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(Frage) überfällig  | | Datum: | 11:09 Fr 28.03.2014 | | Autor: | Domsi |
| Aufgabe | Gegeben ist folgende Matrix:
[mm]\begin{pmatrix}\frac{1}{2} && \frac{1}{4} && \frac{1}{4} && 0 \\ 0 && 0 && \frac{1}{2} && \frac{1}{2} \\ 0 && \frac{1}{3} && \frac{2}{3} && 0 \\ \frac{1}{4} && \frac{1}{2} && \frac{1}{4} && 0\end{pmatrix}[/mm]
Aufgabe: Überprüfen Sie alle Zustände auf Rekurrenz/Transienz. |
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: http://www.onlinemathe.de/forum/Markov-Ketten-RekurenzTransienz (Leider keine Antwort erhalten, deshalb will ich es hier versuchen).
Für meine nächste Klausur beschäftige ich mit Markov-Ketten. Beim Punkt Rekurrenz/Transienz stoße ich dabei auf ein Problem. Grundsätzlich ist mir bekannt, wie man erkennt ob ein Zustand Rekurrent oder Transient ist. Rekurrenz bedeutet ja, wenn die Summe der einzelnen Rückkehrwahrscheinlichkeiten gleich 1 ist, dann ist dieser Zustand Transient (http://de.wikipedia.org/wiki/Markow-Kette#Rekurrent_und_transient):
$rekurrent [mm] \iff f_i [/mm] = 1$ wobei [mm] $f_i [/mm] = [mm] \sum_{n=1}^{\infty} f_i^{n}$
[/mm]
Ist die W! < 1, dann ist Zustand transient.
Bei der Anwendung komme ich leider nicht klar:
Eines ist klar, wenn ich z.B. Zustand 0 W! 1 verlasse, und nie wieder in diesen Zustand gelangen kann, dann ist dieser Zustand sicher transient. Was ist aber, wenn ich einen Zustand verlasse (z.B. von Zustand 0 auf 1) und irgendwann zurückkehren kann (z.B. von Zustand 1 auf 2 und dann 0), ist dieser Zustand zwingend rekurrent oder kann auch dieser transient sein? D.h. muss ein Zustand, zu welchen ich zurückkehren kann (z.B. in 3 Schritten), immer rekurrent sein?
Vielleicht können wir mein Problem anhand des oben angegebenen Beispiels lösen. Was ich bisher habe:
Die Matrix ist irreduzibel, da alle Zustände miteinander kommunizieren (Kette besteht aus 1 Klasse). Nun sollen alle Zustände auf Rekurrenz und Transienz geprüft werden.
Für den Zustand 2 ist es mir gelungen die Rekurrenz zu zeigen (Wege: 2-2, 2-1-2, 2-1-2-2, 2-1-2-2-2,...):
$ [mm] f_i [/mm] = [mm] \frac{2}{3} [/mm] + [mm] \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{2}{3})^{n} [/mm] = 1$
Für die Zustände 0,1,3 konnte ich keinen Weg finden, der mir eine W! von 1 liefert. Heißt das nun, dass die Zustände 0,1,3 transient sind, oder MÜSSEN die Zustände rekurrent sein, da ich ja in jeden Zustand zurückkehren kann?
Kann mir jemand helfen? Falls ich falsch liege, und die Zustände 0,1,3 sehr wohl rekurrent sind, könnte mir jemand ein Beispiel für einen dieser Zustände geben? (Damit ich sehe und verstehen kann, wie die Überprüfung genau läuft)
Vielen Dank und LG
Domsi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Mi 02.04.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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