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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:57 Mo 28.01.2008 | | Autor: | Mikeusa |
| Aufgabe | | Var [mm] (X_{t}|X_{s}) [/mm] = Var ( [mm] X_{s} [/mm] + [mm] \summe_{i=s+1}^{t} \varepsilon_{i} [/mm] ) = Var [mm] (\summe_{i=s+1}^{t} \varepsilon_{i}) [/mm] = [mm] \summe_{i=s+1}^{t} [/mm] Var [mm] (\varepsilon_{i}) [/mm] = t - s |
Wir haben einen Markov Prozess und [mm] X_{t} [/mm] beschreibt den Wert, den die Variable über den Prozess aus dem Ausgangswert [mm] X_{s} [/mm] entwickelt!
Ich verstehe nicht wieso wir als Varianz zum Schluss dort ein t-s stehen haben!?
Hoffe mir kann da jemand helfen!
Danke und Grüße,
Mike
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Bist du sicher, dass die Gleichung so richtig ist? Links steht eine bedingte Varianz, also eine Zufallsvariable. Nach dem ersten Gleichheitszeichen kommen aber nur noch Varianzen, also reelle Zahlen.
Ich würde erwarten, dass dort immer noch eine bedingte Varianz (gegeben [mm]X_s[/mm]) steht. Dann hätte man nämlich nur [mm]X_t[/mm] durch den Betrag, der jetzt dort steht ersetzt.
Im nächsten Schritt nutzt man die (vermutlich gegebene) Unabhängigkeit der Zuwächse und zerlegt die - immer noch bedingte - Varianz in ihre Summanden. Es gilt [mm]Var(X_s|X_s)=0[/mm] und [mm]Var(\varepsilon_i|X_s)=Var(\varepsilon_i)[/mm] (wegen Unabhängigkeit). Im letzten Schritt summiert man auf (ich vermute mal, es war [mm]Var(\varepsilon_i)=1[/mm] gegeben).
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Wenn man die revidierte Gleichung genau anschaut, sieht man, dass ganz links eine Zufallsvariable steht und ganz rechts eine reelle Zahl. Daraus kann man ablesen, dass die gesuchte bedingte Varianz unabhängig ist vom tatsächlichen Wert von [mm]X_s[/mm].
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