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Majorantenkriterium: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:30 Do 24.05.2012
Autor: Hejo

Aufgabe
Untersuchen Sie die Konvergenz der Reihe [mm] \sum_{k=44}^\infty \frac{1}{{\sqrt{k*(1+k^2)}}} [/mm]

Hallo,

wie kann man solchen Aufgaben passende Majoranten/Minoranten finden?
Ich habe zwar gefunden, dass [mm] \frac{1}{k^\frac{2}{3}}>\frac{1}{{\sqrt{k*(1+k^2)}}}, [/mm] aber wie krieg ich raus, dass die Reihe mit den Folgegliedern  [mm] \frac{1}{k^\frac{2}{3}} [/mm] konvergiert?

Ein kleiner Tipp bringt mich auf jendenfall weiter...

        
Bezug
Majorantenkriterium: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:00 Do 24.05.2012
Autor: reverend

Hallo Hejo,

> Untersuchen Sie die Konvergenz der Reihe
> [mm] \sum_{k=44}^\infty \frac{1}{{\sqrt{k*(1+k^2)}}}[/mm]
>  Hallo,
>  
> wie kann man solchen Aufgaben passende
> Majoranten/Minoranten finden?
>  Ich habe zwar gefunden, dass
> [mm]\frac{1}{k^\frac{2}{3}}>\frac{1}{{\sqrt{k*(1+k^2)}}},[/mm]

Das ist doch schonmal gut.

> aber
> wie krieg ich raus, dass die Reihe mit den Folgegliedern  
> [mm]\frac{1}{k^\frac{2}{3}}[/mm] konvergiert?
>  
> Ein kleiner Tipp bringt mich auf jendenfall weiter...

Es ist gut zu wissen, dass [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k^s} [/mm] für s>1 konvergent ist, für [mm] 0
Hier empfiehlt sich ein Vergleich mit s=1. Es gilt

[mm] \bruch{1}{k^{\bruch{2}{3}}}>\bruch{1}{k}, [/mm] uns damit hast Du dann auch gleich eine divergente Minorante gefunden. Majoranten werden Dir hier eben auch nicht weiterhelfen.

Grüße
reverend


Bezug
                
Bezug
Majorantenkriterium: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:12 Do 24.05.2012
Autor: fred97


> Hallo Hejo,
>  
> > Untersuchen Sie die Konvergenz der Reihe
> > [mm] \sum_{k=44}^\infty \frac{1}{{\sqrt{k*(1+k^2)}}}[/mm]
>  >  
> Hallo,
>  >  
> > wie kann man solchen Aufgaben passende
> > Majoranten/Minoranten finden?
>  >  Ich habe zwar gefunden, dass
> > [mm]\frac{1}{k^\frac{2}{3}}>\frac{1}{{\sqrt{k*(1+k^2)}}},[/mm]
>
> Das ist doch schonmal gut.
>  
> > aber
> > wie krieg ich raus, dass die Reihe mit den Folgegliedern  
> > [mm]\frac{1}{k^\frac{2}{3}}[/mm] konvergiert?
>  >  
> > Ein kleiner Tipp bringt mich auf jendenfall weiter...
>
> Es ist gut zu wissen, dass
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k^s}[/mm] für s>1 konvergent
> ist, für [mm]0
>  
> Hier empfiehlt sich ein Vergleich mit s=1. Es gilt
>  
> [mm]\bruch{1}{k^{\bruch{2}{3}}}>\bruch{1}{k},[/mm] uns damit hast Du
> dann auch gleich eine divergente Minorante gefunden.
> Majoranten werden Dir hier eben auch nicht weiterhelfen.

Hallo rev,

    die Reihe $ [mm] \sum_{k=44}^\infty \frac{1}{{\sqrt{k\cdot{}(1+k^2)}}} [/mm] $

ist konvergent !

Gruß FRED

>  
> Grüße
>  reverend
>  


Bezug
        
Bezug
Majorantenkriterium: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:11 Do 24.05.2012
Autor: fred97


> Untersuchen Sie die Konvergenz der Reihe
> [mm] \sum_{k=44}^\infty \frac{1}{{\sqrt{k*(1+k^2)}}}[/mm]
>  Hallo,
>  
> wie kann man solchen Aufgaben passende
> Majoranten/Minoranten finden?
>  Ich habe zwar gefunden, dass
> [mm]\frac{1}{k^\frac{2}{3}}>\frac{1}{{\sqrt{k*(1+k^2)}}},[/mm]


  Reverend fand das schon mal gut. Ich weniger, denn es bringt nichts.


>  aber
> wie krieg ich raus, dass die Reihe mit den Folgegliedern  
> [mm]\frac{1}{k^\frac{2}{3}}[/mm] konvergiert?

Gar nicht, denn diese Reihe divergiert.


Aber ....

es ist

[mm] \frac{1}{{\sqrt{k\cdot{}(1+k^2)}}} \le \bruch{1}{k^{3/2}} [/mm] und

     [mm] \sum \bruch{1}{k^{3/2}} [/mm]   ist konvergent.

FRED


>  
> Ein kleiner Tipp bringt mich auf jendenfall weiter...


Bezug
                
Bezug
Majorantenkriterium: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:20 Do 24.05.2012
Autor: Hejo

Danke für die antworten:)
Hatte da wohl nen kleinen zahlendreher drin...
Aber jetzt hab ich's verstanden.

Bezug
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