Marginalverteilung < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:16 Sa 04.05.2013 | | Autor: | yangwar1 |
| Aufgabe | Seien (X,Y ) die Koordinaten eines Punktes, der rein zufällig aus dem Einheitskreis
E = {(x, y) [mm] \in \IR^2 \| x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] <= 1} gewählt wird, d.h. der Zufallsvektor (X, Y ) habe die Dichte f (x, y) [mm] =\bruch{1}{\pi} 1_E [/mm] (x, y). |
Berechnet werden soll die Marginalverteilung von X und Y, die Kovarianz. Außerdem soll die Abhängigkeit von X,Y gezeigt werden.
Ich habe nun zuerst die Dichte von X bzw. Y durch einen Satz bestimmen können:
[mm] f(x)=\integral_{-\infty}^{\infty}{f(x,y) dy}=\integral_{-\infty}^{\infty}{\bruch{1}{\pi} 1_E (x,y) dy}=\bruch{1}{\pi} \integral_{-\wurzel{1-x^2}}^{\wurzel{1+x^2}}{1 dy}=\bruch{2*\wurzel{1-x^2}}{\pi}
[/mm]
Die Dichte von Y berechnet sich dann analog. Wie kommt man aber nun auf die Marginalverteilung?
Nun lässt sich dann aber E(X) berechnen:
[mm] E(X)=\integral_{-\infty}^{\infty}{x*f(x) dx}=\integral_{-\infty}^{\infty}{x*\bruch{2*\wurzel{1-x^2}}{\pi} *1_{[-1,1]}dx}=\integral_{-1}^{1}{x*\wurzel{1-x^2} dx}=0
[/mm]
Bei E(X*Y) lässt sich auch die Transformationsformel anwenden:
[mm] E(X*Y)=\integral_{-\infty}^{\infty}{\integral_{-\infty}^{\infty}{x*y *\bruch{1}{\pi} *1_E (x,y) dx} dy}=\integral_{-\infty}^{\infty}{\integral_{-\wurzel{1-y^2}}^{\wurzel{1-y^2}}{x*y *\bruch{1}{\pi} dx} dy}=\integral_{-\infty}^{\infty}{\bruch{2*\wurzel{1-y^2}}{\pi}*y dy} \not=0.
[/mm]
Man soll zeigen, dass X und Y unkorreliert sind. Also müsste E(X*Y)-E(X)*E(Y)=0 sein.
Wie berechnet man denn E(X*Y)?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:48 Sa 04.05.2013 | | Autor: | luis52 |
Moin
> Wie berechnet man denn E(X*Y)?
Gegenfrage: Was ist der Unterschied zwischen [mm] $E(X\ast [/mm] Y)$ und [mm] $E(X\cdot [/mm] Y)$? Antwort: Keiner.
Zumindest ist [mm] $Cov(X,Y)=E(X\cdot [/mm] Y)-E(X)E(Y)$.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:17 Sa 04.05.2013 | | Autor: | yangwar1 |
Ja, da ist natürlich kein Unterschied. Das Mal-Zeichen wurde nicht richtig umgewandelt.
Aber ich komme bei der Berechnung von E(X*Y) eben nicht weiter, denn der letzte Integralwert konvergiert nicht bzw. ist nicht 0.
Stimmt denn E(X) und E(Y)? Dem zur Folge müsste E(X*Y) auch null sein.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:45 Sa 04.05.2013 | | Autor: | luis52 |
> [mm]E(X*Y)=\integral_{-\infty}^{\infty}{\integral_{-\infty}^{\infty}{x*y *\bruch{1}{\pi} *1_E (x,y) dx} dy}=\integral_{-\infty}^{\infty}{\integral_{-\wurzel{1-y^2}}^{\wurzel{1-y^2}}{x*y *\bruch{1}{\pi} dx} dy}=\integral_{-\infty}^{\infty}{\bruch{2*\wurzel{1-y^2}}{\pi}*y dy} \not=0.[/mm]
>
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
[mm]E(X*Y)=\integral_{-\infty}^{\infty}{\integral_{-\infty}^{\infty}{x*y *\bruch{1}{\pi} *1_E (x,y) dx} dy}=\integral_{\red{-1}}^{\red{+1}}{\integral_{-\wurzel{1-y^2}}^{\wurzel{1-y^2}}{x*y *\bruch{1}{\pi} dx} dy} [/mm].
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:52 Sa 04.05.2013 | | Autor: | yangwar1 |
Ja, danke. Mir ist es auch gerade aufgefallen.
Nun folgt Cov(X,Y)=0.
Ist denn mit Angabe der Dichte die Marginalverteilung schon angegeben oder was muss dafür noch berechnet werden?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:58 Sa 04.05.2013 | | Autor: | luis52 |
> Ist denn mit Angabe der Dichte die Marginalverteilung schon
> angegeben oder was muss dafür noch berechnet werden?
>
Dichte reicht.
vg Luis
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