Markov-Tschebyscheff < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:27 Di 06.12.2011 | | Autor: | mwieland |
| Aufgabe | Sei X Exponential(2) und Y Poisson(3) verteilt und die beiden ZV abhängig.
a) Wenden Sie die Markov-Ungleichung für k = 1 an, um die W!, dass [mm] X^{2} [/mm] größer als 5 ist abzuschätzen.
b) Drücken Sie [mm] F_{X^{2}} [/mm] (die Verteilungsfunktion von [mm] X^{2}) [/mm] durch [mm] F_{X} [/mm] aus. Berechnen Sie nachfolgen die obige W! exakt und vergleichen Sie.
c)Sei Z gleich X plus 8 minus dem Zweifachen von Y. Schätzen Sie die W!, dass Z negativ ist, ab. Vergrößern Sie dazu das betrachtete Ereignis und wenden Sie die Markov-Ungleichung für k = 2 (dh Tschebyscheff) an. Weclhe annahme benützen Sie dabei? Warum funktioniert die Abschätzung nicht? |
hallo alle miteinander!
Ich habe in meinem Skript die Markov-Ungleichung gefunden, finde aber in der Formel der Ungl. kein k, auch nicht nach Internetrecherche...
Wie löse ich denn dann hier Aufgabe a)?
kann mir jemand einen kleinen Tipp geben bitte?
vielen dank,
mfg mark
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:46 Di 06.12.2011 | | Autor: | Harris |
Hi!
Also, auf Wikipedia lautet die allgemeine Markov-Ungleichung wie folgt:
X Zufallsvariable, a Konstante, h monoton wachsende Funktion, dann gilt
[mm] $P(X\geq a)\leq \frac{E[h(X)]}{h(a)}.$
[/mm]
Hier in deinem Beispiel ist [mm] $X^2=(1-e^{-2t})^2$ [/mm] deine Zufallsvariable, der Wert a sei 5.
Zu dem k. Weiter unten heißt es ja, bei k=2 entspricht das der Tschebyschow-Ungleichung. Bei Wikipedia-Markovungleichungsartikel steht, dass die Tschebyscheff-Ungleichung eine Variante dieser ist. Hierbei ist [mm] $h(x)=x^2$.
[/mm]
Deshalb nehme ich an, das $k$ ist der Exponent des Monoms [mm] $x^k$.
[/mm]
Du musst also die Abweichung durch
[mm] P[X^2\geq 5]\leq \frac{E[X^2]}{5}
[/mm]
abschätzen.
Ich weiß nicht, ob ichs richtig gemacht habe, aber ich bekomme ein Zwanzigstel heraus - Unter der Voraussetzung, dass Exponential(2) bei euch [mm] $A(t)=1-e^{-2t}$ [/mm] bedeutet.
Gruß, Harris
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