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Forum "stochastische Prozesse" - Markovkette
Markovkette < stoch. Prozesse < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Markovkette: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 14:59 Do 08.01.2015
Autor: Mathe-Lily

Aufgabe
Es sei p [mm] \in [/mm] (0,1), [mm] (Y_n)_{n \in \IN} [/mm] unabhängig identisch verteilt mit [mm] Y_1\sim [/mm] B(1,p) und [mm] X_n:=2Y_n+Y_{n+1} [/mm] für alle n [mm] \in \IN. [/mm]
Zeigen Sie, dass die [mm] X_n [/mm] eine Markovkette bilden.

Hallo!
Ich habe dazu eine Lösung, die ich nicht ganz verstehe.
Vielleicht kann mir hier jemand dabei helfen? :-)

Lösung:
[mm] X_{n+1}=2*(X_n [/mm] mod [mm] 2)+Y_{n+2} [/mm] für alle n. Für [mm] i_1,...,i_{n+1}\in [/mm] {0,1,2,3} ergibt sich wegen der Unabhängigkeit der [mm] Y_k, [/mm] dass
[mm] P(X_{n+1}=i_{n+1}|X_j=i_j, [/mm] j [mm] \le [/mm] n)
= [mm] P(2*(X_n [/mm] mod [mm] 2)+Y_{n+2}=i_{n+1}|X_j=i_j, [/mm] j [mm] \le [/mm] n)
= [mm] P(2*(i_n [/mm] mod [mm] 2)+Y_{n+2}=i_{n+1}|X_j=i_j, [/mm] j [mm] \le [/mm] n)
= [mm] P(2*(i_n [/mm] mod [mm] 2)+Y_{n+2}=i_{n+1}) [/mm]
= [mm] P(2*(X_n [/mm] mod [mm] 2)+Y_{n+2}=i_{n+1}|X_n=i_n) [/mm]
= [mm] P(X_{n+1}=i_{n+1}|X_n=i_n) [/mm]

Also den Anfang glaube ich zu verstehen:
da [mm] Y_n [/mm] binomialverteilt ist, kann es nur 0 oder 1 sein, daher gibt es für [mm] X_n [/mm] 4 Möglichkeiten:
[mm] X_n=\begin{cases} 0, & \mbox{für } Y_n=0, Y_{n+1}=0 \\ 1, & \mbox{für } Y_n=0, Y_{n+1}=1 \\ 2, & \mbox{für } Y_n=1, Y_{n+1}=0 \\ 3, & \mbox{für } Y_n=1, Y_{n+1}=1 \end{cases} [/mm]

[mm] Y_{n+1} [/mm] ist damit von [mm] X_n [/mm] abhängig, nämlich: [mm] Y_{n+1}=X_n [/mm] mod 2, das wird in [mm] X_{n+1} [/mm] eingesetzt in der 2. Zeile.
In der 3. Zeile wird [mm] X_n [/mm] durch [mm] i_n [/mm] ersetzt, da das die Bedingung in der bedingten Wahrscheinlichkeit ist.

In der 4. Zeile hakt es nun:
Warum können wir die Bedingung, dass [mm] X_j=i_j, [/mm] j [mm] \le [/mm] n einfach weglassen?
Müssten wir es nicht stehen lassen um zu wissen was [mm] i_n [/mm] ist?

Kann mir das jemand erklären?
Das wäre super!
Grüßle, Lily

        
Bezug
Markovkette: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:20 Mo 12.01.2015
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
        
Bezug
Markovkette: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:56 Mi 14.01.2015
Autor: Mathe-Lily

Hallo!
Die Frage ist leider immernoch aktuell!
Es wäre super, wenn mir jemand helfen könnte! :-)
Grüßle, Lily

Bezug
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