Markov Kette mit Zuständ < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:12 Sa 04.10.2008 | | Autor: | Lilyon |
| Aufgabe | Jemand würfelt so lange,bis entweder direkt hintereinander drei gleiche Zahlen fallen, oder aber direkt hintereinander drei verschiedene Zahlen. Wir wollen bestätigen,dass der erste Fall mit Wahrscheinlichkeit 1/15 eintritt.
1. Wir betrachten dazu eine Markov Kette mit den Zuständen 2g,3g,2v,3v('zwei gleiche','drei gleiche','zwei verschiedene','drei verschiedene') sowie einem startzustand s. Von s und von 2g aus gibt es zwei mögliche Übergänge zum nächsten Zustand , von 2v aus drei. Welche sind das und was sind die korrespondierenden Übergangswahrscheinlichkeiten? Ein Bild genügt!
2, Begründen Sie : Die Wahrscheinlichkeiten , von 2v, 2g bzw. s schließlich nach 3g (und nicht nach 3v) zu gelangen,sind : w(2v)=1/25, w(2g)=1/5,w(s)=1/15. |
ich habe dieses Bild hier so gestellt:
Zustände sind [s],[2g],[2v],[3g],[3v],[Ende]
Zahl in () ist Wahrscheinlichkeit
[s]----(1/2)------->[ 2g]-------(1/2)----->[3g]---------(1/2)------->[Ende]
[s]----(1/2)------->[ 2v]-------(1/3)------>[3v]---------(1/2)------->[Ende]
[2g]--(1/2)------->[2v]
[2v]--(1/3)------->[2g]
[2v]--(1/3)------->[2v]
Für Teil 1 wollte ich wissen, ob die vorliegenden Zuständen richtig sind. Könnte jemand helfen und falls es falsch ist, dann ein paar Tipps geben?
Für Teil 2,
[s]=1/2 [2g]+1/2[2v]
[2g]=1/2[3g]+1/2[2v]
[2v]=1/3[2v]+1/3[3v]+1/3[2g]
ich denke es fehlt noch etwas. Wie kann man ausrechnen?
Danke schön.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:30 Sa 04.10.2008 | | Autor: | clwoe |
Hallo,
zu 1)
Das Bild mit den zugehörigen Übergangswahrscheinlichkeiten ist meiner Meinung nach schonmal richtig. Am Anfang war ich ziehmlich skeptisch vorallem was den Übergang von 2v zu 2v betrifft, allerdings beachte ich ja immer nur direkt zwei Schritte hintereinander nachdem ich den allerersten gemacht hab. Wenn ich demnach 32 gewürfelt hab kann ich danach ja 3 oder 2 würfeln.
Also: 322 wäre demnach der Übergang von 2v zu 2g.
323 wäre demnach der Übergang von 2v zu 2v.
Wenn man jetzt eine 1, 4, 5, oder 6 würfelt ist man fertig, also die Kette bricht ab. Würfelt man eine 2 oder 3 dann geht das Spiel von vorne los. Man springt bei dieser Kette also ab dem 2-ten Wurf nur noch zwischen 2g und 2v oder 2v und 2v hin und her, oder man ist fertig.
zu 2)
Nun stellt man sich die Matrix der Übergangswahrscheinlichkeiten auf. Und den Startzustand. Dafür ist es sinnvoll sich die einzelnen Zustände durchzunummerieren. Damit man weiß welche Wahrscheinlichkeit zu welchem Übergang gehört. Wie man sie nummeriert bleibt jedem selbst überlassen.
Startzustand S=(0.5 0 0.5 0). Das sind die Wahrscheinlichkeiten dafür im Zustand 1,2,3 oder in Zustand 4 zu sein. S ist ein Zeilenvektor.
Warum ist das so? Weil ich erst ab 2-mal würfeln in die Markowkette einsteige. Erst nach dem zweiten Wurf sehe ich, ob ich in Zustand 2v oder Zustand 2g bin. Danach beginnt die eigentliche Markow Kette.
2g ist ZS 1
3g ist ZS 2
2v ist ZS 3
3v ist ZS 4
Insgesamt gibt es also 4 Zustände.
Nun die Matrix. [mm] P=\pmat{ 0 & 0.5 & 0.5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \bruch{1}{3} & 0 & \bruch{1}{3} & \bruch{1}{3} \\ 0 & 0 & 0 & 0}
[/mm]
Die Zustände in der Matrix sind durch die Spaltennummern gegeben.
Beispiel 1. Zeile: Von ZS 1 in ZS 1 ist P=0. Von ZS 1 in ZS 2 oder auch in ZS 3 ist P=0.5
So ist das gemeint.
Was hier gemeint ist hört sich für mich so an, das nach einer Gleichgewichtsverteilung gefragt ist. Dies bedeutet, die Wahrscheinlichkeit nach n Schritten in Zustand 2 also 3g zu sein ändert sich ab dem n-ten Schritt nicht mehr.
Um das zu prüfen, muss man ein n finden, so das [mm] P^{n} [/mm] nur noch positive Einträge hat. Dann berechne ich von P den Linkseigenvektor zum Eigenwert 1. Das Ergebnis ist ein Vektor, die sogenante Gleichverteilung. In dieser stehen dann die Grenzwahrscheinlichkeiten.
Das sind genau die Wahrscheinlichkeiten, die besagen, wie wahrscheinlich es ist nach n Schritten in Zustand ? zu sein. Und ob es eben überhaupt so eine Gleichgewichtsverteilung gibt.
Meiner Meinung nach gibt es hier allerdings keine Gleichgewichtsverteilung, da die Matrix nicht irreduzibel ist, sprich, jede Potenz von [mm] P^{n} [/mm] hat ebenfalls Nullzeilen.
Deswegen bin ich mir bei Aufgabe b) nicht ganz einig mit deiner Angabe.
Gruß,
clwoe
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