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Forum "Integration" - Mal wieder Integration
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Mal wieder Integration: Integration
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:25 So 06.07.2008
Autor: NichtExistent

Aufgabe
Integrieren Sie [mm]\int{\sin^2(\pi*z) dz}[/mm]!

[mm]= \int{\sin(\pi*z) * \sin(\pi*z) dz}[/mm]
[mm]= \sin(\pi*z)*(-\frac{1}{\pi}*\cos(\pi*z)) - \int{\cos(\pi*z)*\pi * (-\frac{1}{\pi}*\cos(\pi*z)) dz}[/mm]
[mm]= -\frac{1}{\pi}*\sin(\pi*z)*\cos(\pi * z) - \int{-\frac{1}{\pi}*\cos^2(\pi * z) * \pi dz}[/mm]
[mm]= -\frac{1}{\pi}*\sin(\pi*z)*\cos(\pi * z) - \int{-\cos^2(\pi * z) dz}[/mm]
[mm]= -\frac{1}{\pi}*\sin(\pi*z)*\cos(\pi * z) - \int{-\cos(\pi * z) \cos(\pi * z) dz}[/mm]
[mm]= -\frac{1}{\pi}*\sin(\pi*z)*\cos(\pi * z) + \cos(\pi*z) * \frac{1}{\pi} * \sin(\pi * z) - \int{\sin^2(\pi*z) dz}[/mm]
[mm]2*\int{\sin^2(\pi*z) dz} = -\frac{1}{\pi}*\sin(\pi*z)*\cos(\pi * z) + \frac{1}{\pi} * \sin(\pi*z) * \cos(\pi * z)[/mm]
[mm]2*\int{\sin^2(\pi*z) dz} = 0[/mm]

... ich denke mal das ich da irgendwo einen (schweren) Fehler bei der Integration gemacht habe. Leider sehe ich diesen - wie so oft - nicht. Kann mir einer von euch vielleicht einen kleinen Tipp geben? Aber die partielle Integration zu verwenden ist doch der richtige Ansatz, oder? Vielen Dank im Voraus.

Viele Grüße,
NichtExistent
        
Bezug
Mal wieder Integration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:41 So 06.07.2008
Autor: steppenhahn

Hallo!

> Integrieren Sie [mm]\int{\sin^2(\pi*z) dz}[/mm]!
>  [mm]= \int{\sin(\pi*z) * \sin(\pi*z) dz}[/mm]
>  
> [mm]= \sin(\pi*z)*(-\frac{1}{\pi}*\cos(\pi*z)) - \int{\cos(\pi*z)*\pi * (-\frac{1}{\pi}*\cos(\pi*z)) dz}[/mm]
>  
> [mm]= -\frac{1}{\pi}*\sin(\pi*z)*\cos(\pi * z) - \int{-\frac{1}{\pi}*\cos^2(\pi * z) * \pi dz}[/mm]
>  
> [mm]= -\frac{1}{\pi}*\sin(\pi*z)*\cos(\pi * z) - \int{-\cos^2(\pi * z) dz}[/mm]

Genau hier anhalten, auf beiden Seiten der Partiellen-Integrations-Gleichung

[mm]\int{\sin^2(\pi*z) dz}= -\frac{1}{\pi}*\sin(\pi*z)*\cos(\pi * z) + \int{\cos^2(\pi * z) dz}[/mm]

die du berechnet hast, den Term

[mm]\int{\sin^2(\pi*z) dz}[/mm]

addieren und die rechte Seite nach diesem Addieren STARK vereinfachen.

> Aber die partielle
> Integration zu verwenden ist doch der richtige Ansatz,
> oder?

Ja!

Stefan.
Bezug
                
Bezug
Mal wieder Integration: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:43 So 06.07.2008
Autor: NichtExistent

Hey Stefan,
vielen Dank für deinen schnellen Hinweis. Ist das nun so gemachte nun korrekt?

[mm]= \int{\sin(\pi*z) * \sin(\pi*z) dz}[/mm]
[mm]= \sin(\pi*z)*(-\frac{1}{\pi}*\cos(\pi*z)) - \int{\cos(\pi*z)*\pi * (-\frac{1}{\pi}*\cos(\pi*z)) dz}[/mm]
[mm]= -\frac{1}{\pi}*\sin(\pi*z)*\cos(\pi * z) - \int{-\frac{1}{\pi}*\cos^2(\pi * z) * \pi dz}[/mm]
[mm]= -\frac{1}{\pi}*\sin(\pi*z)*\cos(\pi * z) - \int{-\cos^2(\pi * z) dz}[/mm]
[mm]= -\frac{1}{\pi}*\sin(\pi*z)*\cos(\pi * z) + \int{\cos^2(\pi * z) dz}[/mm]
[mm]2*\int{\sin^2(\pi*z) dz}= -\frac{1}{\pi}*\sin(\pi*z)*\cos(\pi * z) + \int{\cos^2(\pi * z) dz} + \int{\sin^2(\pi * z) dz}[/mm]
[mm]2*\int{\sin^2(\pi*z) dz}= -\frac{1}{\pi}*\sin(\pi*z)*\cos(\pi * z) + \int{\cos^2(\pi * z) + \sin^2(\pi * z) dz}[/mm]
[mm]2*\int{\sin^2(\pi*z) dz}= -\frac{1}{\pi}*\sin(\pi*z)*\cos(\pi * z) + \int{1 dz}[/mm]
[mm]2*\int{\sin^2(\pi*z) dz}= -\frac{1}{\pi}*\sin(\pi*z)*\cos(\pi * z) + z[/mm]
[mm]\int{\sin^2(\pi*z) dz}= -\frac{\sin(\pi*z)*\cos(\pi * z) + z}{2*\pi}[/mm]

Viele Grüße,
NichtExistent
Bezug
                        
Bezug
Mal wieder Integration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:56 So 06.07.2008
Autor: schachuzipus

Hallo NichtExistent,

> Hey Stefan,
>  vielen Dank für deinen schnellen Hinweis. Ist das nun so
> gemachte nun korrekt?
>  
> [mm]= \int{\sin(\pi*z) * \sin(\pi*z) dz}[/mm]
>  [mm]= \sin(\pi*z)*(-\frac{1}{\pi}*\cos(\pi*z)) - \int{\cos(\pi*z)*\pi * (-\frac{1}{\pi}*\cos(\pi*z)) dz}[/mm]
>  
> [mm]= -\frac{1}{\pi}*\sin(\pi*z)*\cos(\pi * z) - \int{-\frac{1}{\pi}*\cos^2(\pi * z) * \pi dz}[/mm]
>  
> [mm]= -\frac{1}{\pi}*\sin(\pi*z)*\cos(\pi * z) - \int{-\cos^2(\pi * z) dz}[/mm]
>  
> [mm]= -\frac{1}{\pi}*\sin(\pi*z)*\cos(\pi * z) + \int{\cos^2(\pi * z) dz}[/mm]
>  
> [mm]2*\int{\sin^2(\pi*z) dz}= -\frac{1}{\pi}*\sin(\pi*z)*\cos(\pi * z) + \int{\cos^2(\pi * z) dz} + \int{\sin^2(\pi * z) dz}[/mm]
>  
> [mm]2*\int{\sin^2(\pi*z) dz}= -\frac{1}{\pi}*\sin(\pi*z)*\cos(\pi * z) + \int{\cos^2(\pi * z) + \sin^2(\pi * z) dz}[/mm]
>  
> [mm]2*\int{\sin^2(\pi*z) dz}= -\frac{1}{\pi}*\sin(\pi*z)*\cos(\pi * z) + \int{1 dz}[/mm]
>  
> [mm]2*\int{\sin^2(\pi*z) dz}= -\frac{1}{\pi}*\sin(\pi*z)*\cos(\pi * z) + z[/mm] [daumenhoch]

Alles bestens bis hierher

>  
> [mm]\int{\sin^2(\pi*z) dz}= -\frac{\sin(\pi*z)*\cos(\pi * z) + z}{2*\pi}[/mm] [notok]

Hier ist was schiefgelaufen, das Minuszeichen muss in den Zähler zum [mm] $\sin(...)\cos(...)$ [/mm] und das z musst du doch erst erweitern, wenn du's auf den Bruchstrich schreiben willst: [mm] $z=\frac{\pi z}{\pi}$ [/mm]

Dann erst durch 2 teilen


Du hättest im Übrigen anstatt das [mm] $\int{\sin^2(\pi z) \ dz}$ [/mm] auf beiden Seiten zu addieren, das [mm] $\int{\cos^2(\pi z) \ dz}$ [/mm] umschreiben können in [mm] $\int{(1-\sin^2(\pi z)) \ dz}$, [/mm] was aber haargenau auf dasselbe hinausläuft.

Das ist ein nicht selten vorkommender "Trick" bei diesen trigonometrischen Biestern, lohnt also, sich zu merken ;-)

>  
> Viele Grüße,
>  NichtExistent


LG

schachuzipus
Bezug
                                
Bezug
Mal wieder Integration: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:59 So 06.07.2008
Autor: NichtExistent

Hey schachuzipus,
autsch. Natürlich. Das passiert wenn man das nur noch schnell fertig machen und dann abschalten möchte. Hast natürlich recht :) Und danke für den anderen "Trick" :)

Liebe Grüße,
NE
Bezug
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