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(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 19:27 So 24.10.2004 | | Autor: | Hanno |
Hallo an alle!
Mal wieder ein Knüller:
Sei [mm] $\{a_k\}\quad [/mm] (k=1,2,...,n...)$ eine Folge paarweise verschiedener positiver ganzer Zahlen. Beweise, dass für alle positiven ganzen Zahlen $n$ die Ungleichung
[mm] $\summe_{k=1}^{n}{\frac{a_k}{k^2}}\geq \summe_{k=1}^{n}\frac{1}{k}$ [/mm]
gilt!
Viel Spaß und Erfolg!
Liebe Grüße,
Hanno
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Hi Hanno
Ich will mich mal mit einer Lösung versuchen, auch wenn ich befürchte, dass sie zu stümperhaft und mangelhaft ist:
Also,
[mm]\summe_{k=1}^{n}{\frac{a_k}{k^2}}\geq \summe_{k=1}^{n}\frac{1}{k}[/mm]
Da linkerseite immer durch [mm] k^2 [/mm] geteilt wird, ist sofort ersichtlich, dass diese minimal wird, wenn die Folge [mm] a_k [/mm] aus den Folgegliedern 1,2,...,n besteht!
Ich nehme jetzt einfach mal die Folge [mm] a_1=1 [/mm] , [mm] a_2=2 [/mm] , [mm] a_3=3 [/mm] , [mm] a_n=n [/mm] Der Summand der das Folgeglied [mm] a_k [/mm] enthällt vereinfacht sich also zu [mm]\frac{1}{k}[/mm]. In diesem Fall gilt dann die Gleichheit. L.S und R.S. sind indentisch.
Jetzt muss nur noch ausgeschlossen werden, dass durch umarrangieren der Folgeglieder also [mm] a_p [/mm] =q und [mm] a_q [/mm] =p die linke Summe kleiner werden kann.
Wir nehmen als [mm] $0
[mm]\frac{p}{p^2}+\frac{q}{q^2} \le \frac{q}{p^2}+\frac{p}{q^2}[/mm] [mm]\gdw p^2q+q^2p \le q^3+p^3[/mm]
Die letzte Ungleichung ist mir zwar bekannt und ich weiß, dass sie für alle positiven ganzen Zahlen gilt, kann sie aber im Moment nicht beweisen!
Ich hoffe mal, dass ich von dem lückenhaften Schluss einmal abgesehn, die Aufgabe prinzipiell gelöst ab, oder??????? ![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
Gruß Samuel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:17 So 24.10.2004 | | Autor: | Hanno |
Hallo Samuel!
Ich selber kenne die LÖsung nicht, habe es auch nie versucht, aber deine Idee scheint mir richtig und plausibel. Dann darf ich dich hiermit ganz doll beglückwünschen, denn du hast soeben eine Aufgabe aus der Internationalen Mathematik-Olympiade gelöst. Das ist meiner Meinung nach immer etwas besonderes.
Liebe Grüße und größten Respekt,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:39 So 24.10.2004 | | Autor: | Teletubyyy |
Hi Hanno
Bin echt stolz auf mich (auch wenn ich glaube, dass das wohl so'ne erste Aufgabe am ersten Tag zum warm werden war!!!) - genug eigenlob (Das STINKT!!!)
Wenn du die Lösungen für die IMO Probleme suchst, dann schau einfach mal![[]](/images/popup.gif) hier nach. Sind zwar auf Englisch und ziehmlich kompliziert und unverständlich aber besser als nichts oder?!
Hast du eigentlich eine Ahnung wie ich meine letzte Ungleichung noch beweisen könnte ([mm]p^2q+q^2p\le p^3+q^3[/mm])??
Gruß Samuel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:02 So 24.10.2004 | | Autor: | Hanno |
Hallo Samuel.
Ich habe ein wenig rumgerechnet und hier kommt schon die Lösung ;)
[mm] $a^2b+b^2a\leq a^3+b^3$
[/mm]
[mm] $\gdw a^3+b^3-a^2b-b^2a\geq [/mm] 0$
[mm] $\gdw (a+b)^3-4a^2b-4b^2a\geq [/mm] 0$
[mm] $\gdw (a+b)^3\geq [/mm] 4ab(a+b)$
[mm] $\gdw (a+b)^2\geq [/mm] 4ab$
[mm] $\gdw a^2+2ab+b^2\geq [/mm] 4ab$
[mm] $\gdw a^2-2ab+b^2\geq [/mm] 0$
[mm] $\gdw (a-b)^2>0$.
[/mm]
Liebe Grüße,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:26 So 24.10.2004 | | Autor: | Teletubyyy |
Hi Hanno
Ich wusste doch dass das irgend wie mit Ausklammern und Binomen und so geht, bin aber einfach nicht mehr drauf gekommen.
Echt elegant gemacht! ![[respekt]](/images/smileys/respekt.gif "[respekt]")
Mit dieser Ergänzung wäre dann die Lösung wohl vollständig!
Gruß Samuel
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