklärung oder einen Tipp wäre ich euch dankbar!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:30 Sa 20.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> Aber was ist nun das genaue, mathematisch exakte Argument
> für das letzte Gleichheitszeichen? Der Ausdruck
> [mm]f(X_n,Y_{n+1})[/mm] ist zwar irgendwie unabhängig von der von
> [mm]X_0,\ldots,X_{n-1}[/mm] erzeugten [mm]\sigma[/mm]-Algebra
> [mm]\sigma(X_0,\ldots,X_{n-1})[/mm]
Also, ich hab jetzt keinen stringenten Beweis parat, aber intuitiv "sieht" man es ja: der Wert von [m]X_{n+1}[/m] hängt nur ab von [m]f,X_n,Y_n[/m], also was genau [m]X_0[/m] war, ist ja egal, da wir für die Berechnung von [m]X_{n+1}[/m] lediglich [m]X_n[/m] heranziehen, und wir ja annehmen, dass dies einen bestimmten wert hatte.
> aber ich habe auch noch nicht
> den Fakt verwendet, dass die [mm]Y_i[/mm] i. i. d. sind.
Du sollst ja noch die Übergangsmatrix berechnen. Ich könnte mir vorstellen, dass dies von der Verteilung der [m]Y_i[/m] abhängt - und zwar nicht zu knapp!
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:06 So 28.02.2010 | | Autor: | Mr.Teutone |
Ok, ich denke, ich bin erstmal zufrieden, also Danke nochmal. Bei Gelegenheit ergänze ich noch die Übergangsmatrix.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:20 So 07.03.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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